El documento describe la construcción de los números naturales y diferentes sistemas de numeración. Introduce la idea de número como una clase de equivalencia de conjuntos coordinables entre sí. Explica que los sistemas de numeración posicional como el binario y el decimal usan símbolos en posiciones que representan valores para escribir números de forma inconfundible. El decimal usa los símbolos 0-9 y el binario usa 0-1, y ambos permiten convertir números de una base a otra.

1. CONSTRUCCIÓN DE
LOS NÚMEROS
NATURALES

2. Construcción de los números
Naturales

Lo habitual, cuando se presentan los Números
naturales en un libro donde se usan los
números naturales, es poner una lista de los
mismos en un sistema de numeración en un
lenguaje conocido. Así por ejemplo se dice
Sea el conjunto de los números naturales
{0,1,2,3,4,5,6,7…}
que aunque no están equivocados, nosotros
veremos como se construyen los números
naturales.

3. Construcción de los números
Naturales
La idea de Número
Observe los siguientes conjuntos
A= {a,b,c,d}
B= {
,
,
}
C= {g ,t ,w,l ,5 ,} }
Estos conjuntos no son similares, no solo porque los
distintos elementos que los forman, sino porque
además tienen diferente cantidad de elementos, a
esta cantidad es a la que nosotros llamamos
Numero.

4. Construcción de los números
Naturales
Nombre y representación:
Es conveniente hacer notar que la
representación grafica no es un numero, sino
solamente la idea que tenemos de el, es decir
los números solo existen en nuestra mente, y
los representamos con símbolos


5. Construcción de los números
Naturales

Correspondencia termino a termino
A
B
¿Podemos hacerle corresponder a cada niño una
pelota y a cada pelota un niño?
¿Sobran pelotas?
¿Sobran niños?

6. Construcción de los números
Naturales
Se dice que se ha establecido una
correspondencia termino a termino entre los
elementos de dos conjuntos, cuando a cada
elemento de un conjunto le podemos hacer
corresponder uno y solo un elemento de otro
conjunto
A
B

7. Construcción de los números
Naturales

Cuando se puede establecer una
correspondencia termino a termino entre los
elementos de dos conjuntos se les llama
Coordinables.

8. Construcción de los números
Naturales

Cardinalidad: la cantidad de elementos que
tiene un conjunto.
A={Guatemala, El Salvador, Honduras, Nicaragua, Costa
Rica}
El conjunto A tiene cardinalidad 5, pues
existen 5 elementos en el conjunto

9. Construcción de los números
Naturales
Cardinalidades iguales:
Dos o mas conjuntos que son coordinables entre si,
tienen las mismas cardinalidades
A
B

Card(A)=Card(B)

10. Construcción de los números
Naturales
Mayor, menor e igual cardinalidad
Si el conjunto A tiene menos elementos que el
conjunto B entonces la cardinalidad del
conjunto A es menor que la cardinalidad del
conjunto B

< Menor Cardinalidad
> Mayor Cardinalidad
= Cardinalidad

11. Construcción de los números
Naturales

Clasificación de los conjuntos por su
cardinalidad
Dados los conjuntos, clasifíquelos por su
cardinalidad

12. Construcción de los números
Naturales

Observe que hemos formado varias
colecciones distintas de conjuntos
coordinables entre si o de conjuntos que
tienen la misma cardinalidad

13. Construcción de los números
Naturales

Criterios de clasificación: Un conjunto
cualquiera C, es coordinable consigo mismo,
ya que se puede establecer correspondencia
termino a termino, entre el conjunto C y el
mismo.
Este criterio corresponde a la propiedad
reflexiva (reflejarse)

14. Construcción de los números
Naturales

Si un conjunto C, es coordinable con un
conjunto D, entonces D es coordinable con el
conjunto C
Este criterio corresponde a la propiedad
simétrica

15. Construcción de los números
Naturales

Si un conjunto C es coordinable con un
conjunto D y este a su vez es coordinable con
un conjunto E, entonces el conjunto C es
coordinable con el conjunto K, así:
Este criterio corresponde a la propiedad
transitiva

16. Construcción de los números
Naturales
Clases de equivalencia de conjuntos
coordinables entres si.
A las colecciones de conjuntos coordinables
entre si, que obtengamos después de la
clasificación, las llamaremos clases de
equivalencia de conjuntos coordinables
Cada colección es una clase (de equivalencia)


