Pierre de Fermat fue un importante matemático francés del siglo XVII que realizó contribuciones fundamentales en áreas como la teoría de números, el cálculo y la geometría analítica. Aunque nunca publicó sus trabajos durante su vida, mantuvo una extensa correspondencia con otros matemáticos que ayudó a difundir y establecer su reputación. Fermat vivió y trabajó principalmente en la región de Toulouse, donde desarrolló métodos innovadores para resolver problemas de máximos y mínimos que anticiparon el cálculo diferencial
El documento presenta varias curiosidades matemáticas sobre figuras históricas como Norbert Wiener, René Descartes, Blaise Pascal, George Polya y Pierre de Fermat. Se describe cómo Wiener olvidó su mudanza de casa, el talento de Pascal para las matemáticas a pesar de la oposición de su padre, y la definición de Polya sobre la elegancia de los teoremas geométricos. También se resume el famoso último teorema de Fermat.
El documento describe diferentes tipos de estrofas poéticas, incluyendo tercetos, cuartetos, sextillas, octavas reales, décimas, sonetos y silvas. Cada una tiene un número específico de versos y un patrón de rima particular. Por ejemplo, el terceto tiene tres versos donde el primero y tercero riman y el segundo queda suelto, mientras que el soneto consta de catorce versos organizados en dos cuartetos y dos tercetos siguiendo el esquema ABBA ABBA CDC DCD.
El documento resume la historia del soneto como forma poética. Se originó en Italia en el siglo 13 y fue popularizado por poetas como Petrarca y Dante. Más tarde, autores españoles como Boscán y Garcilaso de la Vega introdujeron el soneto en España. Aunque cayó en desuso durante un tiempo, renació en los movimientos modernistas del siglo 19 y 20, adoptando nuevas formas y siendo practicado por poetas como Rubén Darío y la Generación del 27.
Presentación sobre origen y características del soneto, con hipervínculos a enlaces de sonetos de los principales autores españoles del Siglo de Oro. Para alumnado de Tercer Ciclo de Primaria
El soneto es un poema de 14 versos divididos en dos cuartetos y dos tercetos, con una estructura métrica de ABBA ABBA CDC DCD. Los cuartetos siguen la rima consonante ABBA y los tercetos pueden variar su rima, aunque normalmente es CDC DCD. El documento analiza un soneto de Lope de Vega como ejemplo.
El documento describe diferentes formas de estrofas poéticas, incluyendo la cuarteta formada por cuatro versos de arte menor con rimas cruzadas, la redondilla con la misma estructura pero rima alterna, el serventesio igual que la cuarteta pero con versos mayores, el cuarteto similar a la redondilla pero con versos mayores, el terceto de tres versos mayores con rima aba y el pareado de dos versos rimados.
Thomas Wyatt fue un poeta y diplomático inglés del siglo XVI que sirvió a Enrique VIII. Introdujo el soneto italiano a Inglaterra y tradujo obras de Petrarca. Sus poemas líricos tratan temas como el amor no correspondido y la libertad sobre las ataduras del amor. Uno de sus sonetos más conocidos es "Whoso list to hunt" que posiblemente dedicó a Ana Bolena.
Este documento resume la primera clase de Guillermo Martínez sobre Borges y la matemática. Martínez explica que Borges utilizaba mucho la matemática al escribir y demuestra conocimientos sobre teoría de conjuntos e infinitos. Borges exploraba temas matemáticos como la diferencia entre lo verdadero y lo demostrable, el infinito de Cantor, y objetos recursivos. El cuento "El Aleph" de Borges incluye tres temas matemáticos recurrentes: el infinito de Cantor, objetos recursivos, y la biblioteca
El documento presenta varias curiosidades matemáticas sobre figuras históricas como Norbert Wiener, René Descartes, Blaise Pascal, George Polya y Pierre de Fermat. Se describe cómo Wiener olvidó su mudanza de casa, el talento de Pascal para las matemáticas a pesar de la oposición de su padre, y la definición de Polya sobre la elegancia de los teoremas geométricos. También se resume el famoso último teorema de Fermat.
El documento describe diferentes tipos de estrofas poéticas, incluyendo tercetos, cuartetos, sextillas, octavas reales, décimas, sonetos y silvas. Cada una tiene un número específico de versos y un patrón de rima particular. Por ejemplo, el terceto tiene tres versos donde el primero y tercero riman y el segundo queda suelto, mientras que el soneto consta de catorce versos organizados en dos cuartetos y dos tercetos siguiendo el esquema ABBA ABBA CDC DCD.
El documento resume la historia del soneto como forma poética. Se originó en Italia en el siglo 13 y fue popularizado por poetas como Petrarca y Dante. Más tarde, autores españoles como Boscán y Garcilaso de la Vega introdujeron el soneto en España. Aunque cayó en desuso durante un tiempo, renació en los movimientos modernistas del siglo 19 y 20, adoptando nuevas formas y siendo practicado por poetas como Rubén Darío y la Generación del 27.
Presentación sobre origen y características del soneto, con hipervínculos a enlaces de sonetos de los principales autores españoles del Siglo de Oro. Para alumnado de Tercer Ciclo de Primaria
El soneto es un poema de 14 versos divididos en dos cuartetos y dos tercetos, con una estructura métrica de ABBA ABBA CDC DCD. Los cuartetos siguen la rima consonante ABBA y los tercetos pueden variar su rima, aunque normalmente es CDC DCD. El documento analiza un soneto de Lope de Vega como ejemplo.
El documento describe diferentes formas de estrofas poéticas, incluyendo la cuarteta formada por cuatro versos de arte menor con rimas cruzadas, la redondilla con la misma estructura pero rima alterna, el serventesio igual que la cuarteta pero con versos mayores, el cuarteto similar a la redondilla pero con versos mayores, el terceto de tres versos mayores con rima aba y el pareado de dos versos rimados.
Thomas Wyatt fue un poeta y diplomático inglés del siglo XVI que sirvió a Enrique VIII. Introdujo el soneto italiano a Inglaterra y tradujo obras de Petrarca. Sus poemas líricos tratan temas como el amor no correspondido y la libertad sobre las ataduras del amor. Uno de sus sonetos más conocidos es "Whoso list to hunt" que posiblemente dedicó a Ana Bolena.
Este documento resume la primera clase de Guillermo Martínez sobre Borges y la matemática. Martínez explica que Borges utilizaba mucho la matemática al escribir y demuestra conocimientos sobre teoría de conjuntos e infinitos. Borges exploraba temas matemáticos como la diferencia entre lo verdadero y lo demostrable, el infinito de Cantor, y objetos recursivos. El cuento "El Aleph" de Borges incluye tres temas matemáticos recurrentes: el infinito de Cantor, objetos recursivos, y la biblioteca
Un soneto es una composición poética compuesta por 14 versos de arte mayor, endecasílabos en su forma clásica.1 Los versos se organizan en cuatro estrofas: dos cuartetos (estrofas de cuatro versos) y dos tercetos (estrofas de tres versos). Aunque la distribución del contenido del soneto no es estricta, puede decirse que el primer cuarteto presenta el tema del soneto, y que el segundo lo amplifica o lo desarrolla. El primer terceto reflexiona sobre la idea central, o expresa algún sentimiento vinculado con el tema de los cuartetos. El terceto final, el más emotivo, remata con una reflexión grave o con un sentimiento profundo, en ambos casos, desatados por los versos anteriores. De esta manera, el soneto clásico presenta una introducción, un desarrollo y una conclusión en el último terceto, que de algún modo da sentido al resto del poema.
