Este documento trata sobre la flexión en vigas. Explica conceptos clave como flexión, vigas, apoyos, tipos de vigas (simple y saliente), fuerzas cortantes y momentos flexionantes. También describe cómo calcular las reacciones en los apoyos y cómo trazar diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para analizar el comportamiento de una viga bajo carga.
Viga simplemente apoyada, viga en voladizo, solicitaciones del tipo: carga puntual, carga uniformemente distribuida, distribuida triangularmente. Reacciones en apoyos. Diagrama de fuerzas cortantes. Diagramas de momentos flexionantes. Flexión. Esfuerzo normal de flexión. Esfuerzo cortante horizontal. módulo de la sección. Momento de Inercia
Las vigas son elementos estructurales muy usados en las construcciones para soportar cargas o darle estabilidad a las mismas; para diseñarlas es necesario conocer las fuerzas perpendiculares a los ejes x , y que se ejercen a lo largo de su longitud.
Se aplica el método de doble integración usando funciones de singularidad y el método de superposición para realizar el análsiis de deformaciones en vigas. Se resuelven vigas estáticaticamente por medio de estos métodos
Complemento Teórico de la Guía de Trabajos Prácticos. El presente trabajo es un sumario de conceptos teóricos de la materia Estabilidad IIb (64.12) correspondiente a las carreras de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica.
The double integration method produces equations for the slope and allows direct determination of the point of maximum deflection . Therefore it is a geometric method. It is the most general method for determining deflections. It can be used to solve almost any combination of load and support conditions in beams.
Los elementos estructurales sujetos a flexión, son principalmente las vigas y losas. La flexión puede presentarse acompañada de fuerza cortante. Sin embargo, la resistencia a flexión puede estimarse despreciando el efecto de la fuerza cortante.
Para el diseño de secciones a flexión, se usa el Estado Límite de Agotamiento Resistente, donde la resistencia de agotamiento se minora multiplicando por un factor correspondiente; Comparando luego con la demanda o carga real modificada por los factores de mayoración. La norma usada es la COVENIN 1753.
Viga simplemente apoyada, viga en voladizo, solicitaciones del tipo: carga puntual, carga uniformemente distribuida, distribuida triangularmente. Reacciones en apoyos. Diagrama de fuerzas cortantes. Diagramas de momentos flexionantes. Flexión. Esfuerzo normal de flexión. Esfuerzo cortante horizontal. módulo de la sección. Momento de Inercia
Las vigas son elementos estructurales muy usados en las construcciones para soportar cargas o darle estabilidad a las mismas; para diseñarlas es necesario conocer las fuerzas perpendiculares a los ejes x , y que se ejercen a lo largo de su longitud.
Se aplica el método de doble integración usando funciones de singularidad y el método de superposición para realizar el análsiis de deformaciones en vigas. Se resuelven vigas estáticaticamente por medio de estos métodos
Complemento Teórico de la Guía de Trabajos Prácticos. El presente trabajo es un sumario de conceptos teóricos de la materia Estabilidad IIb (64.12) correspondiente a las carreras de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica.
The double integration method produces equations for the slope and allows direct determination of the point of maximum deflection . Therefore it is a geometric method. It is the most general method for determining deflections. It can be used to solve almost any combination of load and support conditions in beams.
Los elementos estructurales sujetos a flexión, son principalmente las vigas y losas. La flexión puede presentarse acompañada de fuerza cortante. Sin embargo, la resistencia a flexión puede estimarse despreciando el efecto de la fuerza cortante.
Para el diseño de secciones a flexión, se usa el Estado Límite de Agotamiento Resistente, donde la resistencia de agotamiento se minora multiplicando por un factor correspondiente; Comparando luego con la demanda o carga real modificada por los factores de mayoración. La norma usada es la COVENIN 1753.
Tipos de Vigas, Cargas Aplicadas y Apoyos con sus respectivas reacciones; Fuerzas Cortantes y Momentos Flexionantes; Ecuación Diferencial de Deflexión en Vigas; Método de Doble Integración; y Método de Trabajo Virtual. Los criterios a evaluar son:
Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3.pdfsandradianelly
Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestr
Las capacidades sociomotrices son las que hacen posible que el individuo se pueda desenvolver socialmente de acuerdo a la actuación motriz propias de cada edad evolutiva del individuo; Martha Castañer las clasifica en: Interacción y comunicación, introyección, emoción y expresión, creatividad e imaginación.
1. Universidad Técnica de Cotopaxi.
.
1
ESTADO DE CARGA EN FLEXIÓN PURA
Ricardo Ignacio Casa Casa
e-mail:casacasaricardo.ad7@gmail.com
Marco David Puentestar Caiza
e-mail: puentestarcaizamarco@gmail.com
Jonathan Rodrigo Rodríguez Chicaiza
e-mail: jonathanbrodriguez182@gmail.com
RESUMEN: En el presente trabajo se ha realizado
una investigación sobre la flexión en vigas, mediante la
consulta y análisis en diferentes fuentes bibliográficas,
ya sean estas virtuales o impresas, logrando entender
los fenómenos principales que se presentan en vigas a
causa de la flexión, la cual es un aspecto de suma
importancia en ingeniería.
PALABRAS CLAVE: flexión, fuerzas cortantes,
momentos cortantes, viga.
1 INTRODUCCIÓN
La presente investigación trata sobre la flexión en
vigas simples y salientes aplicando cargas centradas
normales con apoyos simples, sus principales
características y la forma correcta de realizar los
cálculos en vigas cuando se les aplica una carga
perpendicular a su eje mayor.
La flexión en vigas es de suma importancia ya que
se encuentra en varias actividades que las personas
realizan. Por ejemplo:
Cuando un jugador de basquetbol clava el balón y
se cuelga en el aro, ciertamente ocurre la flexión hacia
abajo. Al aro tiene que ser suficientemente resistente y
rígido para soportar la carga sin que se rompa o
deflexione permanentemente.
Ciertas clases ejes de camiones, remolques son
vigas que soportan las cargas del vehículo.
Los costados de escaleras, llamados zancas,
actúan como vigas pues soportan el peso de una
persona cuando sube los escalones.
También la tenemos presente el trampolín de una
piscina, ya que el trampolín es una viga que debe
flexionarse lo necesario, al tiempo que mantiene su
resistencia para miles de clavados.
La flexión también está presente en la construcción
de edificios ya que las cargas que se generan sobre las
vigas de cada piso crean la deflexión de las vigas por lo
cual se debe de tomar muy en cuenta para la seguridad
y construcción de estructuras.
2 FLEXIÓN EN VIGAS.
2.1 FLEXIÓN.
En ingeniería se denomina flexión al tipo de
deformación que presenta un elemento estructural
alargado en una dirección perpendicular a su eje
longitudinal.
El término "alargado" se aplica cuando una
dimensión es dominante frente a las otras. Un caso
típico son las vigas, las que están diseñadas para
trabajar, principalmente, por flexión.
En la figura 1 se puede observar el proceso de
flexión en una viga.
Figura 1. Viga sometida a flexión. Tomado de:
lim.ii.udc.es
2.2 VIGA.
Una viga es un miembro que soporta cargas
transversales, es decir perpendiculares a su eje largo.
Una carga concentrada normal es una que actúa
perpendicular (normal) al eje mayor de la viga en solo un
punto o a lo largo de un segmento muy pequeño de la
viga.
En la figura 2, se puede observar la representación
esquemática de una viga con cargas concentradas
normales.
2. Universidad Técnica de Cotopaxi.
.
2
Figura 2. Viga con cargas centradas normales.
Tomado de: Mott L. Robert “Resistencia de materiales”
2.3 APOYOS.
Todas las vigas deben estar apoyadas de una
manera estable para que se mantengan en equilibrio.
Todas las cargas y momentos externos deben ser
resistidos por uno o más apoyos.
Apoyo simple o de rodillo: un apoyo simple es uno
que puede resistir solo fuerzas que actúan
perpendiculares a la viga.
Apoyo fijo: un apoyo fijo es aquel que se mantiene
firmemente sujeto, de tal modo que resiste fuerzas en
cualquier dirección.
2.4 VIGA SIMPLE.
Una viga simple es una que soporta solo cargas que
actúan perpendiculares a su eje con sus extremos
apoyados en apoyos simples que actúan
perpendiculares al eje. En la Fig. 3, se puede apreciar
una viga simple con apoyos de rodillo.
Figura 3. Viga simple.Tomado de:es.wikipedia.org
2.5 VIGA SALIENTE.
Una viga saliente es aquella en la que la viga
cargada sobresale por encima de los apoyos. En la
Figura. 4, se puede observar el diagrama esquemático
de una viga saliente.
Figura 4. Viga saliente. Tomado de Mott L. Robert
“Resistencia de materiales”
2.6 REACCIONES EN LOS APOYOS.
Es muy importante ser capaz de construir
diagramas de cuerpo libre a partir de la imagen física o
descripción de la viga cargada. Tras construir el
diagrama de cuerpo libre,es preciso calcular la magnitud
de todas las reacciones en los apoyos.
Los pasos que se debe seguir para determinar los
apoyos son los siguientes:
Trazar el diagrama de cuerpo libre.
Utilizar la ecuación de equilibrio sumando los
momentos con respecto al punto de aplicación
de una relación de apoyo.
Usar la ecuación de equilibrio sumando los
momentos con respecto al punto de aplicación
de la segunda reacción para determinar la
primera.
Usar sumatoria de fuerzas para comprobar la
exactitud de los cálculos.
3 FUERZAS CORTANTES Y
MOMENTOS FLEXIONANTES EN
VIGAS.
Al momento de aplicar una carga a una viga se
producen dos fenómenos los cuales no son visibles ya
que suceden dentro de las fibras de la viga. Estos
fenómenos son: las fuerzas cortantes y los momentos
flexionantes.
3.1 FUERZAS CORTANTES.
Las fuerzas cortantes son fuerzas internas
generadas en el material de una viga para equilibrar las
fuerzas externas aplicadas y garantizar el equilibrio de
todas sus partes.
Los esfuerzos cortantes se desarrollan en la viga
porque las fuerzas cortantes tienden a cizallar la viga.
Aun cuando las fuerzas cortantes internas pueden
actuar en cualquier dirección, se debe considerar
primero aquellas que actúan perpendiculares al eje largo
de la viga.
Por lo general se visualiza vigas en posición
horizontal que soportan cargas que actúan verticalmente
dirigidas hacia abajo,estas fuerzas cortantes internas en
general actúan verticalmente.Por lo tanto, nos referimos
a ellas como fuerzas cortantes verticales, indicadas por
el símbolo V.
3.2 MOMENTOS FLEXIONANTES.
Los momentos flexionantes son momentos internos
que se generan en el material de una viga para
equilibrar la tendencia de las fuerzas externas de hacer
que gire cualquier parte de ella.
3. Universidad Técnica de Cotopaxi.
.
3
Una característica muy importante de los momentos
flexionantes es que ellos hacen que la viga asuma su
forma “flexionada”.
El esfuerzo flexionante se desarrolla porque los
momentos flexionantes internos tienden a flexionar la
viga de tal modo que esta adopte una forma curva.
Las fuerzas cortantes y momentos flexionantes
internos se producen en reacción a las fuerzas y
momentos externos aplicados a la viga.
3.3 ASPECTOS A TENER EN CUENTA
PARA EL CÁLCULO DE FUERZAS
CORTANTES Y MOMENTOS
FLEXIONANTES.
