SlideShare una empresa de Scribd logo
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
                  “FRANCISCO DE MIRANDA”
                DPTO. DE FÍSICA Y MATEMÁTICA
                   CÁTEDRA: ESTADÍSTICA

                        TEMA Nº 6. ESTIMACIÓN


PARÁMETRO:

Es cualquier característica de una población que sea medible. Un parámetro es
una medida que se calcula para describir una característica de una población
completa. Se denota “ θ ”.


ESTADÍSTICO:

Es una medida que se calcula para describir una característica a partir de solo
una muestra. Se denota “ ˆ ”.




              μ              Población
                                            Muestra
                                                               X
             σ2
                                                              s2
               ρ
                                                             ˆ
                                                             ρ
                         Parámetros       Estadístic os
                              θ               ˆ



ESTIMACIÓN:

Consiste en la búsqueda de uno o varios parámetros de una población entre la
que se ha efectuado un muestreo. Por ejemplo, Un candidato para un puesto
público desea estimar la proporción real de votantes que lo apoyan mediante la
obtención de las opiniones de una muestra aleatoria de n votantes. La fracción
de ellos que lo apoyan puede usarse como una estimación de la Proporción
real de la población total de votantes. Este problema pertenece, entonces al
área de Estimación.


CARACTERÍSTICAS DESEABLES DE UN ESTIMADOR:
Es posible definir muchas estadísticas para estimar un Parámetro desconocido
θ . Por ejemplo, puede elegirse la Mediana muestral para estimar el valor de la
media Poblacional, o también la Media muestral. Entonces, ¿Cómo seleccionar
un buen estimador de θ ? , ¿Cuáles son los criterios para juzgar cuando un
estimador de θ es “bueno” o “malo”?. Si se piensa en términos de estimadores
humanos como se encuentran en las grandes compañías, entonces, quizá un
buen estimador es aquella persona cuyas estimaciones siempre se encuentran
muy cercanas a la realidad.

De aquí surgen dos propiedades deseables de un estimador:

1. La distribución muestral de ˆ debe tener una media igual al parámetro θ
   estimado
2. La varianza del estimador debe ser la menor posible


1. ESTIMADOR INSESGADO: Un estimador debe estar próximo en algún
   sentido al valor verdadero del parámetro desconocido. Se dice que ˆ es un
   estimador insesgado de θ si el valor esperado de ˆ es igual a θ . Esto
   equivale a afirmar que la media de la distribución de probabilidad de ˆ (o la
   media de la distribución de muestreo de ˆ ) es igual a θ .


        Si E( ˆ ) = θ , entonces el estimador es insesgado
        Si el estimador no es insesgado, entonces: E( ˆ ) - θ = sesgo

      En ocasiones existen varios estimadores insesgados del parámetro ( θ )
   de la población.


2. VARIANZA DE UN ESTIMADOR: La varianza de un estimador insesgado
   es la cantidad más importante para decidir qué tan bueno es el estimador
   para estimar un parámetro θ . Por ejemplo, sean ˆ 1 y ˆ 2 dos estimadores
   insesgados del mismo parámetro poblacional. Se dice que ˆ es un         1

   estimador más eficiente de θ que ˆ 2 si Var( ˆ 1 ) Var( ˆ 2 ). Es muy común
   utilizar el cociente Var( ˆ ) / Var( ˆ ) para determinar la eficiencia relativa de
                             1          2
    ˆ   con respecto a ˆ 1 .“Si se consideran todos los estimadores
     2
   insesgados posibles de θ , aquel con la varianza más pequeña recibe
   el nombre de estimador más eficiente de θ .
ˆ1

                                                         ˆ3

                     ˆ2


                               θ


Para la figura anterior, se observa claramente que solo          ˆ    sony   ˆ
                                                                     1           2

insesgados, dado que sus distribuciones se centran en θ . El estimador ˆ 1
tiene varianza más pequeña que ˆ , por tanto es más eficiente. En
                                         2

consecuencia el estimador de θ que se seleccionaría es ˆ 1 .


TIPOS DE ESTIMACIÓN:

1. ESTIMACIÓN PUNTUAL: Una estimación puntual de algún parámetro θ de
                                      ˆ
   la población es un valor numérico θ de la estadística ˆ . Los estimadores
   más frecuentes de los siguientes parámetros son:


Parámetro                          Estimador más probable
    μ         x , la media muestral
  σ2 o σ      s2 o s, la varianza muestral o desviación estándar muestral
     ρ        ˆ
              ρ =X/n, la proporción muestral, donde x es el número de objetos
              en una muestra aleatoria de tamaño n que pertenece a la clase
              de interés
   μ1 μ2      x1 x 2 , la diferencia de medias muestrales de dos muestras
              aleatoria independientes
   ρ1 ρ2      ˆ ˆ
              ρ1 ρ2 , la diferencia entre las proporciones de dos muestras
              aleatorias independientes



2. ESTIMACIÓN POR INTERVALOS: En muchas situaciones, una estimación
   puntual no proporciona información suficiente sobre un parámetro θ . Por
   ejemplo, si se tiene interés en estimar la resistencia promedio a la tensión
   de cierto elemento estructural, es probable que un solo número no sea tan
   significativo como un intervalo, dentro del cual se espera encontrar el valor
de este parámetro. El intervalo estimado recibe el nombre de Intervalo de
Confianza.

Una estimación por intervalos de un parámetro desconocido θ es un
intervalo de la forma l θ u , donde los puntos extremo l y u dependen del
valor numérico de la estadística ˆ para una muestra en particular y de la
distribución de muestreo de ˆ .

De la distribución de muestreo de ˆ es posible determinar los valores de l y
u tales que la siguiente proposición sea verdadera:
                       P( l θ u ) = 1 -       ; 0< <1

Por tanto se tiene una probabilidad de 1- de seleccionar una muestra que
produzca un intervalo que contiene el valor verdadero de θ . El intervalo
resultante:
                                   l θ u

Se conoce como Intervalo de Confianza del 100 (1- ) por ciento.

Las cantidades l y u se denominan límites de confianza inferior y superior y
1- es el coeficiente de confianza. De tal forma, cuando =0,05, se tiene un
Intervalo de confianza del 95% y cuando =0,01 se tiene uno del 99%.
Entre mayor es el intervalo de confianza se tiene más seguridad de que el
mismo contenga el parámetro desconocido.

Un intervalo del tipo l θ u , recibe el nombre más apropiado de Intervalo
de Confianza Bilateral. También existen intervalos de confianza
Unilaterales: θ l y θ u , donde los límites de confianza se eligen de modo
que:

                   P( θ l ) = 1-        y       P( θ u ) = 1-


A continuación se presentan métodos para encontrar Intervalos de
Confianza para Medias, Varianzas y Proporciones:


   INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA DE UNA POBLACIÓN
   CON VARIANZA CONOCIDA: Si x es la media de una muestra
   aleatoria de tamaño n de una población con varianza conocida σ 2 , un
   intervalo de confianza para μ del 100(1- ) por ciento esta dado por:

                               σ                           σ
                  X - Z1-α 2        μ       X     Z1-α 2
                                n                           n
Donde Z α 2 es el punto en la Distribución Normal Estándar que
corresponde al porcentaje /2


      INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS
      POBLACIONALES CON VARIANZAS CONOCIDAS: Si x1 y x 2 son las
      medias de dos muestras aleatorias independientes de tamaño n1 y n2
      tomadas de poblaciones con varianzas conocidas               σ1 y σ 2
                                                                     2
                                                                          2

      respectivamente, entonces un intervalo de confianza del 100(1- ) por
      ciento para μ1 μ2 esta dado por:


                              σ1
                               2
                                      σ2                                                   σ1
                                                                                            2
                                                                                                  σ2
      x1 - x 2     Z1   α2
                                       2
                                                  μ1 μ2      x1 - x 2       Z1      α2
                                                                                                   2

                              n1      n2                                                   n1     n2


      Donde Z α 2 es el punto en la Distribución Normal Estándar que
corresponde al porcentaje /2


      INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA DE UNA POBLACIÓN
      CON VARIANZA DESCONOCIDA: Si x y s son la media y la desviación
      estándar de una muestra aleatoria de tamaño n de una población con
      varianza desconocida σ 2 , un intervalo de confianza para μ del 100(1- )
      por ciento esta dado por:

                                                  S                                 S
                              X - t1-α 2,n   1           μ     X     t1-α 2,n   1
                                                   n                                 n

       Donde Tα 2 es el punto crítico superior que corresponde al %                                    /2 en la
Distribución T con n-1 G.L.


      INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS
      POBLACIONALES CON VARIANZAS DESCONOCIDAS PERO
      IGUALES: Si x1, x 2 y s1 , s 2 son las medias y las varianzas de dos
                               2
                                   2
      muestras aleatorias independientes de tamaño n1 y n2 tomadas de
      poblaciones con varianzas desconocidas pero iguales σ1 σ 2     2
                                                                         2

      respectivamente, entonces un intervalo de confianza del 100(1- ) por
      ciento para μ1 μ2 esta dado por:


                                   1         1                                                              1     1
x1 - x 2   t1   α 2,n1 n2 2   Sp                       μ1 μ2       x1 - x 2         t1   α 2,n1 n2 2   Sp
                                   n1        n2                                                             n1    n2
Donde Sp se denomina Estimador combinado de la desviación estándar
común de la población:

                                          n1 1 s1 n2 1 s2
                                                2
                                                        2
                               Sp
                                             n1 n2 2



     INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS
     POBLACIONALES         CON       VARIANZAS       DESCONOCIDAS          Y
     DIFERENTES: Si x1, x 2 y s1 , s 2 son las medias y las varianzas de dos
                                2    2


     muestras aleatorias independientes de tamaño n1 y n2 tomadas de
     poblaciones con varianzas desconocidas y diferentes σ1 σ 2        2
                                                                           2

     respectivamente, entonces un intervalo de confianza del 100(1- ) por
     ciento para μ1 μ2 esta dado por:

                               2
                              s1     s2                                         2
                                                                               s1   s2
     x1 - x 2   t1   α 2,ν
                                      2
                                            μ1 μ2    x1 - x 2    t1   α 2, ν
                                                                                     2

