Este documento resume cinco casos de factorización en álgebra: factor común, trinomio cuadrado perfecto, factor común por agrupación, diferencia de cuadrados y suma o diferencia de cubos. Explica cada caso con definiciones claras y varios ejemplos numéricos para ilustrar los procedimientos de factorización. El objetivo es enseñar estos diferentes casos y aplicarlos con ejercicios para que los estudiantes dominen la factorización y comprendan sus métodos.

1. ALGEBRA
CASOS DE FACTORIZACIÓN
MAURO ANDRES LARROTA ROMERO
GRUPO G2
DOCENTE
GIOVANNI SALAZAR OVALLE
UNIVERSIDAD DEL QUINDIO
CIENCIAS DE INFORMACIÓN Y LA DOCUMENTACIÓN
BIBLIOTECOLOGIA Y ARCHIVISTICA
MATEMÁTICAS BÁSICA
CIDBA
ARMENIA-COLOMBIA
MAYO DE 2013
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2. CONTENIDO.
FACTOR COMUN
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
FACTOR COMUN POR AGRUPACIÓN
DIFERENCIA DE CUADRADOS
SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS
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3. INTRODUCCION.
Con este trabajo se quiere explicar de forma
sencilla cinco casos de factorización con sus
respectivos ejemplos.
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4. OBJETIVOS
Enseñar los diferentes casos de factorización y
dar sus respectivos ejemplos.
Aplicar los conocimientos adquiridos, con los
ejemplos respectivos de factorización
Dominar los casos de factorización y entender
su procedimiento.
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5. FACTOR COMÚN
Cuando se va a factorizar una expresión algebraica, el factor
común es lo primero que debe analizarse; en la expresión
, ax +bx=x (a+b),
x es el factor común a todos los términos de la expresión
dada, y no es más que el máximo común divisor MCD, de los
términos, es decir, los factores comunes con su menor
exponente.
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6. Ejemplos factor común
1) 5 a2 bx3 -15 abx2 -2ab3x2
SOLUCIÓN: El factor común o MCD de los términos de la
expresión que se va a factorizar es abx2, así que:
5 a2 bx3 -15abx2-2ab3x2=abx2(5ax-2b2-15)
2) 18e3m +2e4m +8e5m
SOLUCION: El factor común es 2e3m, entonces,
18e3m+2e4m+8e5m=2e3m(9+em+4e2m)
3) x2+1-x3-x
SOLUCIÓN: Para intentar construir un factor común se agrupan
los dos últimos términos como:
(x2+1)-(x3+x)=(x2+1)-x(x2+1)
y ahora el factor común es x2+1, entonces,
(x2+1)-x3-x=(x2+1)-x(x2+1)=(x2+1) (1-x)
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7. Se llama trinomio cuadrado perfecto al
trinomio (polinomio de tres términos) tal
que, dos de sus términos son cuadrados
perfectos y el otro término es el doble
producto de las bases de esos cuadrados.
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8. Regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto.1)Un
trinomio ordenado con relación a una letra2)Es cuadrado perfecto cuando
el primer y tercer término son cuadrados perfectos3)El segundo término
es el doble producto de sus raíces cuadradas. Procedimiento para
factorizar1)Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer término; en el
ejemplo a y b.2)Se forma un producto de dos factores binomios con la
suma de estas raíces; entonces (a + b)(a + b).3)Este producto es la
expresión factorizada (a + b)2.Si el ejercicio fuera así:
a2-2ab+b2=(a - b) 2
Procedimiento para factorizar
1)Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer término; en el
ejemplo a y b.
2)Se forma un producto de dos factores binomios con la diferencia de
estas raíces; entonces
(a - b)(a - b).
3)Este producto es la expresión factorizada (a - b)2.
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9. Ejemplo 1: Factorizar x2 + 10x + 25
La raíz cuadrada de : x2 es x
La raíz cuadrada de : 25 es 5
El doble producto de las raíces: 2(x)(5) es 10x
Luegox2 + 10x + 25=(x + 5)2
Ejemplo 2: Factorizar 49y2 + 14y + 1
La raíz cuadrada de : 49y2 es 7y
La raíz cuadrada de : 1 es 1
El doble producto de las raíces: 2(7y)(1) es 14y
Luego49y2 + 14y + 1=(7y + 1)2
Ejemplo 3: Factorizar 81z2 - 180z + 100
La raíz cuadrada de : 81z2 es 9z
La raíz cúbica de : 100 es 10
El doble producto de las raíces: 2(9z)(10) es 180z
Luego81z2 - 180z + 100=(9z - 10)2
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10. Se llama factor común por agrupación de términos, si los términos
de un polinomio pueden reunirse en grupos de términos con un
factor común diferente en cada grupo.
Cuando pueden reunirse en grupos de igual número de términos se
le saca en cada uno de ellos el factor común. Si queda la misma
expresión en cada uno de los grupos entre paréntesis, se la saca
este grupo como factor común, quedando así una multiplicación de
polinomios.
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11. Tratar desde el principio que nos queden iguales los términos de los paréntesis nos
hará mas sencillo el resolver estos problemas.
2ax + 2bx - ay + 5a - by + 5b
Agrupo los términos que tienen un factor común
(2ax - ay + 5a ) + ( 2bx - by + 5b )
Saco el factor común de cada grupo
a ( 2x - y + 5 ) + b (2x - y + 5 )
Como las expresiones encerradas entre paréntesis son iguales se tiene:
( 2x -y +5 )(a + b)
Que es nuestra respuesta.
PROCEDIMIENTO
1) Consiste en agrupar entre paréntesis los términos que tienen factor común,
separados los grupos por el signo del primer término de cada grupo.
2) La agrupación puede hacerse generalmente de más de un modo con tal que
los dos términos que se agrupen tengan algún factor común, y siempre que las
cantidades que quedan dentro del paréntesis después de sacar el factor común
en cada grupo, sean exactamente iguales.
3) Después de lo anterior se utiliza el procedimiento del caso I, Factor Común
Polinomio.
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12. Ejemplos:
1) ax +bx +ay +by = (a+b)(x+y)
1º) Agrupar términos que tienen factor común: (ax+bx) + (ay+by)
2º) Facturando por el factor común: x(a+b) + y(a+b)
3º) Formando factores: uno con los términos con factor común y otros
con los términos comunes (a+b)(x+y), que es la solución.
2) 3m^2 -6mn +4m -8n = (m-2n)(3m+4)
1º) Agrupando términos que tiene factor común: (3m^2 -6mn)+(4m-8n)
2º) Factorar por el factor común: 3m(m-2n) + 4(m-2n)
3º) Formando factores: (m-2n)(3m+4) <– Solución.
3) ax-2bx-2ay+4by = (a-2b)(x-2y)
1º) Agrupar términos con factor común: (ax-2bx)-(2ay-4by)
2º) Factorar por el factor común: x(a-2b)-2y(a-2b) =
3º) Formando factores: (a-2b)(x-2y) <– Solución.
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13. Se le llama diferencia de cuadrados
al binomio conformado por dos
términos a los que se les puede
sacar raíz cuadrada exacta
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14. Procedimiento para factorizar
1)Se extrae la raíz cuadrada de los
cuadrados perfectos.
2)Se forma un producto de la suma
de las raíces multiplicada por la
diferencia de ellas.
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15. EJEMPLOS
Ejemplo 1: Factorizar 16x2 - 1
La raíz cuadrada de : 16x2 es 4x
La raíz cuadrada de : 1 es 1
Luego16x2 - 1=(4x + 1)(4x - 1)
Ejemplo 2: Factorizar 4x2 - 81y4
La raíz cuadrada de : 4x2 es 2x
La raíz cuadrada de : 81y4 es 9y2
Luego4x2 - 81y4=(2x + 9y2)(2x - 9y2)
Ejemplo 3: Factorizar 100a2b4c8 - 169d10e14
La raíz cuadrada de : 100a2b4c8 es 10ab2c4
La raíz cuadrada de : 169d10e14 es 13d5e7
Luego100a2b4c8 - 169d10e14=(10ab2c4 +
13d5e7)(10ab2c4 - 13d5e7)
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16. Es la transformación de una expresión algebraica racional entera
en el producto de sus factores racionales y enteros, primos entre
si.
En una suma de cubos perfectos.
Procedimiento para factorizar
1)Se extrae la raíz cúbica de cada término del binomio.2)Se forma
un producto de dos factores.3)Los factores binomios son
la suma de las raíces cúbicas de los términos del binomio.4)Los
factores trinomios se determinan así: El cuadrado de la primera
raíz menos el producto de estas raíces más el cuadrado de la
segunda raíz.
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17. EJEMPLOS
Ejemplo 1: Factorizar a3 + 1
La raíz cúbica de : a3 es a
La raíz cúbica de : 1 es 1
Según procedimientoa3 + 1=(a + 1)[(a)2 - (a)(1) + (1)2]Luegoa3 + 1=(a + 1)(a2 -
a + 1)
Ejemplo 2: Factorizar 8x3 + 27
La raíz cúbica de : 8x3 es 2x
La raíz cúbica de : 27 es 3
Según procedimiento8x3 + 27=(2x + 3)[(2x)2 - (2x)(3) + (3)2]Luego8x3 +
27=(2x + 3)(4x2 - 6x + 9)
Ejemplo 3: Factorizar 64x6y3 + 125z12w15
La raíz cúbica de : 64x6y3 es 4x2y
La raíz cúbica de : 125z12w15 es 5z4w5
Según procedimiento64x6y3 + 125z12w15=(4x2y + 5z4w5)[(4x2y)2 -
(4x2y)(5z4w5) + (5z4w5)2]Luego64x6y3 + 125z12w15=(4x2y + 5z4w5)(16x4y2 -
20x2yz4w5 + 25z8w10)
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18. CONCLUSIONES
Este trabajo me permitió transmitir mis
conocimientos adquiridos de acuerdo a la
guía dada por el docente y mejorar en los
casos de factorización al tratar de explicarlos
de una forma sencilla a través de su
definición y sus respectivos ejemplos.
Con el trabajo se logro conocer más a fondo
los casos de factorización.
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19. BIBLIOGRAFIA.
ALVAREZ JIMENEZ Rafael A, Factorización, 2da Edición 2006, Universidad de
Medellín, Editora Lorenza Correa Restrepo, Pags 81.
http://ejerciciosalgebra.wordpress.com/2012/05/30/caso-ii-factor-comun-por-
agrupacion-de-terminos/ Consultada el 18 de mayo de 2013
http://miss-blanca.blogspot.com/2008/09/factorizacion-del-trinomio-cuadrado.html
.Consultada el 18 de mayo de 2013
http://usuarios.multimania.es/inemitas/INEM/TEMASMAT/algebra/facdifcua.html .
Consultada el
19 de mayo de 2013
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