Las fuerzas cortantes internas que actúan
dirigidas hacia abajo se consideran positivas.
Las fuerzas cortantes internas que actúan
dirigidas hacia arriba se consideran negativas.
La magnitud de la fuerza cortante en cualquier
parte de una viga es igual a la suma algebraica
de todas las fuerzas externas que actúan a la
izquierda de la sección de interés.
En cualquier segmento de una viga donde no
hay cargas aplicadas, el valor de la fuerza
cortante permanece constante.
Una carga concentrada en una viga provoca un
cambio abrupto de la fuerza cortante que actúa
en la viga en una cantidad igual a la magnitud
de la carga y de su dirección.
Los momentos flexionantes en los extremos de
una viga simplemente apoyada son cero.
Los momentos flexionantes internos en sentido
contrario al de las manecillas del reloj se
consideran positivos. En el sentido de las
manecillas del reloj se consideran negativos.
La magnitud del momento flexionante interno
en cualquier sección de una viga es igual a la
suma algebraica de los momentos,
considerados con respecto al corte, de todas
las fuerzas que actúan a la izquierda de la
sección de interés.
4 DIAGRAMAS DE FUERZA CORTANTE
Y MOMENTO FLEXIONANTE.
Del análisis de una viga,puede observarse como la
fuerza cortante y el momento flexionante varían de una
sección a otra a lo largo de la viga dependiendo de las
condiciones de carga de la misma, por lo tanto se hace
necesario determinar dicho comportamiento y la mejor
forma de hacerlo es mediante el trazo de los diagramas
de fuerzas cortantes y momentos flexionantes.
A través de los diagramas es posible determinar la
magnitud y sentido tanto de la fuerza cortante como del
momento flexionante en cualquier posición de la viga,
esto es muy importante ya que a partir de ellos se
pueden calcular los esfuerzos máximos que se
producen.
En la figura 5, se puede observar en la parte media
el diagrama de fuerza cortante y en la parte inferior el
diagrama de momento flexionante.
Figura 5. Diagramas de fuerza cortante y momento
flexionante. Tomado de: Mott L. Robert “Resistencia de
materiales”
La grafica de la curva de momento flexionante será
una línea recta a lo largo de los segmentos de la viga
donde la fuerza cortante tiene un valor constante. Si la
fuerza cortante en el segmento es positiva, la curva del
momento flexionante tendrá una pendiente positiva
constante.
A la inversa,si la fuerza cortante en el segmento es
negativa, la curva del momento flexionante tendrá una
pendiente constante negativa.
4.1 REGLADEL ÁREA.
La regla del área nos permite preparar el diagrama
de momento flexionante directamente con los datos que
aparecen en el diagrama de fuerza cortante.
El cambio del momento flexionante entre dos
puntos de una viga es igual al área bajo la fuerza
cortante entre los mismos dos puntos.
Matemáticamente esta regla es la siguiente:
𝑀𝐶 = 𝑀𝐴 + ( 𝐴𝑟𝑒𝑎) 𝐴 − 𝐶 (1)
4. Universidad Técnica de Cotopaxi.
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4
4.2 EJEMPLO DE LAREGLADEL ÁREA.
Para el siguiente ejemplo se ha tomado los valores
de la figura 5, para la realización de los cálculos del
momento flexionante aplicando la fórmula del área.
Considere el segmento A-C e n la figura 2. La
fuerza cortante es un valor constante de 500 a lo largo
de 1.0 de este segmento.Entonces el área bajo la curva
de fuerza cortante es:
( 𝐴𝑟𝑒𝑎) 𝐴 − 𝐶 = (500)(1.0 𝑚) = 500 𝑁. 𝑚 (2)
Primero observamos que el momento flexionante
en A en el extremo izquierdo de la viga es cero, con
base en la regla previamente desarrollada. Por
consiguiente el cambio del momento flexionante de A-C
es 500 N-m. Entonces:
𝑀𝐶 = 𝑀𝐴 + ( 𝐴𝑟𝑒𝑎) 𝐴 − 𝐶 = 0 + 500 = 500 𝑁. 𝑚 (3)
Podemos graficar los valores de MA y Mc en el
diagrama de momento flexionante, los cuales son
simplemente una línea recta desde 0 en A hasta 500 N-
m en C.