                              n1     n2                                        n1   n2


     Donde “v” son los grados de libertad, y están dados por:
                                                         2
                                          s1 n1 s 2 n2
                                           2
                                                  2
                                 v            2              2
                                       2
                                      s1 n1         s 2 n2
                                                      2
                                       n1 1          n2 1




     INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA VARIANZA DE UNA
     POBLACIÓN: Si s2 es la Varianza de una muestra aleatoria de tamaño
     n, tomada de una distribución normal con varianza desconocida σ 2 ,
     entonces un intervalo de confianza del 100(1- ) por ciento para σ 2 esta
     dado por:

                             (n 1) S2               (n 1) S2
                                             σ2
                               χ1 α 2,n 1
                                2
                                                      χ 2 2,n 1
                                                        α




     Donde χ 2 2 y χ1-α 2 son valores en la Distribución Chi-Cuadrado de v=n-1
             α
                     2


     grados de libertad
INTERVALO DE CONFIANZA PARA EL COCIENTE DE DOS
      VARIANZAS POBLACIONALES: Si s1 y s 2 son las Varianzas de dos
                                               2
                                                   2
      muestras aleatorias e independientes de tamaño n1 y n2
      respectivamente, tomadas de poblaciones normales, entonces un
      intervalo de confianza del 100(1- ) por ciento para σ 1 σ 2 esta dado por:
                                                            2
                                                                2


                       2
                      s1        1               σ1
                                                 2        2
                                                         s1        1
                       2
                      s2 fα 2,n1 1,n2   1       σ2
                                                 2
                                                          2
                                                         s2 f1 α 2,n2 1,n1     1
      Donde:
                                                            1
                             fα 2,n1   1,n2 1
                                                     f1 α 2,n2   1,n1 1




      INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA PROPORCIÓN DE UNA
                        ˆ
      POBLACIÓN: Si ρ es la proporción de éxitos en una muestra aleatoria
      de tamaño n que pertenece a una clase de interés, entonces un intervalo
      de confianza del 100(1- ) por ciento para la proporción ρ de la
      población esta dado por:
                           ˆ    ˆ
                           p (1 p)                                   ˆ    ˆ
                                                                     p (1 p)
               ˆ
               p Z1 α 2                     p    ˆ
                                                 p Z1 α 2
                              n                                         n


      Donde Z α 2 es el punto en la Distribución Normal Estándar que
corresponde al porcentaje /2


      INTERVALO         DE    CONFIANZA          PARA      DIFERENCIA      DE
                                                   ˆ    ˆ
      PROPORCIONES POBLACIONALES: Si ρ1 y ρ 2 son las proporciones
      de éxitos en dos muestras aleatorias de tamaños n1 y n2
      respectivamente, que pertenecen a una clase de interés, entonces un
      intervalo de confianza del 100(1- ) por ciento para ρ1 ρ2 esta dado por:

                    ˆ ˆ
                    ρ1q1   ˆ ˆ
                           ρ 2 q2                                                  ˆ ˆ
                                                                                   ρ1q1   ˆ ˆ
                                                                                          ρ 2 q2
 ˆ ˆ
 ρ1 ρ 2    Z1-α 2                       ρ1 ρ 2          ˆ ˆ
                                                        ρ1 ρ 2        Z1-α 2
                     n1     n2                                                      n1     n2

      Donde:

                           ˆ    ˆ
                           q1 1 ρ1          y    ˆ
                                                 q2        ˆ
                                                         1 ρ2
Estimacion

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

Distribuciones Muestrales y Estimación de los Parámetros de una Población
Distribuciones Muestrales y Estimación de los Parámetros de una PoblaciónDistribuciones Muestrales y Estimación de los Parámetros de una Población
Distribuciones Muestrales y Estimación de los Parámetros de una Población
josegonzalez1606
 
Trabajo de la unidad 3
Trabajo de la unidad 3Trabajo de la unidad 3
Trabajo de la unidad 3
Alberto de Avila
 
Estimación y estimadores
Estimación y estimadoresEstimación y estimadores
Estimación y estimadores
felipe ornelas
 
Estimacion. limites o intervalos de confianza para la media y para las propor...
Estimacion. limites o intervalos de confianza para la media y para las propor...Estimacion. limites o intervalos de confianza para la media y para las propor...
Estimacion. limites o intervalos de confianza para la media y para las propor...
eraperez
 
2 estimación
2 estimación2 estimación
2 estimación
Oscar Reyes
 
Intervalos de confianza para la media poblacional con: muestras pequeñas.
Intervalos de confianza para la media poblacional con: muestras pequeñas. Intervalos de confianza para la media poblacional con: muestras pequeñas.
Intervalos de confianza para la media poblacional con: muestras pequeñas.
Leonel Rangel
 
Estimacin e intervalos_de_confianza_ (1)
Estimacin e intervalos_de_confianza_ (1)Estimacin e intervalos_de_confianza_ (1)
Estimacin e intervalos_de_confianza_ (1)
Oskaar Garciaa
 
Intervalo de confianza, equipo
Intervalo de confianza, equipoIntervalo de confianza, equipo
Intervalo de confianza, equipo
gueste5eaac
 
Intervalo de confianza
Intervalo de confianzaIntervalo de confianza
Intervalo de confianza
laura ochoa
 
Intervalos de confianza
Intervalos de confianzaIntervalos de confianza
Intervalos de confianza
Lyiizzii RoOdriiguez
 
