Este documento presenta un estudio paramétrico de un sistema dinámico de primer orden descrito por una ecuación diferencial de primer orden lineal. Se estudia el comportamiento del sistema ante tres tipos de condiciones de entrada (impulso, escalón y rampa) y cómo varían sus parámetros. Se grafican los resultados y se discuten las implicaciones de los parámetros tiempo de respuesta y ganancia del sistema en la estabilidad de la respuesta.

1. Proyecto
Estudio paramétrico de un sistema
dinámico de primer orden
Contreras Custodio Ángel Alberto

2. Contreras Custodio Ángel Alberto
Universidad Veracruzana
Índice
Introducción
Pág. 3
Objetivo
Pág. 4
Resultados
Pág. 5
Discusiones
Pág. 9
Conclusiones
Pág. 10
Bibliografía
Pág. 11
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Introducción
El control automático ha desempeñado un papel muy importante en el
avance de la ingeniería y la ciencia desde principios del siglo XX. En la
actualidad, además de su gran importancia en los sistemas de vehículos
espaciales, sistemas robóticos y análogos, el control automático se ha convertido
en una parte importante de los procesos industriales y de fabricación. Por
ejemplo, el control automático es esencial en el diseño de automóviles y
camiones en la industria automotriz, en el control numérico de las maquinas
herramientas de las industrias de manufactura y en el diseño de pilotos
automáticos en la industria aeroespacial. También es esencial en las
operaciones industriales como el control de presión, temperatura, humedad,
viscosidad y lujo en las industrias de proceso. [1]
El Control tiene como propósito llevar a cabo una tarea específica a pesar
de todas las variantes, lo que hace el control es manipular las condiciones del
sistema de estudio, el cual será modificado por una serie de pasos hasta llegar
a un resultado deseado o un resultado esperado.
Nuestro objeto de estudio para este caso como ingenieros químicos son
los sistemas de proceso, los cuales engloban muchos otros sistemas, y que
gracias al control automático por una parte se han simplificado o son más fáciles
de controlar y manipular, para así obtener buenos resultados y de calidad
superior.
En este documento se estudiaran los sistemas dinámicos de control, que
están regidos o entendidos por una ecuación diferencial de primer orden, se
estudiara como es su comportamiento cuando el sistema es sometido a 3 tipos
de condiciones de entrada (impulso unitario, escalón unitario y rampa), este tipo
de sistemas dinámicos pueden ser lineales o linealizados, la ecuación que los
describe es la siguiente:
a1
dy
+ a y = bf (t )
dt
[1] Apuntes de Control Distribuido, Depto. De Ingeniería de Sistemas y Automatización: Universidad de Sevilla, España
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Objetivo
Nuestro estudio se basara en el comportamiento general de un sistema
dinámico de primer orden, el cual se rige por la siguiente ecuación diferencial de
primer orden y lineal:
dy (t )
+ a y (t ) = bf (t )
dt
a1
Dicha ecuación se estudia con dos parámetros:
a1
=τ
a
y
b
=K
a
τ
Conocidos como;
es la constante de tiempo y K es la ganancia del
estado estable o ganancia del proceso. Quedando una ecuación general que nos
ayudara más a entender el comportamiento de dicho sistema.
τ
dy (t )
+ y (t ) = Kf (t )
dt
Aplicando la trasformada de Laplace para la solución de dicho sistema
nos dará una ecuación en el dominio de Laplace conocida como función de
transferencia.
G (s ) =
y (s )
K
=
f (s ) τ s + 1
Para nuestro caso de estudio someteremos a la función de transferencia
a 3 tipos de perturbaciones (impulso, escalón y rampa). Estudiaremos su
comportamiento gráfico y daremos definiciones sobre su comportamiento, dicho
estudio nos ayudara a comprender más el comportamiento del nuestro sistema
dinámico. Esta será la función que vamos a estudiar:
y (s ) =
K
f (s )
τ s +1
Donde la función f(s) tomara los valores en el dominio de la place del
comportamiento de un impulso, un escalón y una rampa, para así entender su
comportamiento en el dominio del tiempo.
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Resultados
Respuesta a un Escalón
El grafico 1-E nos representa el comportamiento
de la función de transferencia con respecto a la
respuesta a un escalón cuando esta varía con
respecto a la constante (a0).
Grafico 1-E
El grafico 2-E nos representa el comportamiento
de la función de transferencia con respecto a la
respuesta a un escalón cuando esta varía con
respecto a la constante (a1).
Grafico 2-E
El grafico 3-E nos representa el comportamiento
de la función de transferencia con respecto a la
respuesta a un escalón cuando esta varía con
respecto a la constante (b).
Grafico 3-E
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El grafico 1-3-E nos representa el
comportamiento de la función de
transferencia con respecto a la
respuesta a un escalón cuando esta
varía con respecto a la constante (a1 y
b) y su comparación con las constantes
que varían solas (a0, b).