Continuando hacia la mitad derecha de la viga,
segmento C-E, calculamos el área como:
( 𝐴𝑟𝑒𝑎) 𝐶 − 𝐸 = (−500)(1.0 𝑚) = −500 𝑁.𝑚 (4)
Este valor es el cambio del momento flexionante
desde C hasta E. Sin embargo, el momento flexionante
en C se inicia en 500 N-m. Entonces:
𝑀𝐸 = 𝑀𝐶 + ( 𝐴𝑟𝑒𝑎) 𝐶 − 𝐸 = 500 − 500 = 0 𝑁. 𝑚 (5)
También se demuestra en este caso la regla de
que el momento flexionante en los extremos de una viga
simplemente apoyada es cero.
Si MC y ME se grafican y unen con una línea recta
con pendiente negativa se completa el diagrama de
momento flexionante.
4.3 PASOS PARA TRAZAR EL DIAGRAMA
DE FUERZA CORTANTE.
1. Trace los ejes vertical y horizontal del
diagrama en relación con el diagrama de carga
de la viga.
2. Rotule el eje vertical como fuerza cortante, V, y
de las unidades de fuerza.
3. Proyecte líneas desde cada carga aplicada o
fuerza de reacción en el diagrama de carga de
la viga hacia abajo hasta el diagrama de fuerza
cortante. Rotule los puntos de interés como
referencia.Rotule los puntos donde actúan las
cargas y fuerzas de reacción como se hizo en
el diagrama de carga.
4. Construya la gráfica de fuerza cortante
comenzando en el extremo izquierdo de la viga
y procediendo a la derecha, aplicando las
reglas siguientes:
Los diagramas de fuerza cortante se inician y
terminan en cero en los extremos de la viga.
Una carga concentrada o reacción en una viga
provoca un cambio abrupto de la fuerza
cortante en la viga en una cantidad igual a la
magnitud de la carga o reacción y en la misma
dirección.
En cualquier segmento de la viga donde no hay
cargas aplicadas, el valor de la fuerza cortante
permanece constante, y el resultado es una
línea recta horizontal en el diagrama de fuerza
cortante.
Muestre el valor de la fuerza cortante en puntos
clave en el diagrama, por lo general en puntos
donde actúan las cargas o reacciones.
4.4 PASOS PARA TRAZAR EL DIAGRAMA
DE MOMENTO FLEXIONANTE.
1. Trace los ejes vertical y horizontal del diagrama
en relación con el diagrama de fuerzo cortante.
2. Rotule el eje vertical como momento
flexionante, M, y de las unidades de momento.
3. Proyecte líneas verticales en puntos de interés
desde el diagrama de fuerza cortante, incluidos
todos los puntos utilizados para el diagrama de
fuerza cortante, hacia abajo hasta el eje de
momento flexionante.
4. Construya la gráfica de momento flexionante a
partir del extremo izquierdo y prosiguiendo
hacia la derecha, aplicando las reglas
siguientes:
En los extremos de una viga simplemente
apoyada, el momento flexionante es cero.
El cambio del momento flexionante entre dos
puntos de una viga es igual al área bajo la
curva de fuerza cortante entre dichos puntos.
Por lo tanto, cuando el área bajo la curva de
fuerza cortante es positiva (sobre el eje), el
momento flexionante se incrementa, y
viceversa.
El momento flexionante máximo ocurre en un
punto donde la curva de fuerza cortante cruza
su eje cero.
En la sección de la viga donde no hay cargas
aplicadas,el diagrama de momento flexionante
será una línea recta.
La pendiente de la curva de momento
flexionante en cualquier punto es igual a la
magnitud de la fuerza cortante en dicho punto.
Rotule los valores del momento flexionante en
la gráfica en cada punto de interés.
5. Universidad Técnica de Cotopaxi.
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5
4.5 FORMAS GENERALES ENCONTRADAS
EN DIAGRAMAS DE MOMENTO
FLEXIONANTE.
La pendiente de la curva del momento flexionante
en cualquier punto es igual a la magnitud de la fuerza
cortante en dicho punto.
En la figura 6, se puede ver las formas generadas
de las curvas de momento en relación con las curvas de
fuerza cortante correspondiente.
Figura 6. Formas generales de las curvas de
momento en relación con las curvas de fuerza cortante
correspondientes. Tomado de: Mott L. Robert
“Resistencia de materiales”
Las formas de las partes 1 y 3 de la figura 6
aparecen en cualquier viga sometida a solo cargas
concentradas.
Las partes 4 ,5 ,6 y 7 de la figura 6 se aplican a
segmentos de una viga sometida a cargas
uniformemente distribuidas.
5 CENTROIDES Y MOMENTOS DE
INERCIA DE ÁREAS
5.1 CENTROIDE.
El centroide de un área es el punto con respecto al
cual el área podría ser equilibrada si estuviera soportada
en dicho punto.
La palabra se deriva de la palabra centro y puede
ser considerado como el centro geométrico de un área.
Para cuerpos tridimensionales, el término centro de
gravedad o centro de masa,se usa para definir un punto
similar.
En el caso de áreas simples, tales como el círculo,
el cuadrado, el rectángulo y el triángulo, el centroide es
fácil de visualizar. La figura 7, muestra las ubicaciones,
denotadas con C.
Si estos perfiles se fabricaron con esmero y el
centroide se localizó con precisión, los perfiles se
podrían equilibrar sobre la punta de un lápiz colocada en
el centroide.
Figura 7. Propiedades de áreas simples. El
centroide se denota como C. Tomado de: Mott L. Robert
“Resistencia de materiales”
6. Universidad Técnica de Cotopaxi.
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5.2 MOMENTO DE INERCIA.
En el estudio de la resistencia de materiales, la
propiedad del momento de inercia de un área indica la
rigidez de una viga, es decir, su resistencia a
reflexionarse cuando se somete a cargas que tienden a
reflexionarla. Se simboliza con la letra “I”.
En la figura 7, se puede apreciar las fórmulas de
momento de inercia en áreas simples.
6 ESFUERZO DEBIDO A FLEXIÓN.
6.1 FORMULADE FLEXIÓN.
Las vigas deben diseñarse para que sean seguras.
Cuando se aplica cargas perpendiculares al eje mayor
de una viga, en su interior se desarrollan momentos
flexionantes que hacen que se flexione.
En la figura 8, se puede observar una viga esbelta,
y su curva característica que se forma al momento de
ser aplicada una carga.
Figura 8. Ejemplo de viga. Tomado de: Mott L.
Robert “Resistencia de materiales”
Las fibras de la viga próximas a su cara superior se
acortan y se ven sometidas a compresión.
Por otra parte, las fibras próximas a la cara inferior
se alargan y se ven sometidas a tensión.
En la figura 9, se puede ver cómo cambia su forma
por la incidencia de los momentos flexionantes internos.
En la parte (a) el segmento tiene su forma recta
original cuando no está sometido a caiga.
La parte (b) muestra el mismo segmento
deformado por la aplicación de los momentos
flexionantes. Las líneas que originalmente eran
horizontales se curvaron.
Los extremos del segmento, que inicialmente eran
rectos y verticales, permanecen rectos. No obstante,
ahora están inclinados, por haber girado en tomo al eje
centroidal de la sección transversal de la viga.
