El documento resume los pasos para resolver un sistema de ecuaciones lineales y determinar para qué valores de λ tiene el sistema una única solución, no tiene solución, o tiene infinitas soluciones. Se determina que el sistema tiene una única solución para cualquier valor de λ excepto -2, 2 y 3, no tiene solución para λ = -2 y λ = 3, y tiene infinitas soluciones para λ = 2.

1. ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
ÁLGEBRA LINEAL
SOLUCIÓN
DE UN SISTEMA DE ECUACIONES

2. Dado el siguiente sistema hallar los valores de ƛ para los cuales:
El sistema tiene única solución
El sistema no tiene solución
El sistema tiene infinitas soluciones
(ƛ-1) 𝑥 + 𝑦 + 𝑧=1
2𝑥 + ƛ − 1 y + 2z = 2ƛ − 3
𝑥 + 2𝑦 + ƛ − 1 z = ƛ
Matriz ampliada:
ƛ − 1 1 1
2 ƛ − 1 2
1 2 ƛ − 1
1
2ƛ − 3
ƛ
Cálculo del determinante:
𝑨 =
ƛ − 1 1 1
2 ƛ − 1 2
1 2 ƛ − 1
𝑓1 = 𝑓1 + 𝑓2 + 𝑓3
ƛ + 2 ƛ + 2 ƛ + 2
2 ƛ − 1 2
1 2 ƛ − 1
𝑐2 = 𝑐2 − 𝑐1
ƛ + 2 0 ƛ + 2
2 ƛ − 3 2
1 1 ƛ − 1

3. 𝑐3 = 𝑐3 − 𝑐1
ƛ + 𝟐 0 0
2 ƛ − 𝟑 0
1 1 ƛ − 𝟐
𝐴 = ƛ + 2 ƛ − 3 (ƛ − 2)
Valores de ƛ:
ƛ =-2
ƛ = 3
ƛ = 2
∃! Solución ∀ ƛ ∈ ℝ {-2, 2,3}

4. Para ƛ = −𝟐
~
−3 1 1
2 −3 2
1 2 −3
1
−7
−2
f3 ↔ f1
1 2 −3
2 −3 2
3 1 −3
−2
−7
1
~
𝐟 𝟐 = 𝐟 𝟐 − 𝟐 𝐟 𝟏
𝐟 𝟑= 𝐟 𝟑 + 𝟑𝐟 𝟏
1 2 −3
0 −7 8
0 7 −8
−2
−3
−5
~
𝐟 𝟏 ↔ 𝐟 𝟐
1 2 −3
0 −7 8
0 0 0
−2
−3
−8
̴ ∃ Sol
Para ƛ = 𝟐
𝟏 𝟏 𝟏
𝟐 𝟏 𝟐
𝟏 𝟐 𝟏
𝟏
𝟏
𝟐
~
𝐟 𝟐 = 𝐟 𝟐 − 𝟐 𝐟 𝟏
𝐟 𝟑= 𝐟 𝟑 − 𝐟 𝟏
𝟏 𝟏 𝟏
𝟎 −𝟏 𝟎
𝟎 𝟏 𝟎
𝟏
−𝟏
𝟏
~
𝐟 𝟐 = 𝐟 𝟐 + 𝒇 𝟑
𝟏 𝟏 𝟏
𝟎 −𝟏 𝟎
𝟎 𝟎 𝟎
𝟏
−𝟏
𝟎
∃∞ Sol

5. Para ƛ = 𝟑
2 1 1
2 2 2
1 2 2
1
3
3
~
𝐟 𝟑 ↔ 𝐟 𝟏
1 2 2
2 2 2
2 1 1
3
3
1
~
𝐟 𝟐 = 𝐟 𝟐 − 𝟐 𝐟 𝟏
𝐟 𝟑= 𝐟 𝟑 − 𝟐𝐟 𝟏
1 2 2
0 −2 −2
0 −3 −3
−3
−3
−5
~
𝐟 𝟑↔ 𝐟 𝟑 − 𝟑
𝒇𝟐
𝟐
1 2 2
0 −2 −2
0 0 0
3
−3
−
1
2
̴∃ Sol
SOL:
∃! Solución ∀ ƛ ∈ ℝ {-2, 2,3}
̴∃ Sol cuando ƛ = −𝟐 𝞶 ƛ = 𝟑
∃∞ Sol cuando ƛ = 𝟐