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                            EJERCICIOS PROPUESTOS

                              VARIABLES ALEATORIAS

1. Sea W una variable aleatoria que representa el número de caras menos el
   de sellos en tres lanzamientos de una moneda. Indique los elementos del
   espacio muestral S para los tres lanzamientos de la moneda y asigne un
   valor de w de la variable W a cada punto muestral.

2. Determine el valor de c de tal forma que cada una de las siguientes
   funciones sirva como una distribución de probabilidad de la VA Discreta X:

      a) f(x)   c(x 2       4),           para x 0,1,2,3
                        2         3
      b) f(x)    c                    ,       para x 0,1,2
                        x     3- x




3. Encuentre la distribución de probabilidad de la Variable Aleatoria W en el
   ejercicio 1, suponiendo que la moneda está cargada de tal forma que una
   cara tiene dos veces más la probabilidad de ocurrir con respecto a un sello.

4. Encuentre la distribución acumulada de la VA W en el ejercicio 3. Utilizando
   F(w), encuentre:

      a) P(W > 0)
      b) P(-1< W <3)

5. El dueño de una conjunto de casas residenciales ofrece a sus clientes
   créditos para adquirir casas que vencen después de diferentes números de
   años. Dada la distribución acumulada de T, el número de años para el
   vencimiento de un crédito seleccionado aleatoriamente, es:

                                                                  0,     t   1
                                                                  1 4,   1   t 3
                                                           F(x)   1 2,   3    t 5
                                                                  3 4,   5     t 7
                                                                  1      t   7
      Encuentre:
      a) P(T = 5)
      b) P(T > 3)
c) P(1,4 <T< 6)

6. Una VA Continua X que puede tomar valores entre x = 1 y x = 3 tiene una
   función de densidad f(x) = 1/2

      a) Demuestre que el área bajo la curva es igual a 1
      b) Encuentre P(2< X <2,5)
      c) Encuentre P(X 1,6)

7. El número de bloques que salen de un proceso de producción en un
   intervalo de tiempo dado es una VA que tiene la función de densidad:
                                                    20000
                                                          3
                                                            ,               x 0
                                        f(x)       x 100
                                                  0,                        otro caso

      a) Encuentre la probabilidad de que en cierto tiempo se produzcan al
         menos 200 bloques
      b) Entre 80 y 120 bloques


8. Encuentre la distribución acumulada de la Variable aleatoria X que
   representa el número de automóviles extranjeros que trabajan con diesel
   vendidos por una agencia, la cual posee la siguiente fórmula de
   probabilidad:
                                                     4

                                                     x
                                           f(x)                    para x    0,1,2,3,4
                                                    16


9. Supóngase que el error en la temperatura de reacción, en ºC, para un
   experimento controlado de laboratorio es una VA Continua X, que tiene la
   función de densidad de probabilidad:

                                             x2
                                                ,                -1 x 2
                                    f(x)      3
                                             0,                  en cualquier otro caso

      a) Encuentre P(0< x <1,5)
      b) Encuentre la distribución acumulada de f(x) y utilícela para evaluar
         P(0,5< x <1)

10. La función de densidad de probabilidad del tiempo de falla en horas de un
    componente electrónico es:

                                                    e x 1000
                                           f(x)              ,         para x     0
                                                    1000
Calcule la probabilidad de que:

      a) El componente tarde más de 3000 hrs en fallar
      b) El componente falle en el lapso entre 1000 y 2000 horas
      c) El componente falle antes de las 1000 horas
      d) Calcule el número de horas en las que fallará el 10% de los
         componentes
      e) Calcule F(X) y utilícela para evaluar los incisos anteriores

11. Considérese la función de densidad:

                                                     k x,                       0   x 1
                                         f(x)
                                                     0,                     en cualquier otro caso


      a) Encuentre el valor de k
      b) Encuentre la función acumulada de probabilidad y utilícela para
         evaluar P(0,3< x <0,6)

12. La distribución de probabilidad de la VA Discreta X es:

                                                           x         3- x
                                                3     1          3
                                  f(x)                                      ,         para x 0,1,2,3
                                                x     4          4


      a) Encuentre la media y la varianza de X

13. Por invertir en la construcción de una Obra un Ingeniero Civil puede obtener
    ganancias de $4000 con una probabilidad de 0,35 o una pérdida de $1000
    con una probabilidad de 0,65. ¿Cuál es la ganancia que espera este
    Ingeniero?

14. El dueño de una excavadora desea asegurar su equipo por $20000. La
    compañía aseguradora estima que una pérdida total puede ocurrir con una
    probabilidad de 0,2%, un 50% de pérdida con una probabilidad de 1% y un
    25% de pérdida con una de 10%. Ignorando todas las otras pérdidas
    parciales. ¿qué prima deberá cobrar anualmente la compañía aseguradora
    para tener una utilidad promedio de $500?

15. Si la utilidad de un distribuidor, en unidades de $1000, en un nuevo equipo
    de construcción puede considerarse como una VA X con una función de
    densidad:

                                                               2(1- x),               0 x 1
                                                    f(x)
                                                               0,                     otro caso
a) Encuentre la utilidad promedio por equipo de construcción
      b) Encuentre la varianza

16. La muestras de cierta materia prima se clasifican de acuerdo con su
    contenido de humedad e impurezas, a continuación se presentan los
    resultados obtenidos con 80 muestras:

                                         Contenido de Humedad
                                           3%           4%
           Contenido de        1%            5          14
            Impurezas          2%           57           4

      a) Encuentre la media y la varianza del contenido de humedad de estas
         muestras
      b) Calcule la media y la varianza del contenido de impurezas de estas
         muestras

17. Un estudio de mercadotecnia estima que un nuevo instrumento para el
    análisis de muestras de terreno tendrá mucho, poco o ningún éxito, con
    probabilidades 0,3; 0,6 y 0,1, respectivamente. Las ganancias anuales
    asociadas con un producto muy exitoso, poco exitoso o o no exitoso son 10
    millones, 5 millones o 1 millón de dólares. Defínase la VA X como la
    ganancia anual del producto.

      a) Determine la función de probabilidad de X
      b) Determine la media y la varianza de X


18. Supóngase que el ingreso semanal de un asesor profesional es una VA
    cuya función de densidad de probabilidad está determinada por:

                                               1 - x 800
                                                  e      ,           x 0
                                       f(x)   800
                                              0,                 otro caso

      a) Determine el ingreso medio
      b) Determine la VAR(X)
      c) Determine la probabilidad de que el ingreso semanal exceda al
         ingreso promedio

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Variables Aleatorias Ejercicios

