El documento describe varias distribuciones de probabilidad discretas y continuas, incluyendo la distribución discreta uniforme, el proceso de Bernoulli, la distribución binomial, la distribución geométrica, y la distribución hipergeométrica. Para cada distribución, se definen sus parámetros y se proporcionan fórmulas para calcular la media y la varianza. También se incluyen ejemplos ilustrativos para cada distribución.

1. UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
“FRANCISCO DE MIRANDA”
DPTO. DE FÍSICA Y MATEMÁTICA
U.C.: ESTADÍSTICA
TEMA Nº 4. DISTRIBUCIONES PROBABILÍSTICAS
En este tema se estudiarán algunas distribuciones específicas de probabilidad
que han demostrado, empíricamente, ser modelos útiles para diversos
problemas prácticos.
Se examinarán varias distribuciones, tanto Discretas como Continuas. En cada
caso se expondrán detalladamente las características distintivas de las
Distribuciones particulares de Probabilidad y se deducirán o se establecerán
sus parámetros principales (media, varianza).
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS:
DISTRIBUCIÓN DISCRETA UNIFORME
La VA Discreta más sencilla es aquella que toma solo un número finito de
valores posibles, cada uno con la misma probabilidad de ocurrencia. Esta
distribución de probabilidad se llama DISTRBICUIÓN DISCRETA UNIFORME,
la cual está dad por:
1
f(x,k) k : Número de valores de la Variable
k
Se ha usado la notación f(x,k) en lugar de f(x) para indicar que la DDU depende
del parámetro k. La media y la varianza de una DDU están dadas por:
k k
Xi (xi μ)2
μx i 1
σ2
x
i 1
k k
Ej: En un proceso de recubrimiento se tomaron varias divisiones del espesor,
hasta le centésima de mm más cercana. Las mediciones están distribuidas de
manera uniforme con valores 0,15; 0,16; 0,18; 0,20; 0,25. Calcule la media y la
varianza.
1 1
f(x,k) f(x,5)
k 5
0,15 0,16 0,18 0,20 0,25
μx 0,188
5

2. 2 2 2 2 2
0,15 - 0,188 0,16 - 0,188 0,18 - 0,188 0,20 - 0,188 0,25 - 0,188
σ2
x 0,001256
5
PROCESO DE BERNOULLI
Muchos experimentos aleatorios producen resultados que pueden considerarse
como éxitos o fracasos, por ejemplo:
1) Lanzar una moneda al aire 10 veces y ver el mínimo de caras obtenidas
2) Una máquina herramienta desgastada produce X cantidad de partes
defectuosas en las siguientes 25 que se producen
3) De los siguientes 20 nacimientos en un hospital, se observa el número
de niños
Un ensayo con solo dos resultados posibles denotados por “éxito” o “fracaso”
recibe el nombre de ENSAYO O PROCESO DE BERNOULLI.
Un ensayo de Bernoulli debe tener las siguientes propiedades:
a. El experimento consiste en n ensayos repetidos
b. Los resultados de cada uno de los intentos pueden clasificarse como
éxito o fracaso
c. La probabilidad de éxito, permanece constante para todos los intentos
d. Los eventos repetidos son independientes (Implica que el resultado de
uno de los ensayos no tiene ningún efecto sobre el resultado que se
obtenga en cualquier otro ensayo)
El proceso de Bernoulli genera una VA X que representa el número de éxitos
en n ensayos repetidos y que se denomina VA Binomial o VA Bernoulli.
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Posee las mismas propiedades que el Procesote Beronulli.
Un experimento aleatorio Binomial puede resultar en un Éxito con probabilidad
“p” o en un fracaso con probabilidad “q=1–p”. La Distribución de Probabilidad
de la VA X, número de éxitos en n ensayos independientes, está dada por:
n
f(x, n, p) p x qn x
x 1,2,..., n
x

