Este documento contiene información sobre cálculo integral. Explica conceptos como la notación sigma para sumatorias, el cálculo de áreas bajo curvas mediante sumas de Riemann y la definición de integral definida. También cubre el teorema del valor medio y el teorema fundamental del cálculo, el cual vincula el cálculo diferencial con las integrales. Por último, menciona el método de sustitución y cambio de variable para transformar integrales en otras más sencillas.

1. Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular Para la Educacion
Universidad Fermin Toro
Vicerrectorado Academico
Facultad Ingenieria
• Integrales Definidas
• Integrantes:
• Luis Alvarez C.I 25.144.393
• Profesor:
• Domingo Mendez
• Seccion:
• Saia A

2. Notacion Sigma
El sumatorio (o sumatoria) es un operador
matemático, representado por la letra griega
sigma
mayúscula (Σ) que permite representar de manera
abreviada sumas con muchos sumandos, con
un
numero indeterminado (representado por alguna
letra) de ellos, o incluso con infinitos
sumandos.
Los sumandos de un sumatorio se expresan
generalmente como una variable
(habitualmente x, y, z, . . .)
cuyos valores dependen de un ´ındice
(habitualmente i, j, k . . .) que toma valores
enteros. El ´ındice
empieza tomando el valor que aparece en la parte
inferior del sumatorio y se va incrementando
en
una unidad hasta llegar al valor que aparece en la
parte superior del sumatorio
• Donde "n" es un entero y representa el
índice superior. El índice inferior puede
comenzar en cualquier entero y el
índice superior siempre será mayor o
igual que el inferior. La expresión que
aparece delante del símbolo de
sumatoria, siempre contendrá a la
variable, en este caso es "Xk
".

3. Suma Superior o Inferior

5. • Si queremos calcular el área bajo la curva Y = F(x)= X2
+ 1, donde F(x) ≥ 0 y
continúa en todo el intervalo cerrado x = a, x = b y el eje "x", podemos dividirla
en una serie de polígonos (rectángulos), calculamos el área de cada uno de
estos rectángulos la suma nos dará un valor aproximado del área real.
Si observamos la figura 1, el área se dividió en dos rectángulos y al
calcular el área de cada uno de ellos, se incluye una parte del rectángulo que
no pertenece al área buscada, por lo tanto esta es una aproximación.
En la figura 2, el número de rectángulos se ha incrementado hasta 9 y
observamos que la parte que no nos interesa es menor que cuando tomamos
2 rectángulos, lo que nos conduce a concluir que a mayor número de
rectángulos "n" más nos aproximamos al área real.
• Podemos finalizar que si el número de rectángulos "n" se hace muy
grande, entonces el área calculada será casi exactamente el área buscada.

6. Integral Definida
• Si a la expresión obtenida para la suma de Riemann le
tomamos el límite ya que k =1, 2, 3, 4, 5,....,..n y existe, es
decir podemos definir la integral definida de F
desde a hasta b por donde "a" representa el límite inferior y
"b" el límite superior de la integral.
Observando la definición de los términos de la integral
definida, observamos que F(bk
) es la altura del rectángulo
que llamamos partición y Dxk
es el ancho del rectángulo de
tal manera que su producto no es más que el área del
rectángulo y después de sumar cada una de estas mismas,
obtendremos dicha área bajo la curva, siendo F(x), en el
intervalo dado [a, b].

8. Teorema del valor medio Para
Integrales
• Es sencillo hallar el promedio de un conjunto de números dados, sólo
debemos realizar el siguiente cálculo yprom
= . ¿Cómo calculamos la
temperatura promedio durante un día si se puede tener numerosas
lecturas de temperaturas? ¿Qué pasa si queremos hallar el promedio
de un número infinito de valores? ¿Cómo calculamos el valor
promedio de la función f(x) = x3
en el intervalo [1, 2]? ¿Cómo
calculamos el promedio de cualquier función aunque no sea positiva?
Estamos en presencia de un tipo de promedio "continuo".
• Se propone calcular el valor promedio de la función y = f(x), a ≤ x ≤ b.
Dividimos el intervalo [a, b] en n subintervalos iguales, cada uno con
longitud ∆ x = . Si ti
es un punto cualquiera del i-ésimo subintervalo,
entonces el promedio aritmético o medio de los valores de la función
en los ci
viene dado por:
• Multiplicamos y dividimos por (b − a) y resulta:

9. Resultado:

10. Teorema Fundamental del Calculo:
• El teorema es fundamental porque hasta entonces el cálculo aproximado de
áreas -integrales- en el que se venía trabajando desde Arquímedes, era una
rama de las matemáticas que se seguía por separado al cálculo diferencial que
se venía desarrollando por Isaac Newton, Isaac Barrow y Gottfried Leibniz en
el siglo XVIII y dio lugar a conceptos como el de las derivadas. Las integrales
eran investigadas como formas de estudiar áreas y volúmenes, hasta que en
ese punto de la historia ambas ramas convergieron, al demostrarse que el
estudio del "área bajo una funció n" estaba íntimamente vinculado al cálculo
diferencial, resultando la integració n, la operació n inversa a la derivació n.

11. Sustitucion y cambio de variable:
• Este método consiste en transformar la integral dada en otra más sencilla mediante un
cambio de la variable independiente. Aunque algunos casos tienen un método preciso,
es la práctica, en general, la que proporciona la elección del cambio de variable más
conveniente.
• Se comenzará por estudiar aquellas integrales que son casi inmediatas.

12. Ejemplo: