El documento explica tres métodos para factorizar expresiones algebraicas: 1) Factorizar diferencias de cuadrados mediante la búsqueda de las raíces cuadradas de cada término. 2) Factorizar trinomios de la forma x2 ± bx ± c encontrando números que cumplan ciertas condiciones. 3) Factorizar trinomios cuadrados perfectos donde el término medio es el doble del producto de las raíces de los otros dos términos.
Este documento presenta información sobre la resolución de ecuaciones cuadráticas mediante la factorización. Explica cómo factorizar trinomios cuadrados perfectos y no perfectos, así como binomios utilizando un factor común. También muestra cómo resolver ecuaciones cuadráticas completas e incompletas mediante la factorización. Finalmente, incluye ejemplos y actividades para practicar estas técnicas.
Este documento presenta varios problemas resueltos con ecuaciones de primer grado. Explica cómo designar incógnitas, plantear ecuaciones y resolverlas para determinar valores desconocidos como la cantidad de estuches que Sandra y Rosa confeccionaron o los metros que Carlos y Angélica recorrieron.
El documento trata sobre el máximo común divisor (MCD) y el mínimo común múltiplo (MCM) de expresiones algebraicas. Explica que el MCD es la expresión formada por los factores comunes elevados a los menores exponentes, mientras que el MCM es la expresión formada por todos los factores primos y los comunes elevados a los mayores exponentes. Incluye ejemplos y problemas propuestos sobre calcular el MCD y MCM de diferentes expresiones algebraicas.
El documento presenta la solución a un problema matemático que involucra el cálculo de una sucesión definida por a1 = 5 y an+1 = an + 3n. La solución muestra los pasos para sumar todos los términos de la sucesión y obtener la expresión final de a100 = 14855.
El buzo descubre restos de un naufragio con un nombre de 7 letras donde sólo distingue las últimas 3: NIC. Existen 24 posibles nombres que cumplan con las reglas dados sobre las letras que aparecen. El buzo enumera todos los posibles nombres.
El documento explica diferentes métodos para factorizar expresiones algebraicas, incluyendo factor común, agrupación de términos, diferencia de cuadrados, trinomio cuadrado perfecto, trinomios de la forma x2 + bx + c y ax2 + bx + c, y suma y diferencia de cubos. También proporciona una estrategia general para identificar qué método aplicar dependiendo del tipo de expresión.
Este documento presenta la resolución de varios problemas de matemáticas. El primer problema involucra calcular el área de un cuadrilátero formado dentro de un triángulo equilátero. El segundo problema trata de determinar la cantidad de problemas difíciles menos fáciles resueltos por tres personas. El tercer problema pide calcular la cantidad de alumnos que faltaron a la escuela un día dado.
Este documento presenta información sobre la resolución de ecuaciones cuadráticas mediante la factorización. Explica cómo factorizar trinomios cuadrados perfectos y no perfectos, así como binomios utilizando un factor común. También muestra cómo resolver ecuaciones cuadráticas completas e incompletas mediante la factorización. Finalmente, incluye ejemplos y actividades para practicar estas técnicas.
Este documento presenta varios problemas resueltos con ecuaciones de primer grado. Explica cómo designar incógnitas, plantear ecuaciones y resolverlas para determinar valores desconocidos como la cantidad de estuches que Sandra y Rosa confeccionaron o los metros que Carlos y Angélica recorrieron.
El documento trata sobre el máximo común divisor (MCD) y el mínimo común múltiplo (MCM) de expresiones algebraicas. Explica que el MCD es la expresión formada por los factores comunes elevados a los menores exponentes, mientras que el MCM es la expresión formada por todos los factores primos y los comunes elevados a los mayores exponentes. Incluye ejemplos y problemas propuestos sobre calcular el MCD y MCM de diferentes expresiones algebraicas.
El documento presenta la solución a un problema matemático que involucra el cálculo de una sucesión definida por a1 = 5 y an+1 = an + 3n. La solución muestra los pasos para sumar todos los términos de la sucesión y obtener la expresión final de a100 = 14855.
El buzo descubre restos de un naufragio con un nombre de 7 letras donde sólo distingue las últimas 3: NIC. Existen 24 posibles nombres que cumplan con las reglas dados sobre las letras que aparecen. El buzo enumera todos los posibles nombres.
El documento explica diferentes métodos para factorizar expresiones algebraicas, incluyendo factor común, agrupación de términos, diferencia de cuadrados, trinomio cuadrado perfecto, trinomios de la forma x2 + bx + c y ax2 + bx + c, y suma y diferencia de cubos. También proporciona una estrategia general para identificar qué método aplicar dependiendo del tipo de expresión.
Este documento presenta la resolución de varios problemas de matemáticas. El primer problema involucra calcular el área de un cuadrilátero formado dentro de un triángulo equilátero. El segundo problema trata de determinar la cantidad de problemas difíciles menos fáciles resueltos por tres personas. El tercer problema pide calcular la cantidad de alumnos que faltaron a la escuela un día dado.
Este documento presenta las reglas de un juego llamado "Chichón Algebraico" que tiene como objetivo afianzar la solución de ecuaciones de primer grado. El juego es para cuatro jugadores y consiste en encontrar un trío de ecuaciones con la misma solución y una cuarta ecuación con una solución menor o igual a dos. Los jugadores van eligiendo cartas con ecuaciones de una baraja tratando de completar estos requisitos.
El documento describe el cálculo del área bajo la curva f(x)=x^2 entre 0 y 2 usando el método de las sumas de Riemann. Se divide el intervalo en 3, 6 y 12 partes y se calcula el área aproximada como la suma de las áreas de los rectángulos correspondientes. Entre más partes se usen, la aproximación del área es más precisa, convergiendo al área exacta de 5/3 unidades cuadradas solo cuando el número de intervalos tiende a infinito.
Ecuación general de la circunferencia grado decimo 201525liliana1999
El documento describe el proceso para encontrar la ecuación general de una circunferencia dados dos puntos. Primero, se calcula el diámetro entre los dos puntos. Luego, se calculan las coordenadas del centro promediando las coordenadas de los puntos. Finalmente, se sustituye en la fórmula general de una circunferencia para obtener la ecuación que pasa por los dos puntos dados.
Ejercicios resueltos operaciones con matricesalgebra
1) Se resuelve la multiplicación de las matrices A y B dando como resultado AB = 14841. También se calcula C2 = 38189. Luego se suma AB + C2 = 422613.
2) Para resolver 3AB + 2C2 se calcula primero 3AB = 422412 y 2C2 = 793618. Finalmente se suma 3AB + 2C2 = 121603025.
Este documento describe cómo enseñar la multiplicación de fracciones a estudiantes a través del uso de material concreto y representaciones gráficas. Explica que la multiplicación de fracciones se puede representar como la intersección de dos rectángulos divididos y que la regla para multiplicar fracciones es multiplicar los numeradores y multiplicar los denominadores. Proporciona ejemplos para ilustrar el proceso.