Estimación de parametro su31
Estimación de parametro su31Estimación de parametro su31
Estimación de parametro su31
Instruccional
 
prueba de hipótesis e intervalo de confianza
prueba de hipótesis e intervalo de confianzaprueba de hipótesis e intervalo de confianza
prueba de hipótesis e intervalo de confianza
Kariina Buendia
 
Intervalos de confianza
Intervalos de confianzaIntervalos de confianza
Intervalos de confianza
zooneerborre
 
Estimacion Puntual E Intervalos.Ppt [Compatibility M
Estimacion  Puntual E Intervalos.Ppt [Compatibility MEstimacion  Puntual E Intervalos.Ppt [Compatibility M
Estimacion Puntual E Intervalos.Ppt [Compatibility M
Luis Baquero
 
Intervalos de confianza e
Intervalos de confianza eIntervalos de confianza e
Intervalos de confianza e
amy Lopez
 
Intervalos Confianza
 Intervalos Confianza Intervalos Confianza
Intervalos Confianza
Azucena Agüero Torres
 
Clase04 estadistica descriptiva
Clase04   estadistica descriptivaClase04   estadistica descriptiva
Clase04 estadistica descriptiva
Fabrizio Marcillo Morla
 
3 tamao[1]avance
 3 tamao[1]avance 3 tamao[1]avance
3 tamao[1]avance
guest8a3c19
 

La actualidad más candente (18)

Distribuciones Muestrales y Estimación de los Parámetros de una Población
Distribuciones Muestrales y Estimación de los Parámetros de una PoblaciónDistribuciones Muestrales y Estimación de los Parámetros de una Población
Distribuciones Muestrales y Estimación de los Parámetros de una Población
 
Trabajo de la unidad 3
Trabajo de la unidad 3Trabajo de la unidad 3
Trabajo de la unidad 3
 
Estimación y estimadores
Estimación y estimadoresEstimación y estimadores
Estimación y estimadores
 
Estimacion. limites o intervalos de confianza para la media y para las propor...
Estimacion. limites o intervalos de confianza para la media y para las propor...Estimacion. limites o intervalos de confianza para la media y para las propor...
Estimacion. limites o intervalos de confianza para la media y para las propor...
 
2 estimación
2 estimación2 estimación
2 estimación
 
Intervalos de confianza para la media poblacional con: muestras pequeñas.
Intervalos de confianza para la media poblacional con: muestras pequeñas. Intervalos de confianza para la media poblacional con: muestras pequeñas.
Intervalos de confianza para la media poblacional con: muestras pequeñas.
 
Estimacin e intervalos_de_confianza_ (1)
Estimacin e intervalos_de_confianza_ (1)Estimacin e intervalos_de_confianza_ (1)
Estimacin e intervalos_de_confianza_ (1)
 
Intervalo de confianza, equipo
Intervalo de confianza, equipoIntervalo de confianza, equipo
Intervalo de confianza, equipo
 
Intervalo de confianza
Intervalo de confianzaIntervalo de confianza
Intervalo de confianza
 
Intervalos de confianza
Intervalos de confianzaIntervalos de confianza
Intervalos de confianza
 
Estimación de parametro su31
Estimación de parametro su31Estimación de parametro su31
Estimación de parametro su31
 
prueba de hipótesis e intervalo de confianza
prueba de hipótesis e intervalo de confianzaprueba de hipótesis e intervalo de confianza
prueba de hipótesis e intervalo de confianza
 
Intervalos de confianza
Intervalos de confianzaIntervalos de confianza
Intervalos de confianza
 
Estimacion Puntual E Intervalos.Ppt [Compatibility M
Estimacion  Puntual E Intervalos.Ppt [Compatibility MEstimacion  Puntual E Intervalos.Ppt [Compatibility M
Estimacion Puntual E Intervalos.Ppt [Compatibility M
 
Intervalos de confianza e
Intervalos de confianza eIntervalos de confianza e
Intervalos de confianza e
 
Intervalos Confianza
 Intervalos Confianza Intervalos Confianza
Intervalos Confianza
 
Clase04 estadistica descriptiva
Clase04   estadistica descriptivaClase04   estadistica descriptiva
Clase04 estadistica descriptiva
 
3 tamao[1]avance
 3 tamao[1]avance 3 tamao[1]avance
3 tamao[1]avance
 

Similar a Estimacion

Interválos d confianz
Interválos d confianzInterválos d confianz
Interválos d confianz
Dany Aguilera
 
Interválos d confianz
Interválos d confianzInterválos d confianz
Interválos d confianz
Dany Aguilera
 
Interválos d confianz
Interválos d confianzInterválos d confianz
Interválos d confianz
Dany Aguilera
 
Estimacion de intervalos 1
Estimacion de intervalos 1 Estimacion de intervalos 1
Estimacion de intervalos 1
Francisco Gomez
 
Estimacion de intervalos 1 poblacion- 04-06-2019
Estimacion de intervalos 1 poblacion- 04-06-2019Estimacion de intervalos 1 poblacion- 04-06-2019
Estimacion de intervalos 1 poblacion- 04-06-2019
Francisco Gomez
 
Estimacion
EstimacionEstimacion
Intervalos de confianza e
Intervalos de confianza eIntervalos de confianza e
Intervalos de confianza e
amy Lopez
 
ENSAYO 7
ENSAYO 7ENSAYO 7
ENSAYO 7
will_son
 
Estimadores
EstimadoresEstimadores
Estadistica
EstadisticaEstadistica
Estadistica
LisbethUTS
 
4.1 Teorema Central de Límite
4.1 Teorema Central de Límite4.1 Teorema Central de Límite
4.1 Teorema Central de Límite
Consuelo Valle
 
Estimadores
EstimadoresEstimadores
Estimadores
Angel Romero Calle
 
Estimación de parámetros
Estimación de parámetrosEstimación de parámetros
Estimación de parámetros
Gudalupe Valdez
 
1 el intervalo de confianza ESTADISTICA
1 el intervalo de confianza ESTADISTICA1 el intervalo de confianza ESTADISTICA
1 el intervalo de confianza ESTADISTICA
kela18
 
estimacion de confianza por intervalos
estimacion de confianza por intervalosestimacion de confianza por intervalos
estimacion de confianza por intervalos
ROSALESBAUTISTAJEANP
 
39028492 distribucion-t-de-student-scrib
39028492 distribucion-t-de-student-scrib39028492 distribucion-t-de-student-scrib
39028492 distribucion-t-de-student-scrib
Jesus Blumer
 
39028492 distribucion-t-de-student-scrib
39028492 distribucion-t-de-student-scrib39028492 distribucion-t-de-student-scrib
39028492 distribucion-t-de-student-scrib
Jesus Blumer
 
5.1 Intervalos de Confianza (primera parte)
5.1 Intervalos de Confianza (primera parte)5.1 Intervalos de Confianza (primera parte)
5.1 Intervalos de Confianza (primera parte)
Consuelo Valle
 
Guia 3.estimadores estimación de una media
Guia 3.estimadores estimación de una mediaGuia 3.estimadores estimación de una media
Guia 3.estimadores estimación de una media
ITS CONSULTORIAS S.A.C
 
5)Estimación de parámetros.pptx
5)Estimación de parámetros.pptx5)Estimación de parámetros.pptx
5)Estimación de parámetros.pptx
gloria Esparraga
 

Similar a Estimacion (20)

Interválos d confianz
Interválos d confianzInterválos d confianz
Interválos d confianz
 
Interválos d confianz
Interválos d confianzInterválos d confianz
Interválos d confianz
 
Interválos d confianz
Interválos d confianzInterválos d confianz
Interválos d confianz
 
Estimacion de intervalos 1
Estimacion de intervalos 1 Estimacion de intervalos 1
Estimacion de intervalos 1
 
Estimacion de intervalos 1 poblacion- 04-06-2019
Estimacion de intervalos 1 poblacion- 04-06-2019Estimacion de intervalos 1 poblacion- 04-06-2019
Estimacion de intervalos 1 poblacion- 04-06-2019
 
Estimacion
EstimacionEstimacion
Estimacion
 
Intervalos de confianza e
Intervalos de confianza eIntervalos de confianza e
Intervalos de confianza e
 
ENSAYO 7
ENSAYO 7ENSAYO 7
ENSAYO 7
 
Estimadores
EstimadoresEstimadores
Estimadores
 
Estadistica
EstadisticaEstadistica
Estadistica
 
4.1 Teorema Central de Límite
4.1 Teorema Central de Límite4.1 Teorema Central de Límite
4.1 Teorema Central de Límite
 
Estimadores
EstimadoresEstimadores
Estimadores
 
Estimación de parámetros
Estimación de parámetrosEstimación de parámetros
Estimación de parámetros
 
1 el intervalo de confianza ESTADISTICA
1 el intervalo de confianza ESTADISTICA1 el intervalo de confianza ESTADISTICA
1 el intervalo de confianza ESTADISTICA
 
estimacion de confianza por intervalos
estimacion de confianza por intervalosestimacion de confianza por intervalos
estimacion de confianza por intervalos
 
39028492 distribucion-t-de-student-scrib
39028492 distribucion-t-de-student-scrib39028492 distribucion-t-de-student-scrib
39028492 distribucion-t-de-student-scrib
 
39028492 distribucion-t-de-student-scrib
39028492 distribucion-t-de-student-scrib39028492 distribucion-t-de-student-scrib
39028492 distribucion-t-de-student-scrib
 
5.1 Intervalos de Confianza (primera parte)
5.1 Intervalos de Confianza (primera parte)5.1 Intervalos de Confianza (primera parte)
5.1 Intervalos de Confianza (primera parte)
 
Guia 3.estimadores estimación de una media
Guia 3.estimadores estimación de una mediaGuia 3.estimadores estimación de una media
Guia 3.estimadores estimación de una media
 
5)Estimación de parámetros.pptx
5)Estimación de parámetros.pptx5)Estimación de parámetros.pptx
5)Estimación de parámetros.pptx
 

Más de Universidad Nacional Experimental "Francisco de Miranda"