De Sicilia, el soneto pasó a la Italia central, donde fue también cultivado por los poetas del dolce stil nuovo: Guido Guinizzelli (1240-1276), Guido Cavalcanti (1259-1300) y Cino da Pistoia, entre otros, quienes emplean ya los dos cuartetos y los dos tercetos, éstos últimos con una estructura variable.
En el siglo xiv fueron muy importantes los sonetos amorosos de Dante Alighieri, dedicados a su amada Beatrice Portinari, y recogidos en su libro Vita nuova. Pero el sonetista más influyente de la centuria fue el poeta aretino Petrarca, en cuyo Cancionero el soneto se revela como la estructura más adecuada para la expresión del sentimiento amoroso.2 A través de la influencia de Petrarca, el soneto se extiende al resto de literaturas europeas.
El documento explica los conceptos de estrofa y poema. Indica que un poema suele tener una estructura fija de versos, rima y sílabas organizada en estrofas. Existen diferentes tipos de estrofas como el soneto, que consta de 14 versos organizados en cuartetos y tercetos. También habla de poemas no estróficos que no siguen este patrón, como los romances. Finalmente, da ejemplos de poemas estróficos como un soneto, y no estróficos como un romance anónimo.
Este documento analiza un soneto de Petrarca dedicado a su amada Laura. Explica que sigue la estructura de un soneto italiano con dos cuartetos y dos tercetos y rima consonante. El tema principal es el amor no correspondido del poeta hacia Laura y sus sentimientos contradictorios de temor, esperanza, calor y frío. El análisis destaca cómo en los primeros ocho versos el poeta expresa su vacilación interna y cómo en el último verso culpa a Laura por su estado emocional.
Adrien-Marie Legendre fue un destacado matemático francés nacido en 1752. Realizó importantes contribuciones en áreas como la geometría, la teoría de números, el álgebra abstracta y el análisis matemático. Escribió la popular obra Elementos de Geometría y desarrolló el método de los mínimos cuadrados. Fue miembro de prestigiosas academias como la Academia de Ciencias de Francia y la Royal Society. Legendre murió en París en 1833 tras una larga carrera dedic
Pedro bellon matematica y literatura (1)manosytijeras
Este documento explora las relaciones entre la literatura y las matemáticas. Explica que la métrica, que se refiere a la estructura rítmica de los poemas, es importante para ambos campos. También describe varios tipos de versos, como los oxítonos, paroxítonos y proparoxítonos, y cómo se resuelven elementos como el hiato y el diptongo. Además, define la estrofa como un grupo de versos unidos por criterios fijos y clasifica diferentes tipos de estrofas y versos.
Comentario de texto Garcilaso de la Vegalafiesperidas
El soneto describe el amor del poeta hacia una mujer, señalando que ella es la responsable de sus sentimientos. A través de juegos verbales y estructuras sintácticas, el poema expresa cómo el amor de ella le da sentido a su vida y alma, y que está destinado a amarla y morir por ella.
Este documento describe los diferentes tipos de estrofas que se pueden encontrar en un poema, clasificándolas por el número de versos que las componen. Explica las estrofas de dos, tres, cuatro, cinco, seis, ocho, diez y catorce versos, dando ejemplos de cada una. La estrofa más conocida es el soneto, formado por dos cuartetos y dos tercetos de catorce versos en total.
PPT con elementos de métrica, parte del manual de Género Lírico que puedes obtener bajándolo.de forma gratuita de mi blog: noraguevaragarcia.blogspot.com
Este documento describe los conceptos básicos de los fractales y su aplicación en la música clásica. Explica que los fractales son objetos matemáticos cuya estructura se repite a diferentes escalas y que presentan autosimilitud. Luego analiza obras musicales clásicas como "Primera Escossaien" de Beethoven y la Suite para cello No.3 de Bach, encontrando en ellas estructuras fractales en la disposición de las notas y duraciones. Finalmente, menciona algunos compositores modernos como Phil Thompson que usan fract
Este documento resume conceptos clave de la métrica y la fonética poética como el nivel fonético-fonológico, la métrica, el ritmo, la rima, las licencias poéticas y las reglas ortográficas. Explica términos como versos de arte menor y mayor, tipos de rima, y figuras métricas como la sinalefa, diéresis, cesura y más. Además, define conceptos de acentuación como oxítono, paroxítono y proparoxítono.
Este documento clasifica y explica los diferentes tipos de versos y estrofas poéticas. Comienza describiendo los versos simples y compuestos según su número de sílabas, y continúa explicando cómo se miden los versos y la rima. Luego detalla los diferentes tipos de estrofas poéticas como el soneto, romance y otras, indicando su estructura métrica y número de versos. En resumen, provee una guía completa sobre la métrica y forma poética tradicional.
Este documento define la lírica como un género literario que expresa sentimientos y emociones a través de la subjetividad humana. Explica las unidades del texto poético como el verso, la estrofa y el poema, y describe los diferentes tipos de versos, rimas, métrica y figuras literarias que se utilizan en la poesía. Finalmente, presenta varios tipos comunes de estrofas y poemas, como el soneto y el romance.
Dante Alighieri (1265-1321) fue un poeta y pensador italiano conocido principalmente por su obra maestra La Divina Comedia. Tuvo un amor platónico por Beatriz Portinari desde los 9 años que inspiró su poesía y vida. Más tarde fue desterrado de Florencia por sus actividades políticas a favor de la unidad italiana, lo que lo llevó a escribir La Divina Comedia donde critica a sus enemigos políticos. La Divina Comedia es considerada una de las mayores obras de la literatura mundial.
Este poema de 14 versos describe las múltiples sensaciones y contradicciones que produce el amor. En los primeros ocho versos, el poeta enumera una serie de adjetivos opuestos que representan cómo el amor puede hacerte sentir alegre o triste, humilde o altivo. En los versos finales, señala que el amor a veces es veneno y causa daño, pero solo aquellos que lo han experimentado saben realmente lo que es. A través de este soneto, Lope de Vega captura la naturaleza compleja y paradój
Este documento resume los conceptos básicos de métrica como la medida de los versos, la rima, y las estrofas. Explica cómo contar las sílabas en un verso teniendo en cuenta si termina en palabra aguda o esdrújula. Define la rima consonante y asonante. Finalmente, presenta algunos tipos comunes de estrofas y concluye analizando la métrica de un fragmento de ocho versos octosílabos con rima consonante.
Este documento describe los conceptos básicos de la métrica poética, incluyendo la medida de los versos por el número de sílabas, los fenómenos métricos como la sinalefa y diéresis, los diferentes tipos de versos como los de arte menor y mayor, la rima asonante y consonante, y las formas comunes de estrofas como el pareado, terceto, cuarteto y soneto. También explica formas de versos sin rima como los versos blancos, libres y el caligrama.
El documento resume los conceptos básicos de la métrica y rima en la poesía. Explica que la poesía se caracteriza por expresar sentimientos de forma subjetiva a través del uso del verso, ritmo y figuras literarias. Define conceptos como el verso, estrofa, métrica, licencias métricas, rima, rima consonante, rima asonante, versos sueltos y versos blancos. Por último, introduce el verso libre como aquel que no sigue normas métricas o rimas fijas.
Pierre de Fermat fue un matemático francés del siglo XVII que hizo importantes contribuciones al cálculo, la teoría de números y la probabilidad. Aunque no publicó sus trabajos, dejó muchos problemas sin resolver, incluyendo su famoso último teorema que no fue demostrado completamente hasta 1994. Fermat también descubrió independientemente los principios de la geometría analítica junto con Descartes.