El resultado es que el material a lo largo de la cara
superior se somete a compresión y, por consiguiente,se
acorta. Asimismo,el material a lo largo de la cara inferior
se somete a tensión y se alarga.
Figura 9. Influencia del momento flexionante en un
segmento de la viga. Tomado de: Mott L. Robert
“Resistencia de materiales”
El esfuerzo causado por flexión también es
proporcional a la magnitud del momento flexionante
aplicado a la sección de interés.
Las formas y dimensiones de la sección transversal
de la viga determinan su capacidad de soportar el
momento flexionante aplicado.
A continuación se enuncia la fórmula de flexión, la
cual puede ser utilizada para calcular el esfuerzo
máximo causado por flexión.
σmáx = Mc/I (8)
Dónde:
σmáx = esfuerzo máximo en las fibras más externas de
la viga.
M = momento flexionante en la sección de interés.
c = distancia del eje centroidal de la viga a las fibras más
externas.
I = momento de inercia de la sección transversal con
respecto a su eje centroidal.
6.2 INSTRUCCIONES PARA APLICAR LA
FÓRMULADE FLEXIÓN.
Trace los diagramas de fuerza cortante y
momento flexionante para determinar el
momento flexionante máximo en la viga.
Localice el centroide de la sección transversal
de la viga.
7. Universidad Técnica de Cotopaxi.
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7
Calcule el momento de inercia del área de la
sección transversal con respecto a su eje
centroidal.
Calcule la distancia c del eje centroidal a las
caras superior e inferior de la viga.
Calcule el esfuerzo con la fórmula de flexión.
6.3 CONDICIONES PARA EL USO DE LA
FÓRMULADE FLEXIÓN.
La aplicación adecuada de la fórmula de flexión
requiere que se entiendan las condiciones en las cuales
es válida, las cuales se describen a continuación:
1. La viga debe ser recta o casi recta.
2. La sección transversal de la viga debe ser
uniforme.
3. Todas las cargas y reacciones en los apoyos
deben actuar perpendiculares al eje de la viga.
4. El material de la viga debe ser homogéneo.
7 EJERCICIO DE APLICACIÓN.
Cuatro personas intentan cruzar un rio caminando
por encima de un tablón de madera con las siguientes
dimensiones: 12 mm de altura y 500 mm de ancho cada
persona ejerce una carga en un punto determinado de la
viga, la cual mide 6 m de longitud.
Trazar los diagramas de fuerzas cortantes y
momentos flexionantes ydeterminar el esfuerzo máximo
causado por flexión.
Figura 10. Diagrama esquemático del ejercicio de
aplicación.
Calculo de las fuerzas de reacción en los apoyos.
∑𝑀𝐴 = 0 = 140(1.2𝑚) + 934(2.8𝑚) + 355(3.6𝑚)
+ 160(5.1𝑚) − 𝑅 𝐹(6𝑚)
𝑅 𝐹 =
140(1.2𝑚) + 934(2.8𝑚) + 355(3.6𝑚) + 160(5.1𝑚)
6𝑚
𝑅 𝐹 = 812.87 𝑁
∑𝑀𝐹 = 0 = 160(0.9𝑚) + 355(2.4𝑚) + 934(3.2𝑚)
+ 140(4.8𝑚) − 𝑅 𝐴(6𝑚)
𝑅 𝐴 =
160(0.9𝑚) + 355(2.4𝑚) + 934(3.2𝑚) + 140(4.8𝑚)
6𝑚
𝑅 𝐴 = 776.13 𝑁
Calculo de las fuerzas cortantes.
𝑉𝐴 = 𝑅 𝐴 = 776.13 𝑁
𝑉𝐵 = 776.13− 140 = 636.13 𝑁
𝑉𝐶 = 636.13− 934 = −297.87 𝑁
𝑉𝐷 = −297.87 − 355 = −652.87𝑁
𝑉𝐸 = −652.87− 160 = −812.87 𝑁
𝑉𝐹 = −812.87+ 812.87 = 0 𝑁
Calculo de los momentos cortantes.