Paradigmas
ParadigmasParadigmas
Etica de la Ciencia
Etica de la CienciaEtica de la Ciencia
Articulo de Miguel Martinez
Articulo de Miguel MartinezArticulo de Miguel Martinez
Que quiere decir pensar
Que quiere decir pensarQue quiere decir pensar
Karl Popper
Karl PopperKarl Popper
Guia Regresion
Guia RegresionGuia Regresion
Prueba De Hip Ejercicios
Prueba De Hip EjerciciosPrueba De Hip Ejercicios
Estimacion Ejercicios
Estimacion EjerciciosEstimacion Ejercicios
Distribuciones Probabilisticas
Distribuciones ProbabilisticasDistribuciones Probabilisticas
Variables Aleatorias Ejercicios
Variables Aleatorias EjerciciosVariables Aleatorias Ejercicios
Probabilidad Ejercicios
Probabilidad EjerciciosProbabilidad Ejercicios
Descriptiva Ejercicios
Descriptiva EjerciciosDescriptiva Ejercicios
Regresion y Correlacion
Regresion y CorrelacionRegresion y Correlacion
Distribuciones De Probabilidad
Distribuciones De ProbabilidadDistribuciones De Probabilidad
Prueba de Hipotesis
Prueba de HipotesisPrueba de Hipotesis
Muestreo
MuestreoMuestreo
Variables Aleatorias
Variables AleatoriasVariables Aleatorias
Probabilidad
ProbabilidadProbabilidad
Estadistica Descriptiva
Estadistica DescriptivaEstadistica Descriptiva

Más de Universidad Nacional Experimental "Francisco de Miranda" (19)

Paradigmas
ParadigmasParadigmas
Paradigmas
 
Etica de la Ciencia
Etica de la CienciaEtica de la Ciencia
Etica de la Ciencia
 
Articulo de Miguel Martinez
Articulo de Miguel MartinezArticulo de Miguel Martinez
Articulo de Miguel Martinez
 
Que quiere decir pensar
Que quiere decir pensarQue quiere decir pensar
Que quiere decir pensar
 
Karl Popper
Karl PopperKarl Popper
Karl Popper
 
Guia Regresion
Guia RegresionGuia Regresion
Guia Regresion
 
Prueba De Hip Ejercicios
Prueba De Hip EjerciciosPrueba De Hip Ejercicios
Prueba De Hip Ejercicios
 
Estimacion Ejercicios
Estimacion EjerciciosEstimacion Ejercicios
Estimacion Ejercicios
 
Distribuciones Probabilisticas
Distribuciones ProbabilisticasDistribuciones Probabilisticas
Distribuciones Probabilisticas
 
Variables Aleatorias Ejercicios
Variables Aleatorias EjerciciosVariables Aleatorias Ejercicios
Variables Aleatorias Ejercicios
 
Probabilidad Ejercicios
Probabilidad EjerciciosProbabilidad Ejercicios
Probabilidad Ejercicios
 
Descriptiva Ejercicios
Descriptiva EjerciciosDescriptiva Ejercicios
Descriptiva Ejercicios
 
Regresion y Correlacion
Regresion y CorrelacionRegresion y Correlacion
Regresion y Correlacion
 
Distribuciones De Probabilidad
Distribuciones De ProbabilidadDistribuciones De Probabilidad
Distribuciones De Probabilidad
 
Prueba de Hipotesis
Prueba de HipotesisPrueba de Hipotesis
Prueba de Hipotesis
 
Muestreo
MuestreoMuestreo
Muestreo
 
Variables Aleatorias
Variables AleatoriasVariables Aleatorias
Variables Aleatorias
 
Probabilidad
ProbabilidadProbabilidad
Probabilidad
 
Estadistica Descriptiva
Estadistica DescriptivaEstadistica Descriptiva
Estadistica Descriptiva
 