Pierre de Fermat fue un matemático francés del siglo XVII que realizó importantes contribuciones a campos como el cálculo, la teoría de números, y la óptica. Es más conocido por su Último Teorema de Fermat, que afirmaba que no es posible expresar números enteros mayores que el cuadrado como suma de potencias, y que tomó más de 350 años demostrar. Fermat también desarrolló métodos para encontrar máximos y mínimos de curvas, y sentó las bases de la teoría de probabilidad y la teoría
Este documento compara a los matemáticos René Descartes y Pierre de Fermat, quienes vivieron en la primera mitad del siglo XVII. Ambos realizaron importantes contribuciones a las matemáticas, aunque sus enfoques eran diferentes. Descartes creó la geometría analítica y consideraba las matemáticas como un episodio en su carrera filosófica. Fermat hizo contribuciones fundamentales a la teoría de números y mantuvo una estrecha relación con la geometría. A pesar de sus diferencias, ambos ayudaron a
Un soneto es una composición poética compuesta por 14 versos de arte mayor, endecasílabos en su forma clásica.1 Los versos se organizan en cuatro estrofas: dos cuartetos (estrofas de cuatro versos) y dos tercetos (estrofas de tres versos). Aunque la distribución del contenido del soneto no es estricta, puede decirse que el primer cuarteto presenta el tema del soneto, y que el segundo lo amplifica o lo desarrolla. El primer terceto reflexiona sobre la idea central, o expresa algún sentimiento vinculado con el tema de los cuartetos. El terceto final, el más emotivo, remata con una reflexión grave o con un sentimiento profundo, en ambos casos, desatados por los versos anteriores. De esta manera, el soneto clásico presenta una introducción, un desarrollo y una conclusión en el último terceto, que de algún modo da sentido al resto del poema.
De Sicilia, el soneto pasó a la Italia central, donde fue también cultivado por los poetas del dolce stil nuovo: Guido Guinizzelli (1240-1276), Guido Cavalcanti (1259-1300) y Cino da Pistoia, entre otros, quienes emplean ya los dos cuartetos y los dos tercetos, éstos últimos con una estructura variable.
En el siglo xiv fueron muy importantes los sonetos amorosos de Dante Alighieri, dedicados a su amada Beatrice Portinari, y recogidos en su libro Vita nuova. Pero el sonetista más influyente de la centuria fue el poeta aretino Petrarca, en cuyo Cancionero el soneto se revela como la estructura más adecuada para la expresión del sentimiento amoroso.2 A través de la influencia de Petrarca, el soneto se extiende al resto de literaturas europeas.
El documento explica los conceptos de estrofa y poema. Indica que un poema suele tener una estructura fija de versos, rima y sílabas organizada en estrofas. Existen diferentes tipos de estrofas como el soneto, que consta de 14 versos organizados en cuartetos y tercetos. También habla de poemas no estróficos que no siguen este patrón, como los romances. Finalmente, da ejemplos de poemas estróficos como un soneto, y no estróficos como un romance anónimo.
Este documento analiza un soneto de Petrarca dedicado a su amada Laura. Explica que sigue la estructura de un soneto italiano con dos cuartetos y dos tercetos y rima consonante. El tema principal es el amor no correspondido del poeta hacia Laura y sus sentimientos contradictorios de temor, esperanza, calor y frío. El análisis destaca cómo en los primeros ocho versos el poeta expresa su vacilación interna y cómo en el último verso culpa a Laura por su estado emocional.
Adrien-Marie Legendre fue un destacado matemático francés nacido en 1752. Realizó importantes contribuciones en áreas como la geometría, la teoría de números, el álgebra abstracta y el análisis matemático. Escribió la popular obra Elementos de Geometría y desarrolló el método de los mínimos cuadrados. Fue miembro de prestigiosas academias como la Academia de Ciencias de Francia y la Royal Society. Legendre murió en París en 1833 tras una larga carrera dedic
Pedro bellon matematica y literatura (1)manosytijeras
Este documento explora las relaciones entre la literatura y las matemáticas. Explica que la métrica, que se refiere a la estructura rítmica de los poemas, es importante para ambos campos. También describe varios tipos de versos, como los oxítonos, paroxítonos y proparoxítonos, y cómo se resuelven elementos como el hiato y el diptongo. Además, define la estrofa como un grupo de versos unidos por criterios fijos y clasifica diferentes tipos de estrofas y versos.
Comentario de texto Garcilaso de la Vegalafiesperidas
El soneto describe el amor del poeta hacia una mujer, señalando que ella es la responsable de sus sentimientos. A través de juegos verbales y estructuras sintácticas, el poema expresa cómo el amor de ella le da sentido a su vida y alma, y que está destinado a amarla y morir por ella.
Este documento describe los diferentes tipos de estrofas que se pueden encontrar en un poema, clasificándolas por el número de versos que las componen. Explica las estrofas de dos, tres, cuatro, cinco, seis, ocho, diez y catorce versos, dando ejemplos de cada una. La estrofa más conocida es el soneto, formado por dos cuartetos y dos tercetos de catorce versos en total.
PPT con elementos de métrica, parte del manual de Género Lírico que puedes obtener bajándolo.de forma gratuita de mi blog: noraguevaragarcia.blogspot.com
Este documento describe los conceptos básicos de los fractales y su aplicación en la música clásica. Explica que los fractales son objetos matemáticos cuya estructura se repite a diferentes escalas y que presentan autosimilitud. Luego analiza obras musicales clásicas como "Primera Escossaien" de Beethoven y la Suite para cello No.3 de Bach, encontrando en ellas estructuras fractales en la disposición de las notas y duraciones. Finalmente, menciona algunos compositores modernos como Phil Thompson que usan fract
Este documento resume conceptos clave de la métrica y la fonética poética como el nivel fonético-fonológico, la métrica, el ritmo, la rima, las licencias poéticas y las reglas ortográficas. Explica términos como versos de arte menor y mayor, tipos de rima, y figuras métricas como la sinalefa, diéresis, cesura y más. Además, define conceptos de acentuación como oxítono, paroxítono y proparoxítono.
Este documento clasifica y explica los diferentes tipos de versos y estrofas poéticas. Comienza describiendo los versos simples y compuestos según su número de sílabas, y continúa explicando cómo se miden los versos y la rima. Luego detalla los diferentes tipos de estrofas poéticas como el soneto, romance y otras, indicando su estructura métrica y número de versos. En resumen, provee una guía completa sobre la métrica y forma poética tradicional.
Este documento define la lírica como un género literario que expresa sentimientos y emociones a través de la subjetividad humana. Explica las unidades del texto poético como el verso, la estrofa y el poema, y describe los diferentes tipos de versos, rimas, métrica y figuras literarias que se utilizan en la poesía. Finalmente, presenta varios tipos comunes de estrofas y poemas, como el soneto y el romance.
Dante Alighieri (1265-1321) fue un poeta y pensador italiano conocido principalmente por su obra maestra La Divina Comedia. Tuvo un amor platónico por Beatriz Portinari desde los 9 años que inspiró su poesía y vida. Más tarde fue desterrado de Florencia por sus actividades políticas a favor de la unidad italiana, lo que lo llevó a escribir La Divina Comedia donde critica a sus enemigos políticos. La Divina Comedia es considerada una de las mayores obras de la literatura mundial.
Este poema de 14 versos describe las múltiples sensaciones y contradicciones que produce el amor. En los primeros ocho versos, el poeta enumera una serie de adjetivos opuestos que representan cómo el amor puede hacerte sentir alegre o triste, humilde o altivo. En los versos finales, señala que el amor a veces es veneno y causa daño, pero solo aquellos que lo han experimentado saben realmente lo que es. A través de este soneto, Lope de Vega captura la naturaleza compleja y paradój
Este documento resume los conceptos básicos de métrica como la medida de los versos, la rima, y las estrofas. Explica cómo contar las sílabas en un verso teniendo en cuenta si termina en palabra aguda o esdrújula. Define la rima consonante y asonante. Finalmente, presenta algunos tipos comunes de estrofas y concluye analizando la métrica de un fragmento de ocho versos octosílabos con rima consonante.
Este documento describe los conceptos básicos de la métrica poética, incluyendo la medida de los versos por el número de sílabas, los fenómenos métricos como la sinalefa y diéresis, los diferentes tipos de versos como los de arte menor y mayor, la rima asonante y consonante, y las formas comunes de estrofas como el pareado, terceto, cuarteto y soneto. También explica formas de versos sin rima como los versos blancos, libres y el caligrama.
El documento resume los conceptos básicos de la métrica y rima en la poesía. Explica que la poesía se caracteriza por expresar sentimientos de forma subjetiva a través del uso del verso, ritmo y figuras literarias. Define conceptos como el verso, estrofa, métrica, licencias métricas, rima, rima consonante, rima asonante, versos sueltos y versos blancos. Por último, introduce el verso libre como aquel que no sigue normas métricas o rimas fijas.
Pierre de Fermat fue un matemático francés del siglo XVII que hizo importantes contribuciones al cálculo, la teoría de números y la probabilidad. Aunque no publicó sus trabajos, dejó muchos problemas sin resolver, incluyendo su famoso último teorema que no fue demostrado completamente hasta 1994. Fermat también descubrió independientemente los principios de la geometría analítica junto con Descartes.
Pierre de Fermat fue un matemático francés del siglo XVII que realizó importantes contribuciones a campos como el cálculo, la teoría de números, y la óptica. Es más conocido por su Último Teorema de Fermat, que afirmaba que no es posible expresar números enteros mayores que el cuadrado como suma de potencias, y que tomó más de 350 años demostrar. Fermat también desarrolló métodos para encontrar máximos y mínimos de curvas, y sentó las bases de la teoría de probabilidad y la teoría
Este documento compara a los matemáticos René Descartes y Pierre de Fermat, quienes vivieron en la primera mitad del siglo XVII. Ambos realizaron importantes contribuciones a las matemáticas, aunque sus enfoques eran diferentes. Descartes creó la geometría analítica y consideraba las matemáticas como un episodio en su carrera filosófica. Fermat hizo contribuciones fundamentales a la teoría de números y mantuvo una estrecha relación con la geometría. A pesar de sus diferencias, ambos ayudaron a
Pierre Fermat fue un matemático y jurista francés del siglo XVII que hizo importantes contribuciones a las matemáticas, incluyendo el descubrimiento independiente del cálculo y la geometría analítica, el principio fundamental de la teoría de probabilidades y el último teorema de Fermat, que preocupó a los matemáticos durante 350 años hasta ser resuelto en 1995. Trabajó principalmente en soledad y comunicó sus resultados a otros a través de Marin Mersenne.
Pierre de Fermat fue el primer europeo en hacer grandes contribuciones a la teoría de números en el siglo XVII. Trabajó problemas en óptica y probabilidad y creía que la teoría de números estaba descuidada. Euler continuó el trabajo de Fermat y descubrió la conexión entre la función zeta de Riemann y los números primos. Gauss fue un matemático alemán del siglo XVIII que hizo contribuciones significativas a muchos campos incluyendo la teoría de números y es considerado uno de los matemáticos más influy
Pierre Fermat fue un matemático y jurista francés nacido en 1601 que realizó importantes contribuciones a las matemáticas, incluyendo la geometría analítica, el cálculo de probabilidades y el último teorema de Fermat. Compartió con Descartes el honor de ser considerado el fundador de la geometría analítica. Además, desarrolló un método para encontrar máximos y mínimos que anticipó el cálculo diferencial. El último teorema de Fermat, planteado en 1637 pero demostrado solo en 1995, estable
Sophie Germain fue una matemática francesa del siglo XVIII que hizo importantes contribuciones a las matemáticas y la física a pesar de las barreras de género de la época. Demostró teoremas sobre números primos y curvatura de superficies y ganó un premio de la Academia Francesa de Ciencias por su trabajo sobre teoría de la elasticidad. Fue pionera como mujer en asistir a sesiones de la Academia y publicó varios escritos sobre matemáticas y filosofía.
Joseph-Louis de Lagrange fue un destacado matemático francés nacido en Italia en 1736. Estudió en Turín y se convirtió en profesor de matemáticas a los 19 años, destacando por resolver problemas complejos. Más tarde trabajó en Berlín y París, donde hizo contribuciones fundamentales al cálculo variacional y la mecánica analítica. Publicó obras influyentes y enseñó en la École Polytechnique. Fue reconocido como el mayor matemático de su época.
René Descartes fue un filósofo, matemático y físico francés del siglo XVII. Nació en Francia y estudió en un colegio jesuita donde se interesó por las matemáticas. Formuló el principio "pienso, luego existo" y estableció el dualismo entre mente y cuerpo. También hizo contribuciones importantes a las matemáticas como la geometría analítica y al método científico. Pasó la mayor parte de su vida adulta viajando por Europa y estableciendo las bases del pens
François Viète fue un matemático y criptógrafo francés del siglo XVI. Trabajó como abogado y consejero privado para los reyes Enrique III y Enrique IV de Francia. Es conocido por haber introducido el uso de letras para representar cantidades desconocidas en las ecuaciones, sentando las bases del álgebra moderna. También descifró códigos secretos del enemigo y resolvió problemas matemáticos complejos.
1) El documento trata sobre temas de cálculo infinitesimal, teoría de números, y biografías de importantes matemáticos como Newton, Leibniz, Euler y otros. 2) Explica conceptos como el cálculo diferencial, integral, y la historia del desarrollo del cálculo desde la antigua geometría griega hasta los fundamentos sólidos establecidos en el siglo XIX. 3) También resume la teoría de números, la conjetura de Goldbach, y aportes de figuras como Fermat, Gauss y otros a este campo.
Los padres fundadores de la geometría analítica fueron René Descartes y Pierre de Fermat a principios del siglo XVII. Descartes sistematizó la geometría analítica al representar figuras geométricas mediante ecuaciones algebraicas en un sistema de coordenadas, mientras que Fermat también desarrolló independientemente métodos similares de geometría analítica.
Pierre de Fermat fue un matemático y jurista francés del siglo XVII que hizo importantes contribuciones a las matemáticas, incluyendo el descubrimiento independiente del cálculo y la geometría analítica, el principio de los números amigos, y su famoso último teorema de Fermat, que afirmaba que no es posible expresar números enteros mayores que el cuadrado como suma de potencias, y que no fue demostrado completamente hasta 1995.
Pierre de Fermat fue un matemático francés del siglo XVII que hizo importantes contribuciones a la teoría de números y la geometría. Entre sus logros se encuentran el descubrimiento de números amigos, la formulación del último teorema de Fermat y la conjetura de que todos los números de la forma 22n + 1 son primos, aunque más tarde se demostró que esto era falso. Fermat también estudió espirales, teoremas sobre la suma de cuadrados y el pequeño teorema de Fermat.
Este documento presenta el libro "Mahoma y Carlomagno" de Henri Pirenne. El libro explora la relación entre la expansión del Islam en el Mediterráneo y el surgimiento de la Edad Media en Europa Occidental. Argumenta que el Islam aislo a Europa de las rutas comerciales mediterráneas y causo el colapso de la economía romana tardía, dando lugar al surgimiento de nuevas entidades políticas y económicas como el Imperio carolingio.
El documento resume los principales aportes al álgebra realizados en Europa durante la Edad Media, el Renacimiento y el siglo XVII. Se destacan las traducciones de textos árabes en la Edad Media que permitieron el avance del álgebra, así como las contribuciones de matemáticos como Fibonacci, Cardano, Viète y Descartes. En el Renacimiento hubo un fuerte crecimiento del álgebra gracias a la imprenta, mientras que en el siglo XVII los avances se dieron por la intercomunicación entre matemáticos de
Este documento presenta una introducción biográfica a Gottlob Frege, un filósofo y matemático alemán del siglo XIX. Frege nació en 1848 y dedicó su vida a establecer los fundamentos lógicos y filosóficos de la aritmética. Publicó varios trabajos entre 1879 y 1903 con este objetivo. Su primer trabajo, Begriffsschrift, introdujo un nuevo simbolismo lógico que marcó un gran avance en la historia de la lógica. A pesar de que sus escritos tuvieron poca
El documento proporciona información biográfica y las principales aportaciones de varios matemáticos importantes como Gottfried Leibniz, Isaac Newton, Karl Weierstrass, John Wallis, Simon Antoine Jean L'Huillier, Pierre Fermat, Augustin Louis Cauchy y Leonhard Euler. Se destacan sus contribuciones al desarrollo del cálculo infinitesimal, la teoría de números, la probabilidad, la trigonometría y otras ramas de las matemáticas.
Mariano Dámaso Beraún fue un destacado científico peruano nacido en 1813 en Huanuco. Estudió en el Convictorio de San Carlos en Lima y se graduó de doctor en ciencias matemáticas en 1837. Enseñó física y matemáticas y descubrió un nuevo método para dividir un ángulo en tres partes llamado la Trisectriz de Beraún. Publicó numerosos trabajos científicos y ocupó cargos como rector, catedrático y diputado. Falleci
Federico Villarreal fue un destacado matemático, ingeniero, físico y políglota peruano que realizó importantes contribuciones a las matemáticas, la ingeniería y otras ciencias. A los 23 años descubrió el método para elevar polinomios a cualquier potencia. Fue decano de la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos y rector de la misma universidad. Publicó cerca de 600 artículos científicos y fue un importante divulgador de la ciencia en el Perú.
Tales de Mileto fue un filósofo, matemático, astrónomo y político griego del siglo VI a.C. considerado el primer filósofo de la escuela jonia. Se le atribuyen descubrimientos en geometría y astronomía, aunque no se conservan sus escritos. Vivió y murió en la ciudad jonia de Mileto, donde tuvo como discípulo a Anaximandro. Se le considera el iniciador de la filosofía occidental al buscar explicaciones racionales a los fenómenos naturales en lugar de explic
Paolo Ruffini fue un matemático y médico italiano del siglo XVIII. Estudió en la Universidad de Módena y luego se convirtió en profesor allí. En 1799 publicó un libro donde demostró que las ecuaciones de quinto grado no pueden resolverse mediante raíces, anticipándose a su época. Aunque su trabajo fue ignorado inicialmente, hoy se le reconoce como pionero en el uso de la teoría de grupos y la demostración de la irresolubilidad de las ecuaciones de quinto grado.
Bernhard Riemann fue un matemático alemán del siglo XIX que realizó importantes contribuciones al análisis y la geometría diferencial. Formuló la hipótesis de Riemann, un problema sin resolver en teoría de números, e introdujo conceptos como la función zeta de Riemann, la integral de Riemann y la geometría de Riemann. Fue profesor de matemáticas en la Universidad de Göttingen y miembro de varias academias científicas.
Henri Poincaré fue un destacado matemático, físico y filósofo francés nacido en 1854. Realizó importantes contribuciones en diversas áreas como topología, teoría de grupos, mecánica celeste y relatividad. Entre sus logros se encuentran haber establecido el grupo fundamental de un espacio topológico y haber demostrado el carácter caótico del problema de los tres cuerpos, anticipando la teoría del caos. También realizó contribuciones fundamentales a la relatividad especial, como la formul
Pitágoras fue un importante matemático y filósofo griego del siglo VI a.C. que realizó contribuciones fundamentales al desarrollo de las matemáticas. Fundó una escuela en Crotona, Italia donde enseñaba que la realidad subyacente es matemática y que las matemáticas pueden usarse para la purificación espiritual. Se le atribuyen descubrimientos como el teorema de Pitágoras y la existencia de los números irracionales.
Blaise Pascal fue un polímata francés del siglo XVII conocido por sus contribuciones a las matemáticas, la física y la filosofía. Nació en Clermont-Ferrand en 1623 e inventó la primera calculadora mecánica, la Pascalina. También realizó investigaciones pioneras sobre la presión atmosférica y el vacío y desarrolló conceptos matemáticos como el triángulo de Pascal y la teoría de probabilidad. Tras una conversión religiosa en 1654, Pascal se dedicó a
Isaac Newton nació en 1643 en Inglaterra. Se convirtió en un destacado matemático y físico y descubrió las leyes del movimiento y la gravitación universal. Estudió en la Universidad de Cambridge donde fue profesor y desarrolló el cálculo infinitesimal y la óptica. En 1687 publicó sus Principia Mathematica que establecieron los fundamentos de la física moderna. Pasó los últimos años de su vida como director de la Casa de la Moneda en Londres y presidente de la Royal Society.
John von Neumann nació en 1903 en Hungría y murió en 1957 en Estados Unidos. Fue un matemático prodigio que hizo contribuciones fundamentales a las matemáticas, la teoría de juegos, la computación y el desarrollo de la bomba atómica. Von Neumann ayudó a diseñar las primeras computadoras digitales como el ENIAC y el EDVAC, y propuso la arquitectura de von Neumann que es la base de las computadoras modernas. También participó en el Proyecto Manhattan para desarrollar
Nikolái Lobachevski (1792-1856) fue un matemático ruso pionero en el desarrollo de la geometría no euclidiana. Enseñó en la Universidad de Kazán durante más de 30 años y fue rector entre 1827 y 1846. Formuló de manera independiente un sistema de geometría hiperbólica que rechazaba el quinto postulado de Euclides. Sus ideas sobre una geometría alternativa se adelantaron a su época y recibieron inicialmente críticas, pero posteriormente se reconocieron como una contrib
Gottfried Leibniz fue un filósofo, matemático y político alemán del siglo XVII. Realizó importantes contribuciones al cálculo infinitesimal, la lógica y otras áreas. Inicialmente su reputación decayó, pero luego fue reconocido como uno de los pensadores más influyentes de su época. Actualmente se le considera uno de los últimos genios universales y se le otorgan premios en su honor.
Laplace fue un destacado astrónomo, matemático y físico francés que hizo importantes contribuciones a la astronomía y probabilidad. Formuló la hipótesis nebular sobre la formación del sistema solar y demostró la estabilidad del mismo. También sentó las bases de la teoría matemática de probabilidades y fue un firme defensor del determinismo científico. Fue miembro de numerosas academias científicas y ocupó cargos como ministro del Interior de Francia.
Andréi Kolmogórov fue un destacado matemático ruso que realizó importantes contribuciones en teoría de la probabilidad y topología. Estructuró el sistema axiomático de la teoría de la probabilidad utilizando el lenguaje de la teoría de conjuntos. Recibió numerosos premios y honores de academias de ciencias de todo el mundo por su trabajo pionero. Fue miembro de la Academia Rusa de Ciencias y profesor en la Universidad Estatal de Moscú.
Johannes Kepler (1571-1630) fue un astrónomo y matemático alemán conocido por sus tres leyes sobre el movimiento de los planetas. Estudió en la Universidad de Tubinga y trabajó como profesor de matemáticas y astrónomo imperial para Rodolfo II. Descubrió que los planetas se mueven en órbitas elípticas alrededor del Sol, no en círculos, y formuló sus tres leyes fundamentales sobre el movimiento planetario.
Herón de Alejandría fue un matemático y astrónomo del siglo I a.C. que desarrolló fórmulas importantes como la fórmula de Herón para calcular el área de un triángulo a partir de sus lados. También inventó máquinas como la eolipila, un precursor de la turbina de vapor, y desarrolló un método para calcular raíces cuadradas. Escribió varios tratados sobre temas como mecánica, áreas, volúmenes y óptica.
Carl Friedrich Gauss fue un matemático alemán nacido en 1777 que murió en 1855. Se le considera uno de los tres genios de las matemáticas junto con Arquímedes y Newton. Mostró signos de genio desde muy temprana edad y realizó importantes contribuciones en diversas áreas matemáticas como teoría de números, geometría, análisis y astronomía. Trabajó como profesor de matemáticas en la Universidad de Göttingen y dirigió el observatorio de la universidad, donde realizó important
Joseph Fourier fue un matemático y físico francés conocido por su trabajo pionero con las series de Fourier y la transformada de Fourier. Desarrolló métodos para resolver la ecuación del calor usando series trigonométricas y propuso la existencia del efecto invernadero. Tuvo una destacada carrera académica en la Escuela Politécnica y la Academia de Ciencias de Francia.
Leonardo Fibonacci fue un matemático italiano del siglo XIII que ayudó a introducir el sistema de numeración decimal indo-arábigo en Europa a través de su libro Liber Abaci. Este libro también presentó la secuencia de Fibonacci, donde cada número es la suma de los dos números anteriores, lo que resultó en aplicaciones fructíferas en matemáticas. Aunque Fibonacci hizo contribuciones significativas a través de varios libros, su influencia fue más limitada de lo esperado y sus logros en teoría de números fueron ampliamente ignor
Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinaria). UCLMJuan Martín Martín
Examen de Selectividad de la EvAU de Geografía de junio de 2023 en Castilla La Mancha. UCLM . (Convocatoria ordinaria)
Más información en el Blog de Geografía de Juan Martín Martín
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Este documento presenta un examen de geografía para el Acceso a la universidad (EVAU). Consta de cuatro secciones. La primera sección ofrece tres ejercicios prácticos sobre paisajes, mapas o hábitats. La segunda sección contiene preguntas teóricas sobre unidades de relieve, transporte o demografía. La tercera sección pide definir conceptos geográficos. La cuarta sección implica identificar elementos geográficos en un mapa. El examen evalúa conocimientos fundamentales de geografía.
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1. Pierre de Fermat
Matemático (1601 Beaumont, 1665 Castres, Francia)
Pierre de Fermat nació el 17 de agosto de 1601, Beaumont-de-Lomagne (Tarn et Garonne)
y murió el 12 de enero de 1665, Castres (Tarn). Aunque sus contribuciones matemáticas
nunca fueron publicadas en vida, fueron de tal calidad que la relativamente modesta
difusión que tuvieron entre la comunidad científica europea fue suficiente como para que se
le recuerde como uno de los mejores matemáticos del siglo diecisiete entre los muchos de
primera fila que fueron contemporáneos: Descartes, Leibniz, Newton, Jacobo y Juan
Bernoulli, etc.
En el diecisiete la matemática se empezó a consolidar como una ciencia independiente, más
o menos en las líneas que hoy la conocemos. Fermat contribuyó decisivamente a ello.
Además del álgebra, la geometría analítica y el cálculo, otras ramas de la matemática
empezaron a cultivarse en ese siglo: por ejemplo, la teoría de números moderna y el cálculo
de probabilidades. En esas dos ramas, Fermat tuvo algo que decir. En teoría de números,
mucho. Hay quien le considera el padre de la teoría de números moderna. En ese terreno, su
famoso Último Teorema le ha dado fama universal. Aunque, sus contribuciones al álgebra,
a la geometría y al cálculo hubieran bastado para el mismo reconocimiento.
Fermat nació cerca de Toulouse, en un pueblo llamado Beaumont-de-Lomagne (entonces
parte de la Gascoña y hoy en el departamento de Tarn et Garonne). Vivió en Toulouse y
murió también muy cerca, en Castres (Tarn). Durante toda su vida casi no se movió de la
región. Su familia tenía una buena posición económica y social. Su padre era un rico
comerciante y su madre pertenecía a una familia de la nobleza local. Tuvo un hermano y
dos hermanas. Fermat, probablemente, se crió en su pueblo natal y fue educado en un
cercano monasterio franciscano hasta que ingresó en la Universidad de Toulouse.
Interrumpió sus estudios en Toulouse y, durante unos años, vivió en Burdeos, donde
contactó con algunos matemáticos que conocían bien la herencia de Vieta: Beaugrand,
2. d’Espagnet… Ahí se formó en el álgebra y el simbolismo de Vieta que tan útiles le serían
más adelante. De esos años data su primera producción matemática: la restitución del libro
perdido de las Cónicas de Apolonio: Plane Loci y los primeros trabajos sobre máximos y
mínimos.
Después de la etapa en Burdeos reingresó en la universidad, esta vez en Orléans, donde
obtuvo su título en Leyes hacia 1631, año en que se instala en Toulouse en calidad de
consejero del Parlamento de Toulouse. Ese mismo año se casa con una prima lejana, Louise
de Long, que pertenece a la familia de alcurnia de su madre ligada a la noblesse de robe.
Fermat añade el “de” a su apellido. El matrimonio Fermat tuvo cinco hijos, dos varones y
tres hembras. El hijo mayor, Clément-Samuel heredaría el interés de su progenitor por las
matemáticas, aunque no su genialidad. A Clément-Samuel le debemos la edición y
publicación de las obras completas de su padre en 1679.
La vida de Fermat transcurre de una manera muy tranquila en Toulouse; profesionalmente
va obteniendo promociones de manera que ingresa en la cámara alta del parlamento de
Toulouse en 1638 y accede a la corte suprema en 1652. En esa época va regularmente a
Castres a ejercer de magistrado. Castres, en el siglo XVII albergó uno de los tribunales
establecidos por el Edicto de Nantes para dar un tratamiento justo a los hugonotes en sus
litigios. Estos tribunales tenían un determinado número de magistrados católicos y
protestantes. Fermat ocupó en diversas ocasiones una plaza del cupo católico. De hecho
murió en Castres pocos días después de terminar de juzgar un caso.
En Toulouse reanudó sus contactos con personajes ligados a la matemática. Uno de los más
relevantes para el futuro de Fermat fue Monsieur de Carcavi, colega suyo en el parlamento
pero también matemático aficionado. Carcavi se trasladó a Paris en 1636 donde contactó
con el Padre Mersenne, el personaje que, mediante su abundante correspondencia haría las
veces de centro difusor de la ciencia en la Francia del XVII. Mersenne se interesó
inmediatamente en los trabajos de Fermat gracias a la descripción que le hizo Carcavi de
estos y empezó a cartearse con él. Inicialmente el interés de Mersenne se centró en algunos
comentarios de Fermat sobre la caída libre de graves, tema en el que Fermat objetaba a la
descripción de Galileo.
Fermat informó a Mersenne sobre su trabajo sobre espirales y sobre su restitución del libro
perdido de Apolonio. También en esa época Fermat anuncia a Mersenne que está en
posesión de “diversos análisis para diversos problemas tanto numéricos como geométricos
para cuya solución el análisis de Vieta es insuficiente.” De hecho, a principios de 1636
Fermat había concluido su Ad locos planos et solidos isagoge (Introducción a los lugares
planos y sólidos), donde mediante el lenguaje algebraico de Vieta estudia las curvas que se
pueden expresar mediante ecuaciones de primero y segundo grado y establece que son
precisamente la recta y las cónicas. También establece que, en general, una curva tiene una
ecuación y que una ecuación algebraica representa siempre una curva. Por esa razón se
atribuye a Fermat una cierta prioridad sobre la creación de la Geometría Analítica frente a
Descartes que publicó su Geometria en 1637. En el mismo cruce de cartas con Mersenne,
Fermat no puede resistir la tentación de incluir un par de problemas sobre máximos y
mínimos para que Mersenne los divulgue a modo de desafío entre la comunidad
matemática.