Varía a0 y b
Varía solo a0
Varía solo b
Grafico 1-3-E
El grafico 2-1-E nos representa el
comportamiento de la función de
transferencia con respecto a la
respuesta a un escalón cuando este
varía con respecto a la constante (a1 y
b) y su comparación con las constantes
que varían solas (a1, a0).
Varía a1
Varía solo a0
Varía solo a0 y a1
Grafico 2-1-E
El grafico 2-3-E nos representa el
comportamiento de la función de
transferencia con respecto a la respuesta
a un escalón cuando este varía con
respecto a la constante (a1 y b) y su
comparación con las constantes que
varían solas (a1, b).
Varía a1 y b
Varía solo a1
Varía solo b
Grafico 2-3-E
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Respuesta a un Impulso
El grafico 1-M nos representa el
comportamiento de la función de
transferencia con respecto a la
respuesta a un impulso cuando esta
varía con respecto a la constante (a0).
Grafico 1-M
El grafico 2-M nos representa el
comportamiento de la función de
transferencia con respecto a la
respuesta a un impulso cuando esta
varía con respecto a la constante (a1).
Grafico 2-M
El grafico 3-M nos representa el
comportamiento de la función de
transferencia con respecto a la
respuesta a un impulso cuando esta
varía con respecto a la constante (a1).
Grafico 3-M
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Respuesta a una Rampa
El grafico 1-R nos representa el
comportamiento de la función de
transferencia con respecto a la
respuesta a una rampa cuando esta
varía con respecto a la constante (a0).
Grafico 1-R
El grafico 2-R nos representa el
comportamiento de la función de
transferencia con respecto a la
respuesta a una rampa cuando esta
varía con respecto a la constante
(a1).
Grafico 2-R
El grafico 3-R nos representa el
comportamiento de la función de
transferencia con respecto a la
respuesta a una rampa cuando esta
varía con respecto a la constante (b).
Grafico 3-R
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Discusiones
En un estudio más detallado,
donde se aprecia y se analiza los
dos parámetros más importantes,
podremos concluir con estos
resultados. En la figura siguiente se
aprecian los cambios del sistema y
su comportamiento.
Estas
Graficas
nos
muestran el comportamiento de
los
dos
parámetros
más
importantes tau y K que son de
suma importancia para los
sistemas dinámicos de primer
orden.
En los gráficos se observa
que siempre
es menor que
pero siempre la ganancia del
sistema es el mismo solo que se
alcanza la estabilidad en un
tiempo más largo, y cuando la
ganancia del sistema es más
grande simplemente
solo se
estabiliza en la ganancia de
sistema que le toca por default, en
el caso de la rampa no se alcanza
la estabilidad y esta se extenderá
hasta un tiempo infinito. El
impulso se estabiliza pero a una
tendencia de “0”.
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Conclusiones
Un sistema dinámico de primer orden describe su comportamiento y su
tendencia o estabilidad mediante los dos factores ( y K), la constante del tiempo
y la ganancia del sistema, los cuales nos indicaran en que tiempo y momento
serán estables o si no lo serán.
Los sistemas siempre se comportaran dependiendo de la perturbación a
la cual sea sometida, y esta misma dará a conocer si es estable o no lo es, con
el simple hecho de ya conocer el tipo de grafico que dará el sistema se puede
dar cuenta mucho antes de graficar el tipo de comportamiento y su tendencia a
seguir, y por conclusión si el sistema es estable y si nos conviene su estudio o
no, dicho comportamiento estable es el que nos servirá para entender el sistema
y saber si es seguro.
Códigos Utilizados en Scilab para la simulación de los sistemas
s=%s;
a0=1; a1=1; b=1;
tau=a1/a0;
k=b/a0;
num=k; den=tau*s+1;
TF=syslin("c", num, den)
typeof(TF)
t=linspace(0,5,500);
step_res=csim("step",t,TF);
plot(t,step_res),xgrid(),xtitle("Respuesta a un escalon","Tiempo","Respuesta");
imp_res=csim("imp",t,TF);
plot(t,imp_res),xgrid(),xtitle("Respuesta a un Impulso","Tiempo","Respuesta");
ramp_res=csim(t,t,TF);
plot(t,ramp_res),xgrid(),xtitle("Respuesta a una Rampa","Tiempo","Respuesta");
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Bibliografía
 Control Automático de Procesos (Teoría y Práctica), Smith & Corripio.
 Apuntes de Control Distribuido, Depto. Ingeniería de Sistemas y
Automática, Universidad de Sevilla, Sevilla, España.
 GICI-(Ingeniería Eléctrica y Electrónica)-Grupo de Investigación en
Control Industrial, Universidad del Valle, Cali, Colombia.
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