Estimacion

  • 1. UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL “FRANCISCO DE MIRANDA” DPTO. DE FÍSICA Y MATEMÁTICA CÁTEDRA: ESTADÍSTICA TEMA Nº 6. ESTIMACIÓN PARÁMETRO: Es cualquier característica de una población que sea medible. Un parámetro es una medida que se calcula para describir una característica de una población completa. Se denota “ θ ”. ESTADÍSTICO: Es una medida que se calcula para describir una característica a partir de solo una muestra. Se denota “ ˆ ”. μ Población Muestra X σ2 s2 ρ ˆ ρ Parámetros Estadístic os θ ˆ ESTIMACIÓN: Consiste en la búsqueda de uno o varios parámetros de una población entre la que se ha efectuado un muestreo. Por ejemplo, Un candidato para un puesto público desea estimar la proporción real de votantes que lo apoyan mediante la obtención de las opiniones de una muestra aleatoria de n votantes. La fracción de ellos que lo apoyan puede usarse como una estimación de la Proporción real de la población total de votantes. Este problema pertenece, entonces al área de Estimación. CARACTERÍSTICAS DESEABLES DE UN ESTIMADOR:
  • 2. Es posible definir muchas estadísticas para estimar un Parámetro desconocido θ . Por ejemplo, puede elegirse la Mediana muestral para estimar el valor de la media Poblacional, o también la Media muestral. Entonces, ¿Cómo seleccionar un buen estimador de θ ? , ¿Cuáles son los criterios para juzgar cuando un estimador de θ es “bueno” o “malo”?. Si se piensa en términos de estimadores humanos como se encuentran en las grandes compañías, entonces, quizá un buen estimador es aquella persona cuyas estimaciones siempre se encuentran muy cercanas a la realidad. De aquí surgen dos propiedades deseables de un estimador: 1. La distribución muestral de ˆ debe tener una media igual al parámetro θ estimado 2. La varianza del estimador debe ser la menor posible 1. ESTIMADOR INSESGADO: Un estimador debe estar próximo en algún sentido al valor verdadero del parámetro desconocido. Se dice que ˆ es un estimador insesgado de θ si el valor esperado de ˆ es igual a θ . Esto equivale a afirmar que la media de la distribución de probabilidad de ˆ (o la media de la distribución de muestreo de ˆ ) es igual a θ . Si E( ˆ ) = θ , entonces el estimador es insesgado Si el estimador no es insesgado, entonces: E( ˆ ) - θ = sesgo En ocasiones existen varios estimadores insesgados del parámetro ( θ ) de la población. 2. VARIANZA DE UN ESTIMADOR: La varianza de un estimador insesgado es la cantidad más importante para decidir qué tan bueno es el estimador para estimar un parámetro θ . Por ejemplo, sean ˆ 1 y ˆ 2 dos estimadores insesgados del mismo parámetro poblacional. Se dice que ˆ es un 1 estimador más eficiente de θ que ˆ 2 si Var( ˆ 1 ) Var( ˆ 2 ). Es muy común utilizar el cociente Var( ˆ ) / Var( ˆ ) para determinar la eficiencia relativa de 1 2 ˆ con respecto a ˆ 1 .“Si se consideran todos los estimadores 2 insesgados posibles de θ , aquel con la varianza más pequeña recibe el nombre de estimador más eficiente de θ .
  • 3. ˆ1 ˆ3 ˆ2 θ Para la figura anterior, se observa claramente que solo ˆ sony ˆ 1 2 insesgados, dado que sus distribuciones se centran en θ . El estimador ˆ 1 tiene varianza más pequeña que ˆ , por tanto es más eficiente. En 2 consecuencia el estimador de θ que se seleccionaría es ˆ 1 . TIPOS DE ESTIMACIÓN: 1. ESTIMACIÓN PUNTUAL: Una estimación puntual de algún parámetro θ de ˆ la población es un valor numérico θ de la estadística ˆ . Los estimadores más frecuentes de los siguientes parámetros son: Parámetro Estimador más probable μ x , la media muestral σ2 o σ s2 o s, la varianza muestral o desviación estándar muestral ρ ˆ ρ =X/n, la proporción muestral, donde x es el número de objetos en una muestra aleatoria de tamaño n que pertenece a la clase de interés μ1 μ2 x1 x 2 , la diferencia de medias muestrales de dos muestras aleatoria independientes ρ1 ρ2 ˆ ˆ ρ1 ρ2 , la diferencia entre las proporciones de dos muestras aleatorias independientes 2. ESTIMACIÓN POR INTERVALOS: En muchas situaciones, una estimación puntual no proporciona información suficiente sobre un parámetro θ . Por ejemplo, si se tiene interés en estimar la resistencia promedio a la tensión de cierto elemento estructural, es probable que un solo número no sea tan significativo como un intervalo, dentro del cual se espera encontrar el valor