𝑀𝐴 = 0 𝑁. 𝑚
𝑀 𝐵 = 0 + (776.13 𝑁)(1.2𝑚) = 931.35 𝑁. 𝑚
𝑀𝐶 = 931.35+ (636.13 𝑁)(1.6𝑚) = 1949.15 𝑁.𝑚
𝑀 𝐷 = 1949.15+ (−297.87 𝑁)(0.8𝑚) = 1710.85 𝑁. 𝑚
𝑀𝐸 = 1710.85 + (−652.87 𝑁)(1.5𝑚) = 731.54 𝑁. 𝑚
𝑀𝐹 = 731.54 + (−812.87 𝑁)(0.9𝑚) = 0 𝑁. 𝑚
Trazado de los diagramas de fuerzas cortantes y
momentos flexionantes.
Figura 11. Diagramas de fuerzas cortantes y momentos
flexionantes del ejercicio de aplicación.
Calculo del momento de inercia.
𝐼 =
ℎ𝑏3
12
𝐼 =
12 (500)3
12
𝐼 = 125 𝑥106
𝑚𝑚4
Calculo del esfuerzo máximo por flexión.
𝜎𝑚𝑎𝑥 =
𝑀𝑐
𝐼
𝜎𝑚𝑎𝑥 =
(1949.15 𝑁.𝑚)(6 𝑚𝑚)
125𝑥106
𝑚𝑚4 ∗
103
𝑚𝑚
𝑚
𝜎𝑚𝑎𝑥 = 0.0935 𝑁/𝑚𝑚2
𝜎𝑚𝑎𝑥 = 0.0935 𝑀𝑃𝑎
8. Universidad Técnica de Cotopaxi.
.
8
8 CONCLUSIONES.
Se denomina flexión al tipo de deformación que
presenta un elemento estructural alargado en una
dirección perpendicular a su eje longitudinal.
Una viga es un miembro que soporta cargas
transversales, es decir perpendiculares a su eje largo.
Una carga concentrada normal es una que actúa
perpendicular (normal) al eje mayor de la viga en solo un
punto o a lo largo de un segmento muy pequeño de la
viga.
Las fuerzas cortantes son fuerzas internas
generadas en el material de una viga para equilibrar las
fuerzas externas aplicadas y garantizar el equilibrio de
todas sus partes.
Los momentos flexionantes son momentos internos
que se generan en el material de una viga para
equilibrar la tendencia de las fuerzas externas de hacer
que gire cualquier parte de ella.
A través de los diagramas de fuerza cortante y
momento flexionante es posible determinar la magnitud
y sentido tanto de la fuerza cortante como del momento
flexionante en cualquier posición de la viga.
El centroide de un área es el punto con respecto al
cual el área podría ser equilibrada si estuviera soportada
en dicho punto.
El momento de inercia de un área indica la rigidez
de una viga, es decir, su resistencia a reflexionarse
cuando se somete a cargas que tienden a reflexionarla.
Se simboliza con la letra “I”.
El esfuerzo causado por flexión también es
proporcional a la magnitud del momento flexionante
aplicado a la sección de interés.
9 REFERENCIAS.
[1] Mott L. Robert, “Resistencia de materiales”, 5ta. ed.,
México, 2009. Pag. 239 - 358
[2] Andrew Pytel. y Ferdinand L. Singer, “Introducción a la
mecánica de sólidos”, 4ta. ed. México, D.F. 1994.
[3] A. Luna. Mecánica de materiales. Flexión. [En línea].
Disponible en: http://es.scribd.com
[4] Jaf. Introducción a la mecánica de sólidos. Flexión pura. [En
línea]. Disponible en: http://www.ing.una.py