3. n n!
Donde: ; P(X x) f(x) f(x, n, p)
x n x ! x!
La media y la varianza de la Distribución Binomial, están dadas por:
μx np σ2
x npq
Ej: La probabilidad de recibir de manera errónea un bip transmitido por un canal
de transmisión digital es 0,30. Además supóngase que los ensayos de
transmisión son independientes. Sea X el número de bips recibidos por error en
los primeros 6 que sean transmitidos. Calcule P(X=2).
Se tiene que p = 0,30; q = 1-p = 0,70; n = 6; x=2
6
P(X 2) f(2;6;0,30 ) 0,30 2 0,70 6 2
2
6!
f(2;6;0,30) 0,09 0,2401 0,3241
4! 2!
DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA
Considérese una serie de ensayos de Bernoulli, los cuales son independientes
con probabilidad de éxito constante p en cada ensayo. Sin embargo, en lugar
de tener un número fijo de ensayos, ahora éstos se realizan hasta que se
obtiene un éxito. Entonces se genera una VA X que representa el Número de
ensayos realizados hasta obtener el primer éxito.Esta VA tiene una Distribución
de Probabilidad llamada DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA la cual se enuncia:
“Si un experimento aleatorio puede resultar en un éxito con probabilidad “p” o
en un fracaso con probabilidad “q=1-p”, la Distribución de probabilidad de la VA
X número de ensayos en el cual ocurre el primer éxito esta dad por:
g(x, p) pq x -1
La media y la varianza de la Distribución Geométrica, están dadas por:
1 1 p
μx σ2
x
p p2

4. Ej: La probabilidad de que una empresa contratista gane una licitación para un
nuevo proyecto es 0,77. Encuentre la probabilidad de que una contratista gane
una licitación:
a) En el tercer intento
b) Antes del cuarto intento
a) En el tercer intento
X = 3; p = 0,77 g(x, p) pq x -1
g(3;0,77) 0,77 (1- 0,77) 3-1 0,0407
b) Antes del cuarto intento
P(X 3) P(X 1) P(X 2) P(X 3) g(1;0,77) g(2;0,77) g(3;0,77)
g(1;0,77) 0,77 (0,23) 0 0,77
g(2;0,77) 0,77 (0,23) 1 0,1771
g(3;0,77) 0,77 (0,23) 2 0,0407
P(X 3) 0,77 0,1771 0,0407 0,9878
DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA
En la Distribución Binomial y Geométrica los ensayos son independientes, es
decir, el resultado de uno de los ensayos no tiene ningún efecto sobre el
resultado que se obtenga en otro ensayo. Ésto se debe a que los ensayos se
realizan con reemplazo. Pero que sucede si dichos ensayos se realizan sin
reemplazo, entonces, se obtiene una distribución llamada
HIPERGEOMÉTRICA.
Un experimento Hipergeométrico posee las siguientes propiedades:
- De N resultados se selecciona una muestra al azar (sin reemplazo) de
tamaño N
- De los N resultados, k de ellos son éxitos y N – k son fracasos
Se enuncia de la siguiente manera:
Sea un experimento aleatorio con N resultados, de los cuales k de ellos se
clasifican como éxitos y N-k como fracasos. La distribución de probabilidad de
la VA X que representa el número de éxitos de una muestra de tamaño n
seleccionada de los N resultados independientes esta dada por:

5. k N-k
x n- x
h(x, N, n, k) N
x 0,1,2,..., n
n
Donde: K: Número de éxitos en el total (N)
X: Número de éxitos en la muestra
N: Tamaño de la muestra
La media y la varianza de la Distribución Hipergeométrica, están dadas por:
nk nk N n k
μx σ2
x 1
N N N 1 N
Ej: Para evitar la detección en las aduanas, un viajero ha colocado 6 tabletas
de narcóticos en un frasco que contiene 9 tabletas de vitaminas con apariencia
similar. Si un vigilante selecciona 3 tabletas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de
que el viajero sea arrestado por posesión de narcóticos?
Se tiene: N= 15; n=3; k=6
El viajero será arrestado si el vigilante de las tres que selecciona obtiene 3 o
menos tabletas de narcóticos, entonces:
P(X 3) P(X 1) P(X 2) P(X 3) h(1,15,3,6 h(2,15,3,6 h(3,15,3,6
) ) )
6 15 - 6
1 3 -1 216
h(1,15,3,6 ) 15
455
3
6 15 - 6
2 3-2 27
h(2,15,3,6 ) 15
91
3

6. 6 15 - 6
3 3 -3 4
h(3,15,3,6 ) 15
91
3
216 27 4 53
P(X 3) 0,82
455 91 91 55
DISTRIBUCIÓN POISSON
La Distribución Poisson es una de las Distribuciones Probabilísticas Discretas
más útiles en la que la VA representa el número de resultados que ocurren
durante un intervalo de tiempo dado o en una región especificada. La región
especificada puede ser un segmento de recta, área, volumen o quizás una
porción de material. Algunos ejemplos de una VA X Poisson incluyen:
- Número de llamadas telefónicas recibidas por hora en una oficina
- Número de personas que llegan a una tienda en un intervalo de tiempo
determinado
- Número de solicitudes de seguro procesadas por una compañía en un
año
- Número de bloques puestos en una edificación por día
- Número de errores de mecanografía por página
- Número de plantas sembradas por hectárea
- Número de bacterias por cultivo
Un experimento de Poisson posee las siguientes propiedades:
a) El número de resultados en un intervalo de tiempo dado o en una región
especificada es estadísticamente independiente al de otro intervalo o
región.
b) La probabilidad de que ocurra un resultado en un intervalo de tiempo
dado o en una región es proporcional a la magnitud del intervalo de
tiempo o región, sin importar el número de resultados que ocurran fuera
del intervalo o región.
c) La probabilidad de que ocurra más de un resultado en una región
especificada o en un intervalo de tiempo dado es despreciable.
La DISTRIBUCIÓN POISSON se enuncia como sigue:
La distribución de probabilidad de la VA de Poisson X que representa el
número de resultados que se producen en un intervalo de tiempo dado o en
una región específica esta dada por:

7. e λλx
p(x, λ) x 0,1,2,..., n
x!
Donde λ representa el número promedio de resultados en un
intervalo de tiempo dado o región especificada
La media y la varianza de la Distribución Poisson, están dadas por:
μx λ σ2
x λ
Ej: El número promedio de partículas radiactivas que detecta un contador
durante un milisegundo (ms) en un experimento es 4. ¿Cuál es la probabilidad
de que se detecten 6 partículas en 1ms?
Se tiene: λ = 4
e 4 46
P(x 6) p(6,4) 0,1042
6!
¿Cuál es la probabilidad de que se detecten menos de 3 partículas?
e 44 e 4 42
P(x 3) P(X 1) P(X 2) p(1,4) p(2,4) 0,2198
1! 2!
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS:
DISTRIBUCIÓN CONTINUA UNIFORME
Supóngase que ocurre un evento en que una variable aleatoria toma valores de
un intervalo finito, de manera que éstos se encuentran distribuidos igualmente
sobre el intervalo. Esto es, la probabilidad de que la VA tome un valor en cada
subintervalo de igual longitud es la misma. Se dice entonces que la VA se
encuentra distribuida uniformemente sobre el intervalo y su función de
densidad esta dada por:
1
si a x b
f(x, a,b) b a
0 para cualquier otro valor

8. La media y la varianza de la Distribución Continua Uniforme son:
a b (b a) 2
μx E(X) σ 2
x V(X)
2 12
Ej: Sea la VAC X que representa la corriente medida en miliamperes, en un
conductor delgado de cobre. Supóngase que el rango de X es [0,20 mA] y que
la función de densidad de probabilidad de X es f(x) = 0,05 si 0 ≤ x ≤ 20. ¿Cuál
es la probabilidad de que una medición de corriente esté entre 5 y 10 mA?
10 10
10
P(5 x 10) f(x)dx 0,05dx 0,05x 5 0,25
5 5
DISTRIBUCIÓN NORMAL
La Distribución NORMAL o GAUSSIANA es indudablemente la más importante
y la de mayor uso de todas las distribuciones continuas de probabilidad. La
apariencia gráfica de esta distribución es una curva simétrica en forma de
campana, que se extiende sin límite tanto en la dirección positiva como en la
negativa.
Área = 1
µ
La función de densidad de una VAN X con media μ y varianza σ 2 es:
x μ
2
x
1 12
σ
n(x,μ, σ) e μ
2πσ σ2 0