Este documento presenta una introducción a un diario de álgebra para estudiantes. Propone un enfoque lúdico y participativo para el aprendizaje del álgebra a través de juegos y actividades grupales. Incluye secciones sobre aspectos positivos y dificultades del proyecto, así como proyecciones para el futuro que involucran más innovaciones pedagógicas y salidas de campo. También presenta algunos conceptos básicos de álgebra como productos notables.
Este documento describe las progresiones aritméticas y geométricas. Una progresión aritmética es una sucesión de números donde cada término se obtiene sumando una cantidad constante al anterior. Una progresión geométrica es una sucesión donde cada término se obtiene multiplicando el anterior por una razón constante. El documento explica cómo calcular los términos y la suma de las progresiones usando fórmulas que involucran el primer término, la diferencia o razón común, y el número de términos.
El documento presenta diferentes métodos para factorizar expresiones algebraicas, incluyendo encontrar el máximo común divisor, factor común monomio y polinomio, factorización por agrupamiento, y factorización de trinomios de la forma ax^2 + bx + c en dos binomiales. Incluye ejemplos y ejercicios para practicar cada método.
Los números naturales surgieron para contar y ordenar cantidades. Incluyen los números 0, 1, 2, 3, etc. Pueden representarse en una línea numérica y se pueden operar mediante la suma, resta, multiplicación y división. También incluyen conceptos como los números primos, compuestos, múltiplos, divisores, y la resolución de ecuaciones en este conjunto.
1) La factorización consiste en expresar expresiones algebraicas como producto de factores. Esto incluye encontrar factores comunes y descomponer trinomios y diferencias de cuadrados.
2) Se explican varios métodos de factorización como encontrar factores comunes monomios y polinomios, descomponer trinomios de la forma x2 + bx + c, y factorizar diferencias de cuadrados y trinomios cuadrados perfectos.
3) Se proveen más de 100 ejercicios para practicar estos métodos de factorización.
El documento describe un juego llamado "Bingo de monomios" para ayudar a los estudiantes a comprender los monomios explicados en clase de una manera motivadora. El juego utiliza 28 tarjetas con diferentes monomios y operaciones, así como cartones de bingo de 3x3 que los estudiantes completan al resolver los problemas en la pizarra. El objetivo es que los estudiantes aprendan los monomios de una manera divertida al tratar de completar primero su cartón de bingo.
Este documento presenta un resumen de la unidad 7.3 sobre expresiones algebraicas. Explica conceptos clave como orden de operaciones, sumas, restas, productos, cocientes, expresiones, variables, ecuaciones, inecuaciones y más. También incluye ejemplos de cómo escribir expresiones algebraicas a partir de frases, cómo resolver problemas utilizando ecuaciones y cómo traducir entre fórmulas y oraciones matemáticas.
Las ecuaciones pueden usarse para resolver problemas siguiendo estos pasos: 1) leer y comprender el enunciado, 2) designar la(s) incógnita(s), 3) plantear la ecuación, 4) resolver la ecuación. El documento ilustra este proceso mediante ejemplos como determinar el número de hombres y mujeres en un cine dado el total de personas y su diferencia.
Este documento presenta diferentes métodos para factorizar expresiones algebraicas, incluyendo factor común, trinomio cuadrado perfecto, diferencia de cuadrados, trinomio de la forma x^2 + bx + c, y suma o diferencia de cubos perfectos. Explica cada método con ejemplos para ilustrar cómo aplicarlos para descomponer expresiones en factores.
El documento trata sobre los números enteros. Explica que los números enteros incluyen tanto números positivos como negativos y que forman un conjunto infinito ordenado en la recta numérica. También presenta ejemplos de operaciones con números enteros y cómo resolver problemas matemáticos utilizando números enteros.
This document contains solutions to 100 equations of the first degree. The equations involve variables like x and y, and involve operations like addition, subtraction, multiplication and division. Each equation is presented along with its corresponding solution (e.g. x=7).
El documento describe el método de sustitución para resolver sistemas de ecuaciones. Los pasos son: 1) despejar una incógnita en una ecuación, 2) sustituir esa incógnita en la otra ecuación para obtener una ecuación con una sola incógnita, 3) resolver esa ecuación, 4) sustituir el valor encontrado en la expresión original para hallar la otra incógnita, resolviendo así completamente el sistema. Se incluye un ejemplo para ilustrar el método.
El documento presenta la solución a un problema matemático que involucra números entre 1 y 1000 que no contengan el dígito 1 en su escritura decimal. El número del último verso de un poema de 1000 versos es 2442. Se explica el proceso para llegar a este número contando los números válidos en cada centena.
Este documento presenta 5 ejercicios de cálculo de logaritmos. Los ejercicios incluyen calcular logaritmos usando la definición, encontrar valores usando logaritmos conocidos y resolver ecuaciones utilizando propiedades de logaritmos. El documento proporciona las soluciones detalladas para cada uno de los 5 ejercicios planteados.
El documento describe diferentes tipos de productos notables en álgebra, incluyendo binomios conjugados, binomios al cuadrado, binomios al cubo, y productos de binomios con trinomios que resultan en sumas y diferencias de cubos. Presenta fórmulas generales para cada tipo de producto notable y explica cómo aplicarlas.
Logica y pensamiento matematico -factorizacion--kathe-18
El documento presenta los pasos para factorizar polinomios. Explica diferentes tipos de factorización como diferencia de cuadrados, suma o diferencia de cubos, trinomios y trinomios cuadrados perfectos. Incluye ejemplos detallados de cada tipo y ejercicios resueltos para practicar la factorización de polinomios.
Este documento explica diferentes métodos para factorizar expresiones algebraicas como trinomios, diferencias de cuadrados, diferencias de cubos y sumas de cubos. Describe los pasos para identificar si un trinomio es un cuadrado perfecto y cómo factorizar trinomios de la forma x2 + bx + c y ax2 + bx + c. También explica cómo factorizar expresiones que son diferencias o sumas de cuadrados y cubos extrayendo las raíces cuadradas y cúbicas de los términos.
Este documento presenta las reglas de un juego llamado "Chichón Algebraico" que tiene como objetivo afianzar la solución de ecuaciones de primer grado. El juego es para cuatro jugadores y consiste en encontrar un trío de ecuaciones con la misma solución y una cuarta ecuación con una solución menor o igual a dos. Los jugadores van eligiendo cartas con ecuaciones de una baraja tratando de completar estos requisitos.
El documento describe el cálculo del área bajo la curva f(x)=x^2 entre 0 y 2 usando el método de las sumas de Riemann. Se divide el intervalo en 3, 6 y 12 partes y se calcula el área aproximada como la suma de las áreas de los rectángulos correspondientes. Entre más partes se usen, la aproximación del área es más precisa, convergiendo al área exacta de 5/3 unidades cuadradas solo cuando el número de intervalos tiende a infinito.
Ecuación general de la circunferencia grado decimo 201525liliana1999
El documento describe el proceso para encontrar la ecuación general de una circunferencia dados dos puntos. Primero, se calcula el diámetro entre los dos puntos. Luego, se calculan las coordenadas del centro promediando las coordenadas de los puntos. Finalmente, se sustituye en la fórmula general de una circunferencia para obtener la ecuación que pasa por los dos puntos dados.
Ejercicios resueltos operaciones con matricesalgebra
1) Se resuelve la multiplicación de las matrices A y B dando como resultado AB = 14841. También se calcula C2 = 38189. Luego se suma AB + C2 = 422613.
2) Para resolver 3AB + 2C2 se calcula primero 3AB = 422412 y 2C2 = 793618. Finalmente se suma 3AB + 2C2 = 121603025.
Este documento describe cómo enseñar la multiplicación de fracciones a estudiantes a través del uso de material concreto y representaciones gráficas. Explica que la multiplicación de fracciones se puede representar como la intersección de dos rectángulos divididos y que la regla para multiplicar fracciones es multiplicar los numeradores y multiplicar los denominadores. Proporciona ejemplos para ilustrar el proceso.
Este documento presenta una introducción a un diario de álgebra para estudiantes. Propone un enfoque lúdico y participativo para el aprendizaje del álgebra a través de juegos y actividades grupales. Incluye secciones sobre aspectos positivos y dificultades del proyecto, así como proyecciones para el futuro que involucran más innovaciones pedagógicas y salidas de campo. También presenta algunos conceptos básicos de álgebra como productos notables.
Este documento describe las progresiones aritméticas y geométricas. Una progresión aritmética es una sucesión de números donde cada término se obtiene sumando una cantidad constante al anterior. Una progresión geométrica es una sucesión donde cada término se obtiene multiplicando el anterior por una razón constante. El documento explica cómo calcular los términos y la suma de las progresiones usando fórmulas que involucran el primer término, la diferencia o razón común, y el número de términos.
El documento presenta diferentes métodos para factorizar expresiones algebraicas, incluyendo encontrar el máximo común divisor, factor común monomio y polinomio, factorización por agrupamiento, y factorización de trinomios de la forma ax^2 + bx + c en dos binomiales. Incluye ejemplos y ejercicios para practicar cada método.
Los números naturales surgieron para contar y ordenar cantidades. Incluyen los números 0, 1, 2, 3, etc. Pueden representarse en una línea numérica y se pueden operar mediante la suma, resta, multiplicación y división. También incluyen conceptos como los números primos, compuestos, múltiplos, divisores, y la resolución de ecuaciones en este conjunto.
1) La factorización consiste en expresar expresiones algebraicas como producto de factores. Esto incluye encontrar factores comunes y descomponer trinomios y diferencias de cuadrados.
2) Se explican varios métodos de factorización como encontrar factores comunes monomios y polinomios, descomponer trinomios de la forma x2 + bx + c, y factorizar diferencias de cuadrados y trinomios cuadrados perfectos.
3) Se proveen más de 100 ejercicios para practicar estos métodos de factorización.
El documento describe un juego llamado "Bingo de monomios" para ayudar a los estudiantes a comprender los monomios explicados en clase de una manera motivadora. El juego utiliza 28 tarjetas con diferentes monomios y operaciones, así como cartones de bingo de 3x3 que los estudiantes completan al resolver los problemas en la pizarra. El objetivo es que los estudiantes aprendan los monomios de una manera divertida al tratar de completar primero su cartón de bingo.
Este documento presenta un resumen de la unidad 7.3 sobre expresiones algebraicas. Explica conceptos clave como orden de operaciones, sumas, restas, productos, cocientes, expresiones, variables, ecuaciones, inecuaciones y más. También incluye ejemplos de cómo escribir expresiones algebraicas a partir de frases, cómo resolver problemas utilizando ecuaciones y cómo traducir entre fórmulas y oraciones matemáticas.
Las ecuaciones pueden usarse para resolver problemas siguiendo estos pasos: 1) leer y comprender el enunciado, 2) designar la(s) incógnita(s), 3) plantear la ecuación, 4) resolver la ecuación. El documento ilustra este proceso mediante ejemplos como determinar el número de hombres y mujeres en un cine dado el total de personas y su diferencia.
Este documento presenta diferentes métodos para factorizar expresiones algebraicas, incluyendo factor común, trinomio cuadrado perfecto, diferencia de cuadrados, trinomio de la forma x^2 + bx + c, y suma o diferencia de cubos perfectos. Explica cada método con ejemplos para ilustrar cómo aplicarlos para descomponer expresiones en factores.
El documento trata sobre los números enteros. Explica que los números enteros incluyen tanto números positivos como negativos y que forman un conjunto infinito ordenado en la recta numérica. También presenta ejemplos de operaciones con números enteros y cómo resolver problemas matemáticos utilizando números enteros.
This document contains solutions to 100 equations of the first degree. The equations involve variables like x and y, and involve operations like addition, subtraction, multiplication and division. Each equation is presented along with its corresponding solution (e.g. x=7).
El documento describe el método de sustitución para resolver sistemas de ecuaciones. Los pasos son: 1) despejar una incógnita en una ecuación, 2) sustituir esa incógnita en la otra ecuación para obtener una ecuación con una sola incógnita, 3) resolver esa ecuación, 4) sustituir el valor encontrado en la expresión original para hallar la otra incógnita, resolviendo así completamente el sistema. Se incluye un ejemplo para ilustrar el método.
El documento presenta la solución a un problema matemático que involucra números entre 1 y 1000 que no contengan el dígito 1 en su escritura decimal. El número del último verso de un poema de 1000 versos es 2442. Se explica el proceso para llegar a este número contando los números válidos en cada centena.
Este documento presenta 5 ejercicios de cálculo de logaritmos. Los ejercicios incluyen calcular logaritmos usando la definición, encontrar valores usando logaritmos conocidos y resolver ecuaciones utilizando propiedades de logaritmos. El documento proporciona las soluciones detalladas para cada uno de los 5 ejercicios planteados.
El documento describe diferentes tipos de productos notables en álgebra, incluyendo binomios conjugados, binomios al cuadrado, binomios al cubo, y productos de binomios con trinomios que resultan en sumas y diferencias de cubos. Presenta fórmulas generales para cada tipo de producto notable y explica cómo aplicarlas.
Logica y pensamiento matematico -factorizacion--kathe-18
El documento presenta los pasos para factorizar polinomios. Explica diferentes tipos de factorización como diferencia de cuadrados, suma o diferencia de cubos, trinomios y trinomios cuadrados perfectos. Incluye ejemplos detallados de cada tipo y ejercicios resueltos para practicar la factorización de polinomios.
Este documento explica diferentes métodos para factorizar expresiones algebraicas como trinomios, diferencias de cuadrados, diferencias de cubos y sumas de cubos. Describe los pasos para identificar si un trinomio es un cuadrado perfecto y cómo factorizar trinomios de la forma x2 + bx + c y ax2 + bx + c. También explica cómo factorizar expresiones que son diferencias o sumas de cuadrados y cubos extrayendo las raíces cuadradas y cúbicas de los términos.
La factorización implica expresar un objeto como producto de factores más pequeños. Para números, esto significa expresarlos como producto de números primos. Para polinomios, existen varios métodos de factorización como factor común, diferencia de cuadrados, trinomio cuadrado perfecto, entre otros. El documento explica cada uno de estos métodos a través de ejemplos para facilitar la comprensión de la factorización de polinomios.
Este documento presenta un proyecto de aula sobre temas de matemáticas como trinomios, ecuaciones con radicales, ecuaciones incompletas y ecuaciones fraccionarias. Incluye ejemplos y pasos para resolver cada tipo de ecuación. El proyecto fue realizado por un grupo de estudiantes y su docente con el objetivo de facilitar la comprensión de procesos algebraicos.
Este documento describe varios métodos para factorizar polinomios, incluyendo: 1) factor común, 2) productos notables como diferencia de cuadrados y cuadrados perfectos, 3) suma y diferencia de cubos, y 4) agrupamiento de términos con factores comunes. Explica cada método con ejemplos para ilustrar cómo descomponer polinomios en factores.
Este documento explica cómo factorizar binomios que son diferencias o sumas de cuadrados y cubos. Para diferencias de cuadrados, los términos deben tener raíces cuadradas exactas y se factorizan usando dos paréntesis con la suma o diferencia de las raíces. Para sumas y diferencias de cubos, los términos deben tener raíces cúbicas exactas y se factorizan usando dos paréntesis con la suma o resta de las raíces y un trinomio formado por los cuadrados y producto de las ra
Este documento presenta los conceptos y métodos básicos de la factorización de expresiones algebraicas. Explica cómo factorizar binomios, trinomios y polinomios utilizando diferentes técnicas como factor común, diferencia de cuadrados, trinomio cuadrado perfecto y agrupación de términos. Incluye ejemplos resueltos de cada tipo de factorización.
Este documento presenta diferentes métodos para factorizar polinomios, incluyendo: factor común monomio, factor común polinomio, agrupación de términos, y diferencia de cuadrados. Proporciona ejemplos para cada método y ofrece más de 50 ejercicios de práctica para aplicar los métodos de factorización.
El documento presenta una introducción a varios temas fundamentales de álgebra y geometría, incluyendo ecuaciones lineales, factorización, sistemas de ecuaciones, funciones trigonométricas, y geometría analítica. Incluye ejemplos resueltos de cada tema así como evaluaciones para medir la comprensión de los estudiantes. El documento parece ser apuntes de clase de un profesor para varios temas básicos de matemáticas.
El documento presenta información sobre carbohidratos. Explica que los carbohidratos se clasifican en monosacáridos, disacáridos y polisacáridos. Los monosacáridos son moléculas simples como la glucosa y la fructosa, los disacáridos están formados por dos monosacáridos unidos como la sacarosa, y los polisacáridos son cadenas largas como el almidón, glucógeno y celulosa. También describe las funciones energéticas y estructurales de los carbohidrat
Este documento presenta 10 casos de factorización de polinomios, incluyendo factor común, trinomio cuadrado perfecto, diferencia de cuadrados, suma y resta de potencias. Cada caso incluye una explicación, ejemplos y ejercicios para practicar la factorización. El objetivo es introducir al estudiante en la descomposición en factores como base para el estudio del álgebra.
El documento presenta varios problemas resueltos sobre factorización de polinomios cuando todos los términos tienen un factor común. Se explica cómo identificar el factor común y escribir el polinomio factorizado colocando el factor común como coeficiente de un paréntesis dentro del cual se escriben los cocientes de dividir cada término entre el factor común. Se resuelven 21 problemas como ejemplos de esta técnica de factorización.
Factorizacion de trinomios de la forma ax2+bx+csantyecca
Este documento explica cómo factorizar trinomios de la forma ax^2 + bx + c. Detalla los pasos de multiplicar por el coeficiente de x^2, encontrar factores que sumen o resten b y multipliquen c, y eliminar el denominador común para dejar el trinomio factorizado. Proporciona 5 ejemplos ilustrativos con diferentes valores numéricos de a, b y c.
This document provides information about a mathematics module on similarity for grade 9 learners. It was collaboratively developed by educators from various educational institutions in the Philippines. The module aims to teach learners about proportions, similarity of polygons, conditions for similarity of triangles using various theorems, applying similarity to solve real-world problems involving proportions and similarity. It includes a module map, pre-assessment questions to gauge learners' prior knowledge, and covers topics like proportions, similarity of polygons and triangles, and applying similarity concepts to solve problems.
Este documento trata sobre productos notables y factorización. Explica los productos de binomios conjugados, el cuadrado de un binomio, y el cubo de un binomio. También cubre cómo factorizar una diferencia de cuadrados y un trinomio cuadrado perfecto. Finalmente, proporciona ejemplos y ejercicios para practicar estos conceptos.
La factorización descompone expresiones algebraicas en factores cuyo producto es igual a la expresión original. El documento explica diferentes métodos de factorización como por factor común, binomial común, agrupación, diferencia de cuadrados, suma o diferencia de cubos, y trinomios cuadrados perfectos. Proporciona ejemplos y procedimientos detallados para cada método.
1) El documento describe productos notables y la factorización de polinomios. Incluye ejemplos de productos notables como el cuadrado de una suma, diferencia y producto de binomios. 2) Explica cómo factorizar un polinomio extrayendo un factor común o agrupando términos. Incluye ejemplos de factorización de trinomios cuadrados perfectos y diferencias de cuadrados. 3) El propósito es mostrar reglas para simplificar expresiones algebraicas mediante productos notables y factorización.
1) El documento describe diferentes métodos de factorización de polinomios, incluyendo productos notables, factor común, diferencia de cuadrados, y trinomios cuadrados perfectos. 2) Explica cómo factorizar expresiones al sacar factores comunes como monomios o binomios, o agrupando términos con factores comunes. 3) Proporciona ejemplos detallados de cada método de factorización.
1) El documento describe diferentes métodos de factorización de polinomios, incluyendo productos notables, factor común, diferencia de cuadrados y trinomios cuadrados perfectos. 2) Explica cómo factorizar expresiones al sacar factores comunes como monomios o binomios, agrupar términos con factores comunes y descomponer trinomios cuadrados perfectos y diferencias de cuadrados. 3) Proporciona ejemplos detallados de cada método de factorización.
Informe de matematica ( expresiones algebraicas)anamariawyatt1
En la siguiente presentación se observaran diferentes conceptos y ejemplos de las expresiones algebraicas, como lo son suma, resta, multiplicacion, division, valor numerico, productos notables y factorizacion.
espero sea de ayuda la informacion suministrada
Este documento trata sobre productos notables en álgebra. Explica diferentes tipos de productos notables como binomios conjugados, binomios al cuadrado, binomios al cubo, binomio de Newton y binomios desarrollados mediante el triángulo de Pascal. También cubre temas como factorización de polinomios, operaciones con fracciones algebraicas y más.
Este documento describe los conceptos básicos de la factorización y las fracciones algebraicas. Explica cómo factorizar expresiones algebraicas utilizando factores comunes, trinomios cuadrados perfectos y otros métodos. También define fracciones algebraicas y describe cómo simplificarlas y realizar operaciones como suma y resta utilizando el mínimo común múltiplo.
El documento resume diferentes métodos para factorizar polinomios. Explica cómo factorizar cuando el factor común es un monomio o polinomio, así como trinomios de la forma ax^2 + bx + c y diferencias de cuadrados. Proporciona ejemplos para ilustrar cada método de factorización.
El documento presenta una breve historia de las matemáticas desde el antiguo Egipto hasta los griegos como Pitágoras y Euclides. Luego introduce los conceptos básicos de la factorización de polinomios, incluyendo diferentes casos como factor común, trinomios cuadrados perfectos, diferencia de cuadrados y cubos perfectos. Finalmente, detalla distintos métodos para factorizar expresiones algebraicas.
Este documento explica los conceptos básicos de la factorización de polinomios. Primero define la factorización y los tipos de factores comunes que pueden encontrarse en polinomios, como factores literales, números y otros polinomios. Luego, detalla los procedimientos para factorizar polinomios con factores comunes, diferencias de cuadrados, trinomios cuadrados perfectos y trinomios de la forma ax2 + bx + c.
Este documento presenta una guía sobre factorización de expresiones algebraicas. Explica diferentes tipos de factorización como factor común monomio y polinomio, diferencia y suma de cuadrados y cubos, y trinomio cuadrado perfecto. Incluye ejemplos resueltos de cada caso y un taller de ejercicios para practicar la aplicación de las técnicas de factorización. El objetivo es desarrollar la habilidad de los estudiantes para resolver problemas algebraicos mediante la factorización.
Este documento presenta información sobre productos notables en álgebra. Explica qué son los productos notables y cuáles son los principales, incluyendo el cuadrado de la suma o diferencia de dos cantidades, el producto de la suma por la diferencia de dos cantidades, y el producto de binomios con término común. También proporciona ejemplos para ilustrar cómo aplicar estas fórmulas de productos notables.
El documento presenta una introducción al álgebra, incluyendo definiciones de términos como álgebra, exponentes y grado. Luego explica operaciones algebraicas como suma, resta, multiplicación y división, incluyendo ejemplos. Finalmente, cubre temas como ecuaciones cuadráticas, factorización, trinomios y productos notables.
Este documento trata sobre la factorización de polinomios. Explica los diferentes tipos de polinomios que se pueden factorizar, incluyendo aquellos con factores comunes, diferencias de cuadrados, trinomios cuadrados perfectos y la forma ax^2 + bx + c. También cubre la suma y diferencia de cubos. El objetivo es enseñar a los estudiantes cómo descomponer polinomios en factores.
El documento explica conceptos básicos de álgebra como expresiones algebraicas, sumas, restas, multiplicación, división y factorización. Define cada operación y provee ejemplos ilustrativos. Explica también productos notables y cómo factorizar expresiones algebraicas usando diferentes métodos como factor común, diferencia de cuadrados y trinomio cuadrado perfecto. Finaliza con una bibliografía de recursos sobre el tema.
Este documento trata sobre cómo factorizar expresiones algebraicas. Explica los diferentes tipos de factorización como polinomios con factores comunes, diferencias de cuadrados, trinomios cuadrados perfectos y trinomios de la forma ax^2 + bx + c. También incluye ejemplos para practicar cada tipo de factorización.
El documento explica diferentes métodos para factorizar expresiones algebraicas, incluyendo sacar el factor común, agrupar términos, identificar trinomios cuadrados perfectos, diferencias de cuadrados, y trinomios de la forma ax2 + bx + c. También cubre factorizar cubos perfectos de tetranomios usando productos notables.
Este documento presenta diferentes métodos para factorizar polinomios. Comienza explicando brevemente la historia de las matemáticas y luego introduce los conceptos básicos de la factorización. A continuación, describe 13 casos específicos de factorización, incluyendo factor común, trinomios cuadrados perfectos, diferencia de cuadrados y suma/diferencia de cubos perfectos. Finalmente, incluye ejercicios de ejemplo para cada caso.
Este documento presenta 10 temas relacionados con la factorización de polinomios. En primer lugar, explica cómo extraer un factor común de un polinomio o de la suma de términos. Luego, cubre conceptos como la diferencia de cuadrados, el trinomio cuadrado perfecto y la combinación de estos con trinomios cuadrados. También aborda la factorización de trinomios de la forma x2 + bx + c y la suma y diferencia de potencias impares.
1. El documento presenta información sobre los fundamentos de la educación superior a distancia, incluyendo definiciones, características, importancia y diferencias con la educación presencial. 2. También describe conceptos relacionados con el aprendizaje en adultos como etapas de desarrollo, factores que inciden en el aprendizaje, y roles del docente. 3. Finalmente, explica tipos de memoria y estilos de aprendizaje, con el fin de facilitar el entendimiento de esta modalidad educativa.
1. El documento presenta información sobre los fundamentos de la educación superior a distancia, incluyendo definiciones, características y diferencias con la educación presencial. 2. También describe aspectos del aprendizaje en adultos como conceptos, etapas de desarrollo y factores que influyen en el aprendizaje. 3. Finalmente, analiza el rol del docente en la educación a distancia y elementos importantes para caracterizar esta modalidad educativa.
El documento describe cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales de dos variables utilizando el método de sustitución. El objetivo general es resolver dichos sistemas y aplicarlos para resolver problemas de la vida real. Los objetivos específicos incluyen describir el procedimiento de sustitución, resolver sistemas analíticamente, modelar situaciones como sistemas de ecuaciones y aplicarlos para resolver problemas.
Este documento presenta la planificación de una asignatura de matemáticas en la Universidad Tecnológica de Santiago. La asignatura cubre temas como estadística, geometría tridimensional, transformaciones geométricas y mediciones. Se detallan los objetivos, metodología, bibliografía, cronograma y sistema de evaluación de la asignatura. El profesor Joel Amauris Gelabert impartirá la asignatura de forma presencial los miércoles de 9:50 am a 12:00 pm.
El documento presenta una demostración matemática de que dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual a -1. La demostración utiliza el teorema de Pitágoras aplicado a un triángulo formado por las rectas y el origen para derivar la ecuación m1m2=-1.
Este documento presenta fórmulas y conceptos matemáticos de funciones trigonométricas, cálculos porcentuales, intereses, progresiones, logaritmos y geometría. Incluye tablas de funciones trigonométricas para 300, 450 y 600, identidades trigonométricas, fórmulas para sumas y diferencias de ángulos, y definiciones de seno, coseno y tangente. También cubre reglas de división, potencias, binomio de Newton, y transformaciones geométricas como traslaciones y rotaciones
Este documento presenta conceptos básicos de estadística descriptiva como medidas de tendencia central, medidas de dispersión y gráficos estadísticos. Explica fórmulas para calcular la media, mediana, moda, varianza, desviación estándar, rango y coeficiente de variación. También cubre temas como muestreo, distribución muestral y cálculo del tamaño de la muestra.
El documento presenta diferentes fórmulas para calcular áreas y volúmenes de figuras geométricas como cubos, conos, cilindros, esferas y paralelepípedos. Incluye ejemplos resueltos de cada figura donde se aplican las fórmulas para calcular áreas y volúmenes. El documento concluye presentando la fórmula para calcular el área de un paralelepípedo y resolviendo un ejemplo.
Este documento presenta un resumen de los conceptos fundamentales del análisis combinatorio, incluyendo variaciones, permutaciones y combinaciones. También incluye los detalles de contacto del profesor Joel Amauris Gelabert S., quien enseña este tema. El documento contiene ejemplos resueltos de cada uno de estos conceptos y cómo aplicar fórmulas matemáticas para calcular los diferentes arreglos y combinaciones posibles de elementos.
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Este documento presenta las propiedades de los logaritmos naturales y explica cómo resolver ecuaciones logarítmica. Incluye ejemplos de propiedades como que el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores y cómo resolver ecuaciones logarítmica en tres pasos: expresar la ecuación como el logaritmo de una sola expresión, expresarla en forma exponencial y resolver la ecuación resultante. Finalmente, presenta ejercicios resueltos como ejemplo y una evaluación para poner en prá
Este documento presenta las propiedades de los logaritmos naturales y explica cómo resolver ecuaciones logarítmica. Incluye ejemplos de propiedades como que el logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores y cómo resolver ecuaciones logarítmica en tres pasos: expresar la ecuación como el logaritmo de una sola expresión, expresarla en forma exponencial y resolver la ecuación resultante. Finalmente, presenta ejercicios resueltos como ejemplo y una evaluación para poner en
Este documento presenta las reglas básicas para operar con potencias y proporciona ejemplos de cómo aplicar estas reglas para resolver ecuaciones exponenciales. Explica cómo igualar las bases y exponentes para obtener una ecuación algebraica que puede resolverse para encontrar el valor de la variable. Luego, proporciona ejercicios adicionales para que el lector practique resolviendo ecuaciones exponenciales.
1. Página 1.
Factorización.
Diferencia de cuadrados.
Una diferencia de cuadrados es un binomio especial formado por dos términos que
tienen raíces cuadradas exactas, separados por el signo de menos.
Ejemplos.
1. 36x2- 64y2.
2. 100m4- 144n4
3. 81k2- 25w2.
Para factorizar una diferencia de cuadrados debemos buscar las raíces cuadradas
de los dos términos que forman dicha diferencia de cuadrados y luego se expresa el
producto de la suma de las raíces por la diferencia de las mismas.
Ejemplos 1
Factorizar
49m2-100y2
buscamos la raíz cuadrada de cada término.
2
49m2 = 7m.
2
100y 2 = 10y.
Luego los factores buscados son: (7m+10y) (7m-10y).
Ejemplo 2.
Factorizar 36a4 – 64m4.
Buscamos las raíces cuadradas de cada término.
2
36a4 =6a2
2
64m4 =8m2
y formamos dos binomios con estas raíces escribiendo en uno de ellos la suma de
dichas raíces y en el otro la diferencia de las mismas.
Los factores buscados son: (6a2+8m2) (6a2 -8m2).
Ejemplo 3.
Halle los factores de la siguiente diferencia de cuadrados.
81x4 – 144y4
Buscamos la raíz cuadrada de cada término
81x 4 = 9x2
144y 4 =12x2
Con estas raíces formamos dos binomios y expresamos el producto de dichos
binomios escribiendo en uno la suma de las raíces y en el otro la diferencia de las
mismas.
Luego los factores buscados son:
(9x2+12y2)(9x2-12y2)
2. Página 2.
Factorice las siguientes diferencias de cuadrados.
1. 25x4 –16a4
2. 144m2 –169y2
3. 9x2 - 81y2
4. 169w6 –100z6
5.
16
25
m4 −
64
81
x4
6. 121 b8 – 36 y8
Trinomio de la forma x2± bx ±c
Para factorizar un trinomio de esta forma, formamos dos binomios, se busca la
raíz cuadrada del término cuadrático y buscamos dos cantidades cuyo producto
sea ± c y cuya suma algebraicamente sea ± bx.
Ejemplos.
1. x2+6x+8
2. a2+9x+20
3. m2-12m+32
4. y2+5y-36
Hallar los factores de los siguientes trinomios
1. x2+7x-60
Buscamos dos números que multiplicados cuyo producto sea 60 y que sumados
algebraicamente nos den 7.
Estos números son 12 y -5 ya que (12) x (-5)=-60 y -5+12=7
Luego los factores buscados son: (x+12) (x-5)
Ejemplo 2.
Hallar los factores de m2+16m+28
Buscamos dos números cuyo producto sea 28 y que sumados den 16
Estos números son 14 y 2 ya que (14) x (2)=28 y 14+2=16, por tanto los factores
son:
(m+14) (m+2)
Ejemplo 3.
Hallar los factores de a2-8a-48
Se buscan dos números que multiplicados den -48 y que sumados den -8
Estos números son -12 y 4 ya que -12x4=-48 y -12+4=-8, por lo que los factores
son:
(a-12) (a+4).
Factorizar los siguientes trinomios.
1. x2+10x+21
2. w2-5w+6
3. b2+15b+56
4. y2+7y-44
5. m2-10m+24
3. Página 3.
Trinomio de la forma ax2+bx+c
¿Cómo se obtiene
Dado el trinomio 5x2+8x+3
un trinomio de la
forma ax2+bx +c?
Hallar sus factores.
Se multiplica el trinomio por el coeficiente del término cuadrático
5(5x2)+5(8x)+5(3)
Se escribe de la forma
(5x)2+8(5x)+15
Se asume que a=5x y expresamos el trinomio en función de a
a2+8a+15
Como se le dio la forma x2+bx+c, buscamos dos números que multiplicados
den 15 y que sumados den 8, estos números son 3 y 5
(a+5)(a+3) y como a=5x, entonces
(5x+5)(5x+3)
𝟓𝐱+𝟓 (𝟓𝐱+𝟑)
𝟓 𝐱 𝟏
= (x+1) (5x+3)
Como multiplique por 5, divido por 5 para
volver el trinomio a su forma original.
Luego los factores buscados son (x+1) (5x+3)
Ejemplo 2.
Halle los factores del trinomio 7x2+10x+3
Solución
Multiplico el trinomio por el coeficiente del término cuadrático
7(7x2)+7(10x)+7(3)
Se escribe de la forma
(7x)2+10(7x)+21
Como este trinomio tiene la forma x2+bx+c
Se asume que a=7x
buscamos dos cantidades cuyo producto sea
21 y cuya suma algebraica sea 10
a2+10a+21
Estas cantidades son 7 y 3 ya que 7x3=21 y 7+3=10 luego los factores son:
(a+7) (a+3) y como a=7x sustituyo a por 7x
(7x+7)(7x+3)
𝟕𝐱+𝟕 (𝟕𝐱+𝟑)
𝟕 𝐱 𝟏
= (x+1) (7x+3)
Como multiplique por 7 se divido por 7 para
que el trinomio vuelva a su forma original
Luego los factores del trinomio 7x2+10x+21 son: (x+1) (7x+3)
Ejercicios propuestos
Factorice los siguientes trinomios.
1. 8x2+15x+7
2. 4x2+9x+5
3. 9x2+6x-3
4. 5x2+14x+9
5. 7x2+12x+5
Una forma de obtener un
trinomio ax2+bx+c es
combinando con operaciones de
(+ o − ) una variable al
cuadrado con su coeficiente
numérico y una constante, de
forma que el término medio sea
la suma del coeficiente numérico
de la variable cuadrada y la
constante.
4. Página 4.
Factorización de un trinomio cuadrado perfecto.
Un trinomio cuadrado perfecto es aquel trinomio en el cual el primer y el tercer
término tienen raíz cuadrada exacta y el término medio es el doble del producto de
las raíces de los otros dos
Ejemplos.
1. 36x2+60xy+25y2
2. 100a2+140ab+49b2
3. 16m2+64mn+64n2
4. 81w2+180wk+100k2
Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto debemos dar los siguientes pasos:
1. Buscamos las raíces cuadradas del primer y el tercer termino
2. Verificamos que el término medio sea el doble de las raíces de los otros dos
términos.
Ejemplo 1.
Factorice siguiente trinomio cuadrado perfecto.
36x2+60xy+25y2
Solución:
Buscamos la raíz cuadrada del primer y tercer término
36x 2 =6x
25y 2 =5y
Verificamos que el término medio sea el doble del producto de las raíces
2(6x) (5y)=60xy como esto se cumple los factores buscados son:
(6x+5y)(6x+5y)
Ejemplo 2.
Halle los factores de la expresión 100a2+80ab+16b2
Solución:
Buscamos la raíz cuadrada del primer y el tercer termino
100a2 = 10a
16b 2 = 4b
Se verifica que el término medio sea el doble del producto de las raíces
2(10a) (4b)= 80ab
Al verificarse esto, concluimos diciendo que los factores buscados son:
(10a+4b) (10a+4b)
Factorice los siguientes trinomios cuadrados perfectos.
1. 36x2+60xy+25y2
2. 100a2+140ab+49b2
3. 16m2+64mn+64n2
4. 81w2+180wk+100k2
5. 144y2+120ym+100m2
5. Página 5.
Factorización de una suma de cubos.
Una suma de cubos es un binomio en el cual sus términos tienen
raíz cubica exacta.
Ejemplos:
1. 27x3+64m3
2. 729 a3+125b3
3. 216x3+343y3
4. 512w3+8n3
¿Cómo factorizar una suma de cubos?
Para factorizar una suma de cubos, buscamos la raíz cúbica de las cantidades que la
forman y con ellas formamos un binomio, luego formamos un trinomio con el
cuadrado de la primera raíz menos la primera raíz por la segunda más el cuadrado
de la segunda raíz y se expresa el producto del binomio y del trinomio siendo
estos los factores buscados.
Ejemplos.
Factorice la siguiente suma de cubos.
27x3+64m3
1. Buscamos las raíces cúbicas de 27x3 y 64m3
3
27x 3 =3x
3
64m3 =4m
2. Formamos un binomio con las raíces
(3x+4m)
Luego formamos un trinomio con el cuadrado de la primera raíz menos el
producto de ambas más el cuadrado de la segunda raíz.
(9x2-12xm+16m2)
Luego los factores buscados son:
(3x+4m)(9x2-12xm+16m2)
Halle los factores de 125a3+729y3
3
125a3 = 5a
3
729y3 = 9y
Luego (5a+9y) (25a2-45ay+81y2) son los factores buscados.
Factorice
27
343
w3 + 8 m 3
64
Buscamos las raíces cúbicas de ambos términos
𝟑
3
27 3 3
w =4w
64
7
9
( 4 w + 2 m) (16 w2 -
𝟑
21
8
343
7
m3 = 2 m
8
wm+
49
4
m2)
luego los factores buscados son:
6. Página 6.
Evaluación.
Seleccione la respuesta correcta.
1. Los factores de la expresión 36x2 – 64m2 son:
A. (8x – 6m) (8x – 6m)
B. (6x –8m) (6x+8m)
C. (6x+8m)(6x+8m)
2. ¿Cuál de las siguientes expresiones no es un cuadrado perfecto?
A. 4x2+ 40xy+25y2
B. 36x4+120x2 y2+100y4 C. 16m2+ 32mn+8n2
3. ¿Cuáles son los factores del trinomio 100w2+80wk+16k2?
A. (10w+8k)(10w+8k)
C. (10w+4k) (10w+4k)
B. (10w −8m)(10w+4k)
4. ¿Cuáles son los factores de la expresión x2+ 15x+56?
A. (x+8) (x+8) B. (x+7) (x+8) C. (x+8) (x+8)
5. Los factores de la expresión 343m3 + 729y3 son:
A. (7m+9y)(49m2+72my+81y3) C. (7m+9y)(49m2+9y)
B. (7m+9y)(49m2 −72my+81y2)
6. Si (4x – 5m) es un factor de 16x2 – 25m2 ¿Cuál es el otro?
A. (x+8)
B. (8x – 6m)
C. (4x+5m)
Factorice las siguientes expresiones.
1. 64x2+ 80xy+25y2
2. x2+15x+54
3. 5x+12x+7
4. 27w3 +64a3
5. 81x2 −100y2
6. 49m2 −16w2
7. 4a2+72ab+81b2
8. 4k2+10k+6
9. 125x3 −729y3
10. a2+20a+9
Factorice y luego simplifique las siguientes expresiones.
1.
2.
3.
4.
5.
36x 2 +84xy +49y 2
(6x+7y)
=
216m 3 +512k 3
(36x 2 −48mk +64k 2 )
81w 2 −144a 2
(9w−12a)
9x 2 +16x+7
(9x+7)
=
=
343w 3 +729y 3
(7w+9y)
=
=
7. Página 7.
Productos y Cocientes Notables.
Productos Notables.
Los productos notables son productos especiales en los que no es necesario
multiplicar para obtener sus resultados ya que solo basta con aplicar ciertas
reglas o patrones.
Entre los productos notables tenemos:
Cuadrado de la suma de dos cantidades.
El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera
cantidad, más dos veces la primera cantidad por la segunda, mas el cuadrado de la
segunda cantidad.
Ejemplo 1.
Recuerda:
(x+y)2 = (x)2 +2(x) (y) + (y)2
Debes
(x+y)2 = x2 +2xy + y2
aprenderte la
Ejemplo 2.
regla de cada
(2m+5y)2 = (2m)2+2(2m) (5y)+ (5y)2
producto
(2m+5y)2 = 4m2+20my)+ 25y2
notable.
Cuadrado de la diferencia de dos cantidades.
El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera
cantidad, menos dos veces la primera cantidad por la segunda, mas el cuadrado de
la segunda cantidad.
Ejemplo 1.
(a−b)2 = (a)2 +2(a)(b) +(b)2
(a−b)2 = a2 +2ab + b2
Ejemplo 2.
(2k−4m)2 = (2k)2 +2(2k)(4m) +(4m)2
(a−b)2 = 4k2 +16km + 16m2
Cubo de la suma de dos cantidades.
El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad, mas 3
veces el cuadrado de la primera por la segunda cantidad, mas 3 veces la primera
por el cuadrado de la segunda cantidad más el cubo de la segunda cantidad.
Ejemplo 1.
(3x+2w)3 = (3x)3+ 3(3x)2(2w)+3(3x)(2w)2+(2w)3
(3x+2w)3 = 27x3+ 3(9x2)(2w)+(9x)(4w2)+8w3
(3x+2w)3 = 27x3+ 54x2 w+36xw2+8w3
Ejemplo 2.
(5x+4y)3 = (5x)3+3(5x)2(4y)+3(5x)(4y)2 +(4y)3
(5x+4y)3 = 125x3+3(25x2)(4y)+3(5x)(16y2) +64y3
(5x+4y)3 = 125x3+300x2 y+240x y2 +64y3
8. Página 8.
Cubo de la diferencia de dos cantidades.
El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad,
menos 3 veces el cuadrado de la primera por la segunda cantidad, mas 3 veces la
primera por el cuadrado de la segunda cantidad menos el cubo de la segunda
cantidad.
Ejemplo 1.
(2k−4m)3 = (2k)3 −3(2k)2(4m) +3(2k)(4m)2 – (4m)3
(2k−4m)3 = 8k3 −3(4k2)(4m) +(6k)(16m2) – 64m3
(2k−4m)3 = 8k3 −48k2m +(96k m2 – 64m3
Ejemplo 2.
(8y−7k)3 = (8y)3 −3(8y)2(7k)+3(8y)(7k)2 –(7k)3
(8y−7k)3 = 512y3 −3(64y2)(7k)+(24y)(49k2) –343k3
Observa con
(8y−7k)3 = 512y3 −1,344y2k+1,176yk2–343k3
Ejercicios Resueltos.
Halle el resultado de los siguientes productos notables.
1. (2b+6y)2 = (2b)2 +2(2b)(6y) + (6y)2
= 4b2 +24by + 36y2
2. (5x+10k)2 = (5x)2 + 2(5x)(10k)+ (10k)2
= 25x2 +100xk + 100k2
3. (6m−9w)3 = (6m)3 −3(6m)2(9w)+3(6m)(9w)2 –(9w)3
= 216m3 −3(36m)2(9w)+(18m)(81w2) –729w3
= 216m3 −972m2 w+1,458mw2 –729w3
4. (3a+5y)3 = (3a)3+3(3a)2(5y)+3(3a)(5y)2 +(5y)3
= 27a3+3(9a2)(5y)+(9a)(25y2) +125y3
= 27a3+135a2 y+225ay2 +125y3
3
2
3
3
2
2
4
5
4
4
5
5
5. ( x − y)2 = ( x)2 −2( x) ( y)+ ( y)2
=
=
9
16
9
16
x2 −2(
6
20
12
x y)+
x2 − 20 x y+
4
25
4
25
y2
y2
6. (4m3 +2x2)2 = (4m3)2 +2(4m3)(2x2)+(2x2)2
= 16m6 +16m3 x2+4x4
detenimiento
estos ejemplos
9. Página 9.
Cocientes notables.
Al igual que en los productos notables, en los cocientes notables no es necesario
dividir para obtener el resultado, ya que dicho resultado se puede obtener por
simple inspección.
Ejemplos:
Diferencia de cuadrados
1.
2.
a 2 −b 2
a−b
a−b (a+b)
=
(a−b)
(25m 2 −100x 2 )
(5m−10x)
=
= a+b
5m−10x (5m+10x)
(5m−10x)
= 5m+10x
Suma de cubos
3.
4.
5.
x 3 +y 3
(x+y)
=
x+y (x 2 −xy +y 2 )
= x2−xy+y2
(x+y)
y 2 +𝑦𝑘 +𝑘 2
(x 3 +y 3 )
(y 2 +yk +k 2 )
=
x 3 +y 3
(x 2 −xy +y 2 )
y+k (y 2 +yk +k 2 )
=
x+y (x 2 −xy +y 2 )
=
1
(y+k)
Observa estas reglas de los
cocientes notables, porque
te serán muy útiles cuando
vayas a simplificar
expresiones algebraicas.
= x+y
(x 2 −xy +y 2 )
Diferencia de cubos
6.
7.
x 3 −y 3
(x 2 +xy +y 2 )
x 3 −y 3
(x−y)
=
x−y (x 2 +xy +y 2 )
=
(x 2 +xy +y 2 )
x−y (x 2 +xy +y 2 )
= x−y
= x2+xy+y2
(x−y)
Trinomio de la forma x2+bx+c
8.
9.
(a 2 +10a+24)
(a+6)
(x 2 +8x+15)
(x+5)
a+6 (a+4)
=
(a+6)
x+5 (x+3)
=
(x+5)
= a+4
= x+3
Trinomio cuadrado perfecto
10.
11.
(a 2 +8a+16)
(a+4)
a+4 (a+4)
=
(a+4)
(36m 2 +120mk +100k 2 )
(6m+10k)
=
= a+4
6m+10 (6m+10k)
(6m+10k)
Trinomio de la forma ax2+bx +c
12.
13.
(4x 2 +12x+8)
(x+2)
=
(5k 2 +15k+10)
(5k+5)
=
x+2 (4x+4)
(x+2)
= 4x+4
k+2 (5k+5)
(5k+5)
= k+2
= 6m+10k
10. Página 10.
Evaluación.
Explique las reglas de:
1. El cuadrado de la suma de dos cantidades.
2. El cubo de la suma de dos cantidades.
3. El cubo de la diferencia de dos cantidades.
4. El cuadrado de la diferencia de dos cantidades.
Halle el resultado de los siguientes productos notables.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
(7x+8m)2 =
(9m−5y)3 =
(4k+3a)2 =
(8w+6m)3 =
(3y−10k)2 =
(2x2 +3y4)2 =
Coloca en la raya de la derecha el número que le corresponde en la columna
de la izquierda.
1. (3m+2y)2
______ 4a2+24ay +36y2
2. (7x+5k)3
______ (5w −2z)2
3. 4x2 + 20xy+25y2
______ (3x2 +2)3
4. (2a+6y)3
______ 9m2 +12my+4y2
5. 27x6 +54x4 +36x2 +8
______ 343x3 +735x2k+525xk2+125k3
6. 25w2 −20wz+4z2
______ (2x+5y)2
Simplifique y luego desarrolle la potencia del binomio resultante.
1.
2.
3.
4.
5.
2x+4m 2 . 2x+4m 4
2x+4m 3
3k+5y 3 . 3k+5y 4
3k+5y 5
=
=
10a+8x 7
=
10a+8x 4
5m+10k 2 . 6w+2y 4
=
25m 2 +100mk +100k 2 6w+2y 2
7x+9y 3 . 7x+9y 2
7x+9y 4
=