  • 4. de este parámetro. El intervalo estimado recibe el nombre de Intervalo de Confianza. Una estimación por intervalos de un parámetro desconocido θ es un intervalo de la forma l θ u , donde los puntos extremo l y u dependen del valor numérico de la estadística ˆ para una muestra en particular y de la distribución de muestreo de ˆ . De la distribución de muestreo de ˆ es posible determinar los valores de l y u tales que la siguiente proposición sea verdadera: P( l θ u ) = 1 - ; 0< <1 Por tanto se tiene una probabilidad de 1- de seleccionar una muestra que produzca un intervalo que contiene el valor verdadero de θ . El intervalo resultante: l θ u Se conoce como Intervalo de Confianza del 100 (1- ) por ciento. Las cantidades l y u se denominan límites de confianza inferior y superior y 1- es el coeficiente de confianza. De tal forma, cuando =0,05, se tiene un Intervalo de confianza del 95% y cuando =0,01 se tiene uno del 99%. Entre mayor es el intervalo de confianza se tiene más seguridad de que el mismo contenga el parámetro desconocido. Un intervalo del tipo l θ u , recibe el nombre más apropiado de Intervalo de Confianza Bilateral. También existen intervalos de confianza Unilaterales: θ l y θ u , donde los límites de confianza se eligen de modo que: P( θ l ) = 1- y P( θ u ) = 1- A continuación se presentan métodos para encontrar Intervalos de Confianza para Medias, Varianzas y Proporciones: INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA DE UNA POBLACIÓN CON VARIANZA CONOCIDA: Si x es la media de una muestra aleatoria de tamaño n de una población con varianza conocida σ 2 , un intervalo de confianza para μ del 100(1- ) por ciento esta dado por: σ σ X - Z1-α 2 μ X Z1-α 2 n n
  • 5. Donde Z α 2 es el punto en la Distribución Normal Estándar que corresponde al porcentaje /2 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS POBLACIONALES CON VARIANZAS CONOCIDAS: Si x1 y x 2 son las medias de dos muestras aleatorias independientes de tamaño n1 y n2 tomadas de poblaciones con varianzas conocidas σ1 y σ 2 2 2 respectivamente, entonces un intervalo de confianza del 100(1- ) por ciento para μ1 μ2 esta dado por: σ1 2 σ2 σ1 2 σ2 x1 - x 2 Z1 α2 2 μ1 μ2 x1 - x 2 Z1 α2 2 n1 n2 n1 n2 Donde Z α 2 es el punto en la Distribución Normal Estándar que corresponde al porcentaje /2 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA DE UNA POBLACIÓN CON VARIANZA DESCONOCIDA: Si x y s son la media y la desviación estándar de una muestra aleatoria de tamaño n de una población con varianza desconocida σ 2 , un intervalo de confianza para μ del 100(1- ) por ciento esta dado por: S S X - t1-α 2,n 1 μ X t1-α 2,n 1 n n Donde Tα 2 es el punto crítico superior que corresponde al % /2 en la Distribución T con n-1 G.L. INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS POBLACIONALES CON VARIANZAS DESCONOCIDAS PERO IGUALES: Si x1, x 2 y s1 , s 2 son las medias y las varianzas de dos 2 2 muestras aleatorias independientes de tamaño n1 y n2 tomadas de poblaciones con varianzas desconocidas pero iguales σ1 σ 2 2 2 respectivamente, entonces un intervalo de confianza del 100(1- ) por ciento para μ1 μ2 esta dado por: 1 1 1 1 x1 - x 2 t1 α 2,n1 n2 2 Sp μ1 μ2 x1 - x 2 t1 α 2,n1 n2 2 Sp n1 n2 n1 n2
  • 6. Donde Sp se denomina Estimador combinado de la desviación estándar común de la población: n1 1 s1 n2 1 s2 2 2 Sp n1 n2 2 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS POBLACIONALES CON VARIANZAS DESCONOCIDAS Y DIFERENTES: Si x1, x 2 y s1 , s 2 son las medias y las varianzas de dos 2 2 muestras aleatorias independientes de tamaño n1 y n2 tomadas de poblaciones con varianzas desconocidas y diferentes σ1 σ 2 2 2 respectivamente, entonces un intervalo de confianza del 100(1- ) por ciento para μ1 μ2 esta dado por: 2 s1 s2 2 s1 s2 x1 - x 2 t1 α 2,ν 2 μ1 μ2 x1 - x 2 t1 α 2, ν 2 n1 n2 n1 n2 Donde “v” son los grados de libertad, y están dados por: 2 s1 n1 s 2 n2 2 2 v 2 2 2 s1 n1 s 2 n2 2 n1 1 n2 1 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA VARIANZA DE UNA POBLACIÓN: Si s2 es la Varianza de una muestra aleatoria de tamaño n, tomada de una distribución normal con varianza desconocida σ 2 , entonces un intervalo de confianza del 100(1- ) por ciento para σ 2 esta dado por: (n 1) S2 (n 1) S2 σ2 χ1 α 2,n 1 2 χ 2 2,n 1 α Donde χ 2 2 y χ1-α 2 son valores en la Distribución Chi-Cuadrado de v=n-1 α 2 grados de libertad
  • 7. INTERVALO DE CONFIANZA PARA EL COCIENTE DE DOS VARIANZAS POBLACIONALES: Si s1 y s 2 son las Varianzas de dos 2 2 muestras aleatorias e independientes de tamaño n1 y n2 respectivamente, tomadas de poblaciones normales, entonces un intervalo de confianza del 100(1- ) por ciento para σ 1 σ 2 esta dado por: 2 2 2 s1 1 σ1 2 2 s1 1 2 s2 fα 2,n1 1,n2 1 σ2 2 2 s2 f1 α 2,n2 1,n1 1 Donde: 1 fα 2,n1 1,n2 1 f1 α 2,n2 1,n1 1 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA PROPORCIÓN DE UNA ˆ POBLACIÓN: Si ρ es la proporción de éxitos en una muestra aleatoria de tamaño n que pertenece a una clase de interés, entonces un intervalo de confianza del 100(1- ) por ciento para la proporción ρ de la población esta dado por: ˆ ˆ p (1 p) ˆ ˆ p (1 p) ˆ p Z1 α 2 p ˆ p Z1 α 2 n n Donde Z α 2 es el punto en la Distribución Normal Estándar que corresponde al porcentaje /2 INTERVALO DE CONFIANZA PARA DIFERENCIA DE ˆ ˆ PROPORCIONES POBLACIONALES: Si ρ1 y ρ 2 son las proporciones de éxitos en dos muestras aleatorias de tamaños n1 y n2 respectivamente, que pertenecen a una clase de interés, entonces un intervalo de confianza del 100(1- ) por ciento para ρ1 ρ2 esta dado por: ˆ ˆ ρ1q1 ˆ ˆ ρ 2 q2 ˆ ˆ ρ1q1 ˆ ˆ ρ 2 q2 ˆ ˆ ρ1 ρ 2 Z1-α 2 ρ1 ρ 2 ˆ ˆ ρ1 ρ 2 Z1-α 2 n1 n2 n1 n2 Donde: ˆ ˆ q1 1 ρ1 y ˆ q2 ˆ 1 ρ2