9. Donde: X: Valor de cualquier observación específica
μ : La media de la distribución
σ : La desviación estándar de la distribución
π : La constante 3,14159…
e: La constante 2,71828…
La curva de cualquier distribución continua de probabilidad o función de
densidad está construida de tal modo que el área bajo la curva, limitada por los
puntos x=x1 y x=x2 es igual a la probabilidad de que la VAX asuma un valor
entre x=x1 y x=x2, esto es:
X1 X2 μ
P(x1<x<x2)= Área de la región sombreada
x2
P(x1 x x2 ) n(x,μ, σ)dx
x1
La dificultad que se encuentra al resolver integrales de las funciones de
densidad de muchas variables aleatorias normales hace necesaria la
tabulación de las áreas de la curva para una referencia rápida. Sin embargo,
sería una tarea incalculable crear tablas separadas para cada valor concebible
de μ y σ . Por ello, es posible transformar todas las observaciones de cualquier
VAN X en un nuevo conjunto de observaciones de una VAN Z con μ 0 y σ 1
. La cual recibe el nombre de Variable Aleatoria Normal Estándar.
Si X es una Variable aleatoria normal con E(X) = μ y V(X) = σ 2 , entonces la
variable aleatoria:
x μ
Z
σ

10. Es una Variable aleatoria normal con E(Z) = 0 y V(Z) = 1. Esto es, Z es una
variable aleatoria normal estándar.
P(X x) P(Z z)
Ej: Supóngase que las mediciones de corriente realizadas en una pista de
alambre conductor siguen una distribución normal con media de 10
miliamperes y varianza de 4 mA2. ¿Cuál es la probabilidad de que el valor de
medición se encuentre entre 9 y 12 mA?
P(x 1 x x 2 ) P(z1 z z2 ) P(z z 2 ) P(z z1 )
x1 μ 9 10 x2 μ 12 10
Z1 0,50 y Z2 1,00
σ 2 σ 2
P(9 x 12) P(-0,50 z 1,00) P(z 1,00) P(z -0,50)
De la tabla de la Distribución Normal Estándar:
P(z 1,00) 0,8413
P(z -0,50) 0,3085
P(-0,50 z 1,00) 0,8413- 0,3085 0,5328
DISTRIBUCIÓN GAMMA Y EXPONENCIAL
La Distribución Poisson se desarrolló como una distribución con un parámetro
llamado λ , donde λ puede interpretarse como el número promedio de eventos
por unidad de tiempo. Considérese ahora una VA descrita como el tiempo que
se requiere para que ocurra el primer evento, de esta forma se obtiene una
Distribución llamada EXPONENCIAL la cual, entonces, describe el tiempo
hasta que ocurre un evento de poisson (o el tiempo entre eventos de Poisson).
Por otro lado, la DISTRIBUCIÓN GAMMA describe la función de densidad de
la VA que representa el tiempo (o espacio) que transcurre hasta que ocurre un
“número específico de eventos de Poisson”. Éste número específico de eventos
se conoce como α en la función de densidad Gamma.
Una VAC X tiene una Distribución Gamma con parámetros α y β si su función
de densidad es:
1
α
x α-1e- x β si x 0
f(x) β Γ(α)
0 para cualquier otro v

11. La media y la varianza de la Distribución Gamma son:
μx αβ σ2
x αβ2
Una VAC X tiene una Distribución Exponencial con parámetro β si su función
de densidad es:
1 -x β
e si x 0
f(x) β
0 para cualquier otro valor
1
Donde: β
λ
La media y la varianza de la Distribución Exponencial son:
μx β σ2
x β2
La Distribución Exponencial es un caso especial de la Distribución Gamma
cuando α = 1.
Ej: Suponga que llegan llamadas telefónicas a un conmutador en particular y
que siguen el proceso de Poisson con un promedio de 5 llamadas por minuto.
¿Cuál es la probabilidad de que pase hasta 1 minuto antes de que lleguen 2
llamadas?
Se tiene que el número promedio de llamadas telefónicas en un intervalo de
tiempo (1 minuto) es 5, entonces:
1 1
λ 5 β ; α 2 llamadas
β 5

12. 1
1 -x β
P(X x) xe
0
βα
1 -x 1 1
1 e 5x 1
P(X 1) 2
x 2-1e 1 5 dx 25 xe 5x
dx 25 x 0,96
0 15 0
5 5 0