Fermat dispone de su Methodus ad disquirendam maximam et minimam et de tangentibus
linearum curvarum (Método para determinar máximos y mínimos y trazar tangentes a
líneas curvas), que le permite resolver este tipos de problemas de manera muy general. Su
enfoque se basa en dos hechos: 1) en un máximo o mínimo la tangente a la curva es
3. paralela al eje de abscisas (en lenguaje actual) y en consecuencia el valor de la función en
ese punto ha de ser único (con relación a sus vecinos). 2) los valores cercanos al extremo
han de ser alcanzados como mínimo dos veces por la función, un poco antes del extremo y
un poco después. Comparando pues el valor de la función en el extremo, f(a), con un valor
muy cercano, f(a+e), donde e es una cantidad muy pequeña, esos valores han de ser
prácticamente iguales, se pueden adigualar, en lenguaje de Fermat. De ese proceso de
adigualación se obtiene una ecuación que, una vez eliminado el valor e por ser
despreciable, permite calcular a.
De hecho Fermat llega a la ecuación que hoy en día escribimos como f’(x)=0. Por eso se le
considera también precursor del cálculo diferencial aunque su proceso de adigualación está
lejos de las ideas de límite que más tarde entraran en escena. Obviamente Fermat solo trata
este tipo de problemas en funciones algebraicas. Los problemas de máximos y mínimos que
Fermat ha planteado a Mersenne son de tal dificultad que Mersenne pide a Fermat la
divulgación de sus métodos. De esta manera los escritos de Fermat sobre el tema, antes
mencionados, empiezan a circular estableciendo al mismo tiempo su reputación como
matemático de primera fila.
Roberval, Mersenne y otros matemáticos de la época le instan a que publique sus
resultados, a lo cual Fermat se niega. De hecho, en vida sólo publicó un trabajo y hubo que
esperar a 1679 a que su hijo mayor publicase su obra. No está clara la razón de la negativa
de Fermat a publicar. Por un lado Fermat se consideraba sólo un aficionado dado que no se
dedicaba por entero a la matemática. Y por otro lado, Fermat era consciente de que para
publicar sus resultados, debería ser mucho más claro y didáctico en sus explicaciones, lo
que le acarrearía mucho trabajo adicional y consumiría una parte importante del tiempo que
podía dedicar a la investigación.
Aunque su fama crece en Europa, no todo es de color de rosa. A principios de 1637, su
amigo Beaugrand le manda una copia del manuscrito (aún no publicado) de la Dióptrica de
Descartes. Fermat, enfrascado en una intensa correspondencia con Roberval y Étienne
Pascal sobre métodos de cuadratura y su aplicación a la determinación de centros de
gravedad, le presta poca atención hasta que Mersenne, preocupado por la indiscreción de
Beaugrand (quien había obtenido la copia de manera poco ortodoxa), le pide que no
divulgue a nadie más que a él mismo sus comentarios sobre el trabajo de Descartes.
Fermat contesta a Mersenne de una manera bastante ingenua (no conocía a Descartes ni
sabía nada del Discurso del Método ni del mal carácter del filósofo) señalando errores en la
deducción de la ley de la reflexión y de la refracción y calificando la obra en general como
un simple intento de hallar la verdad “a tientas entre las tinieblas”. Se ofrece incluso para
echar una mano en la clarificación de algunos problemas. Mersenne, consciente de la
delicada situación, guardó la carta de Fermat durante unos meses hasta que, ante la
insistencia de Descartes para que le comunicase cualquier crítica a la Dióptrica, se la
mandó.
La reacción de Descartes a la crítica de Fermat fue, al principio paternalista. Fermat no
había entendido sus métodos. Mientras tanto, Fermat había obtenido una copia de la
Geometria y se apresuró a mandar a Mersenne sus trabajos sobre el tema, para demostrar al
menos la independencia de sus descubrimientos. Mersenne, mostrando nuevamente poco
tacto, le envía esos trabajos a Descartes quien enfurece y emprende un ataque sin cuartel
contra el “aficionado de Toulouse.” La controversia se extiende al método de trazado de
tangentes y el método para hallar máximos y mínimos. Después de un sinfín de cartas
(aderezadas con el poco tacto de Mersenne) Descartes termina por retar a Fermat a usar su
4. método para trazar las tangentes a una curva de su invención, el folio, con una ecuación
implícita de tercer grado, x^3 +y^3 =pxy.
La respuesta de Fermat con el cálculo de las tangentes al folio obliga a Descartes a admitir
que el método de Fermat es superior al suyo y, a regañadientes, le reconoce una cierta talla
intelectual aunque le sigue atacando en privado. La irritación que Fermat producía en
Descartes queda muy bien reflejada en una frase de este último: “Fermat es gascón. Yo no.”
Durante los últimos años de la década de los 30 y los primeros de la década de los 40,
Fermat sigue trabajando en su método de máximos y mínimos aplicándolo a varios
problemas diferentes y también intenta generalizar, sin mucho éxito, su geometría analítica
a tres dimensiones. Su Isagoge ad locos ad superficiem de 1643, recoge sus ideas al
respecto. Del mismo año, 1643, data su famosa carta a Brûlart, donde Fermat resumiría de
manera bastante clara su método para determinar máximos y mínimos y su cálculo de
tangentes.
La década 1645-1655 fue una década dura para Francia, sacudida por la guerra civil y por
una epidemia de plaga que en 1651 estuvo a punto de costar la vida a Fermat. De hecho
Fermat fue dado por muerto por algunos de sus colegas. En ese período, Fermat produce
poco y mantiene poca correspondencia. No es hasta 1655 que Fermat recupera el ritmo de
trabajo. De finales de los años 50 datan algunos de los trabajos más importantes de Fermat,
en parte recopilaciones de trabajos anteriores, en parte nuevas ideas. De esa época son su
Tratado de cuadraturas y su Tratado sobre rectificación de curvas y su famosa demostración
de la ley de refracción basada en su principio del tiempo mínimo, expresado como una ley
natural: “la naturaleza siempre actúa por el camino más corto”.
Pero el tema que ha de dar a Fermat fama universal es la teoría de números. Su interés por
los números enteros y sus maravillosas propiedades había empezado en la década de los
1630 cuando Fermat leyó la traducción de Bachet de la Aritmética de Diofanto. En el
estrecho margen justo al lado del problema 8 del libro II: “Dado un número que sea un
cuadrado, descomponerlo como suma de otros dos números cuadrados”, Fermat escribió su
famosa conjetura: la ecuación x^n +y^n =z^n no tiene soluciones enteras positivas para
n>2. En sus propias palabras: Es imposible que un cubo se pueda expresar como una suma
de dos cubos o que una potencia cuarta se escriba como una suma de potencias cuartas o, en
general, que un número que sea una potencia de grado mayor que dos se pueda
descomponer como suma de dos potencias del mismo grado. He encontrado una
demostración verdaderamente maravillosa de este resultado pero este margen es demasiado
estrecho para contenerla.