  • 1. UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL “FRANCISCO DE MIRANDA” DPTO. DE FÍSICA Y MATEMÁTICA U.C.: ESTADÍSTICA EJERCICIOS PROPUESTOS VARIABLES ALEATORIAS 1. Sea W una variable aleatoria que representa el número de caras menos el de sellos en tres lanzamientos de una moneda. Indique los elementos del espacio muestral S para los tres lanzamientos de la moneda y asigne un valor de w de la variable W a cada punto muestral. 2. Determine el valor de c de tal forma que cada una de las siguientes funciones sirva como una distribución de probabilidad de la VA Discreta X: a) f(x) c(x 2 4), para x 0,1,2,3 2 3 b) f(x) c , para x 0,1,2 x 3- x 3. Encuentre la distribución de probabilidad de la Variable Aleatoria W en el ejercicio 1, suponiendo que la moneda está cargada de tal forma que una cara tiene dos veces más la probabilidad de ocurrir con respecto a un sello. 4. Encuentre la distribución acumulada de la VA W en el ejercicio 3. Utilizando F(w), encuentre: a) P(W > 0) b) P(-1< W <3) 5. El dueño de una conjunto de casas residenciales ofrece a sus clientes créditos para adquirir casas que vencen después de diferentes números de años. Dada la distribución acumulada de T, el número de años para el vencimiento de un crédito seleccionado aleatoriamente, es: 0, t 1 1 4, 1 t 3 F(x) 1 2, 3 t 5 3 4, 5 t 7 1 t 7 Encuentre: a) P(T = 5) b) P(T > 3)
  • 2. c) P(1,4 <T< 6) 6. Una VA Continua X que puede tomar valores entre x = 1 y x = 3 tiene una función de densidad f(x) = 1/2 a) Demuestre que el área bajo la curva es igual a 1 b) Encuentre P(2< X <2,5) c) Encuentre P(X 1,6) 7. El número de bloques que salen de un proceso de producción en un intervalo de tiempo dado es una VA que tiene la función de densidad: 20000 3 , x 0 f(x) x 100 0, otro caso a) Encuentre la probabilidad de que en cierto tiempo se produzcan al menos 200 bloques b) Entre 80 y 120 bloques 8. Encuentre la distribución acumulada de la Variable aleatoria X que representa el número de automóviles extranjeros que trabajan con diesel vendidos por una agencia, la cual posee la siguiente fórmula de probabilidad: 4 x f(x) para x 0,1,2,3,4 16 9. Supóngase que el error en la temperatura de reacción, en ºC, para un experimento controlado de laboratorio es una VA Continua X, que tiene la función de densidad de probabilidad: x2 , -1 x 2 f(x) 3 0, en cualquier otro caso a) Encuentre P(0< x <1,5) b) Encuentre la distribución acumulada de f(x) y utilícela para evaluar P(0,5< x <1) 10. La función de densidad de probabilidad del tiempo de falla en horas de un componente electrónico es: e x 1000 f(x) , para x 0 1000
  • 3. Calcule la probabilidad de que: a) El componente tarde más de 3000 hrs en fallar b) El componente falle en el lapso entre 1000 y 2000 horas c) El componente falle antes de las 1000 horas d) Calcule el número de horas en las que fallará el 10% de los componentes e) Calcule F(X) y utilícela para evaluar los incisos anteriores 11. Considérese la función de densidad: k x, 0 x 1 f(x) 0, en cualquier otro caso a) Encuentre el valor de k b) Encuentre la función acumulada de probabilidad y utilícela para evaluar P(0,3< x <0,6) 12. La distribución de probabilidad de la VA Discreta X es: x 3- x 3 1 3 f(x) , para x 0,1,2,3 x 4 4 a) Encuentre la media y la varianza de X 13. Por invertir en la construcción de una Obra un Ingeniero Civil puede obtener ganancias de $4000 con una probabilidad de 0,35 o una pérdida de $1000 con una probabilidad de 0,65. ¿Cuál es la ganancia que espera este Ingeniero? 14. El dueño de una excavadora desea asegurar su equipo por $20000. La compañía aseguradora estima que una pérdida total puede ocurrir con una probabilidad de 0,2%, un 50% de pérdida con una probabilidad de 1% y un 25% de pérdida con una de 10%. Ignorando todas las otras pérdidas parciales. ¿qué prima deberá cobrar anualmente la compañía aseguradora para tener una utilidad promedio de $500? 15. Si la utilidad de un distribuidor, en unidades de $1000, en un nuevo equipo de construcción puede considerarse como una VA X con una función de densidad: 2(1- x), 0 x 1 f(x) 0, otro caso
  • 4. a) Encuentre la utilidad promedio por equipo de construcción b) Encuentre la varianza 16. La muestras de cierta materia prima se clasifican de acuerdo con su contenido de humedad e impurezas, a continuación se presentan los resultados obtenidos con 80 muestras: Contenido de Humedad 3% 4% Contenido de 1% 5 14 Impurezas 2% 57 4 a) Encuentre la media y la varianza del contenido de humedad de estas muestras b) Calcule la media y la varianza del contenido de impurezas de estas muestras 17. Un estudio de mercadotecnia estima que un nuevo instrumento para el análisis de muestras de terreno tendrá mucho, poco o ningún éxito, con probabilidades 0,3; 0,6 y 0,1, respectivamente. Las ganancias anuales asociadas con un producto muy exitoso, poco exitoso o o no exitoso son 10 millones, 5 millones o 1 millón de dólares. Defínase la VA X como la ganancia anual del producto. a) Determine la función de probabilidad de X b) Determine la media y la varianza de X 18. Supóngase que el ingreso semanal de un asesor profesional es una VA cuya función de densidad de probabilidad está determinada por: 1 - x 800 e , x 0 f(x) 800 0, otro caso a) Determine el ingreso medio b) Determine la VAR(X) c) Determine la probabilidad de que el ingreso semanal exceda al ingreso promedio