La creencia actual es que Fermat había demostrado el teorema para n=4 (y quizás también
para n=3) y creía que podía generalizar su demostración para cualquier valor de n. La
demostración del caso n=4 utilizaba otro gran descubrimiento de Fermat, el método de
descenso infinito. Esencialmente el método consiste en demostrar la imposibilidad de una
proposición que depende de un entero positivo n, probando que si hubiese algún valor
estrictamente positivo que hiciese verdadera la proposición, existiría otro valor también
estrictamente positivo que la haría verdadera pero estrictamente inferior al anterior.
El Gran Teorema de Fermat, para el caso n=3, fue demostrado 100 años más tarde por
Euler, también con la ayuda del método del descenso infinito. El siglo XIX vio la
demostración de algunos casos particulares más a cargo de grandes matemáticos como
Lejeune-Dirichlet, Legendre, Lamé y Sophie Germain. No sabremos nunca si Fermat
realmente disponía de una demostración maravillosa para cualquier valor de n. Pero en
5. cualquier caso, el reto de demostrar el Gran Teorema de Fermat había empezado con
aquella nota garabateada en el margen de un libro.
La aventura terminaría 350 años más tarde cuando, en 1994, Andrew Wiles publicó la
demostración del Gran Teorema de Fermat. Por el camino habían pasado una legión de
matemáticos de todas las categorías y especialidades (sería difícil hallar un matemático que
en algún momento de su vida no haya dado alguna vuelta al teorema). Los intentos de
demostración aportarían también grandes contribuciones a las matemáticas (la teoría de
ideales de Kummer por citar sólo un ejemplo).
Antes de la demostración de Wiles, Gerd Faltings había conseguido (en 1983) un resultado
que acotaba totalmente las soluciones de la ecuación de Fermat. Faltings demostró que para
cada valor de n, la ecuación x^n +y^n =z^n tiene, a lo sumo, un número finito de soluciones
enteras. De hecho Faltings demostró que lo que se conocía como la Conjetura de Mordell
sobre curvas algebraicas implicaba el Gran Teorema de Fermat.
La demostración de Wiles, sin embargo, no sigue el camino que había iniciado Faltings
sino que da una enorme vuelta. Se basa en la conjetura Taniyama-Shimura. De hecho Wiles
se limita a demostrar esta conjetura, que relaciona de manera espectacular dos campos de
las matemáticas completamente alejados el uno del otro: la teoría de formas modulares y las
curvas elípticas.
El enorme interés de Fermat por los números enteros era una novedad en la Europa del
siglo XVII. Nadie tenía demasiado interés en perder el tiempo explorando propiedades de
números enteros que no tenían ninguna aplicación directa. Sólo un par de problemas
clásicos atraían la atención de los matemáticos de la época: el estudio de números
perfectos, aquellos que son iguales a la suma de sus divisores, exceptuando ellos mismos, y
la caracterización de las ternas pitagóricas, tripletes de números enteros (x,y,z) que
satisfacen el teorema de Pitágoras x^2 +y^2 = z^2.
Como consecuencia del interés de Fermat en el primero de esos problemas, Fermat
descubrió el que se conoce hoy en día como el Pequeño Teorema de Fermat, una verdadera
joya en teoría de números. En términos modernos dice que si p es un número primo y a es
primo con p, entonces a^p=a (mod p).
No deja de ser paradójico que Fermat sea recordado por su Gran Teorema, en gran parte
estéril porque ningún resultado importante se deduce de él, y no por su Pequeño Teorema
que es crucial en álgebra y en la teoría de números moderna y sus aplicaciones, como es por
ejemplo, la moderna criptografía, base de la seguridad de las transmisiones en Internet.
El segundo problema, la caracterización de las ternas pitagóricas, conduce a Fermat a su
interés por las descomposiciones de potencias y problemas como la descomposición de los
primos de la forma 4n+1 como suma de dos cuadrados (de manera única), la
descomposición de un entero positivo como suma de cuatro cuadrados y la resolución de
diferentes ecuaciones diofánticas de segundo grado.
La más famosa es la ecuación diofántica conocida como ecuación de Pell o ecuación de
Pell-Fermat. Se trata de la ecuación x^2 -Ny^2 = 1, donde N no es un cuadrado perfecto.
Excluyendo la solución trivial (1,0), Fermat conjeturó la existencia de infinitas soluciones
enteras positivas para cualquier valor de N (no cuadrado perfecto) y retó a los matemáticos
europeos a demostrarlo. El problema fue parcialmente solucionado por Wallis y Brouncker
mediante el desarrollo en fracción continua de N. Sería completamente solucionado por
Lagrange en 1771.
6. Quizás la más famosa ecuación de Pell-Fermat es x^2-4729494y^2=1, que se deduce para
resolver el célebre problema del ganado de Arquímedes que sería resuelta mucho después,
en 1880, por Amthor, ya que en más pequeña solución tiene 41 dígitos decimales.
Fermat es famoso también por los números primos que llevan su nombre, los de la forma
2^2^n +1. Los primeros números de esta forma: 3, 5, 17, 257, 655537, son primos. El
siguiente es ya un número respetable, 4 294 967 297 y no es fácil, usando sólo lápiz y
papel, averiguar si es primo o no. De hecho, Fermat no tuvo suficiente paciencia para
comprobarlo. Si la hubiera tenido hubiese obtenido (como más tarde hizo Euler) que
4294967297= 641 • 6700417. Sin embargo tuvo la osadía de conjeturar que todos los
números de la forma 2^2^n +1 eran primos.
Esta conjetura le tuvo en jaque toda su vida, ya que en varias ocasiones se lamentó de no
haber podido obtener su demostración. Vale la pena comentar que no se han hallado otros
primos de Fermat además de los cinco primeros y aún no se ha demostrado que existan
más.
Los últimos años de Fermat aún ven la luz de otra contribución importante: el cálculo de
probabilidades. El joven Blaise Pascal, hijo de Étienne con quien Fermat había
correspondido a través de Mersenne, le propone a Fermat un problema sobre la repartición
justa de las apuestas si una serie de partidas se interrumpen antes de llegar al final
acordado. Concretamente, ¿cómo hay que repartir una apuesta de 64 monedas para el
primero de dos jugadores que gane 3 partidas si el juego se interrumpe antes de que nadie
haya ganado? (Se supone que ambos jugadores tienen, en cada partida, las mismas
oportunidades de ganar). Pascal y Fermat intercambian una serie de cartas sobre el tema
que puede considerarse como el inicio del moderno cálculo de probabilidades. Los dos
llegan al mismo resultado por caminos diferentes: Pascal intuye el resultado mediante una
recurrencia, pero se ve obligado a utilizar el cálculo combinatorio y el uso de su Triángulo
Aritmético (Triángulo de Pascal) para demostrarlo mientras que Fermat usa directamente el
cálculo combinatorio.
Hacia 1660, la salud de Fermat empieza a flaquear. Por motivos de salud, tiene que
posponer un encuentro con Blaise Pascal quien también se encuentra enfermo (de hecho
muere dos años más tarde). Su actividad matemática decae casi completamente y en enero
de 1665 muere en la ciudad de Castres donde pocos días antes había asistido a la sesión del
tribunal del Edicto.
Eric T. Bell, en sus famosas biografías de matemáticos Men of Mathematics, Simon and
Schuster, Nueva York,1965 (edición de 1937), calificó a Fermat como el "Príncipe de los
amateurs". Y aunque es cierto que las matemáticas para Fermat fueron solamente una
afición, también es cierto que sus contribuciones fueron de primera categoría y dignas del
mejor profesional. Su reticencia a publicar y a explicarse mejor hicieron que muchas de sus
contribuciones fueran poco comprendidas y que algunas pasasen incluso desapercibidas
pero hay que reconocer que, al menos en el campo de la teoría de números, creó problemas
nuevos y creó instrumentos nuevos para abordarlos. Este fue su principal legado para la
posteridad.