17. Construcción de los números
Naturales

Dados los conjuntos

18. Construcción de los números
Naturales

Si clasificamos estos conjuntos por su
cardinalidad y colocamos dentro de una “bolsa
plástica” transparente e irrompible cada grupo

19. Construcción de los números
Naturales

Nos damos cuenta que en cada bolsa hay una
colección “infinita” de conjuntos finitos
coordinables entre si. En la figura anterior
podemos ver a todos los conjuntos que tienen
3 elementos, a esta bolsa le daremos el
nombre de clase del 3 o simplemente 3, ya
que independientemente del idioma o el
símbolo que se use, la bolsa es única. La idea
de numero es universal

20. Construcción de los números
Naturales
De la misma manera procedemos a nombrar
las otras colecciones así
Clase del 5: a la bolsa con todos los conjuntos
de 5 elementos
Clase del 1: a la bolsa con todos los conjuntos
de 1 elemento
Clase del 0: a la bolsa con todos los conjuntos
con cero elementos. (vacía)


21. Construcción de los números
Naturales
Definición de Numero natural N
Entonces el conjunto de números naturales
podemos definirlos de dos maneras
a. Un numero natural es una colección infinita
de conjuntos finitos, coordinables entre si
b. Un numero natural es una clase de
equivalencia de conjuntos finitos
coordinables entre si


22. Sistemas de numeración

Un sistema de numeración es un procedimiento
que permite escribir (representar simbólicamente)
a los números de cualquier conjunto numérico en
forma inconfundible
N,Z,Q,R
Existen diversos sistemas. Sin embargo pueden
catalogarse en tres tipos.
1.
2.
3.
Sistemas aposicionales
Sistemas semiposicionales
Sistemas posicionales

23. Sistemas de Numeración

Los sistemas aposicionales: son aquellos que
utilizan signos (guarismos) y sus
combinaciones, sin importar el orden en que
estos se coloquen, para formar los símbolos
que representan a los números

24. Sistemas de numeración

Los sistemas aposicionales: son aquellos que
utilizan signos (guarismos) y sus
combinaciones, sin importar el orden en que
estos se coloquen para formar los números
que estos símbolos representan; por ejemplo
el sistema de numeración egipcio.
No importando el orden este numero seria 110

25. Sistemas de numeración


Los sistemas semiposicionales son aquellos
que utilizan signos (guarismos) y sus
combinaciones para formar los símbolos que
representan a los números, en estos si importa
el la posición que guardan los diferentes
símbolos primarios dentro del contexto del
símbolo que se lee, si no están escritos de
acuerdo a ciertas reglas no se pueden leer.
Ejemplo: El sistema de numeración romano.
XV = 15
VX no tiene sentido

26. Sistemas de numeración

Los sistemas de numeración posicional: Estos
constituyen los mas importantes sistemas de
numeración. Es justo reconocer que con la
inclusión del símbolo para el cero dentro de los
sistemas de numeración, la humanidad dio un
gran paso en lo que a representación de los
números se refiere.
Los sistemas de numeración posicional mas
usados son el sistema Binario (Base dos) y el
sistema decimal (base diez)

27. Sistemas de numeración

Un sistema de numeración posicional es un
sistema de numeración en el cual la posición
que un símbolo básico ocupa dentro de la
codificación de un numero, es relevante para
la identificación del mismo.
En estos sistemas se selecciona una base
conveniente y se eligen arbitrariamente ciertos
signos con los que se construyen los símbolos
de todos los números. Los símbolos básicos
son los que corresponden a los números de la
base por ejemplo

28. Sistemas de numeración

Si la base es diez, elegimos signos que a la
vez son los símbolos básicos
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
Ejemplo:
102: ciento dos
201: doscientos uno
Note que al cambiar la posición de 0,1,2 la
identificación es diferente.

29. Sistemas de numeración
Sistema de Numeración Binario.
Pensemos en las siguientes situaciones


30. Sistemas de numeración

En el sistema de numeración binario, se
utilizan dos signos, que a su vez son símbolos
básicos, los cuales se combinan para
representar a todos los números.
Estos signos son 0 y 1 para los elementos
cero y uno
Notación
0 representa al número natural cero
1 representa al número natural uno

31. Sistemas de numeración

Construyamos un casillero de la siguiente
forma
7a
6a
5a
sesenta y Treinta y
dieciseis
cuatro
dos
4a
3a
2a
1a
Numero
ocho
cuatro
dos
uno
Observe que en cada casilla se ha colocado un
número, el cual señala el valor que tiene esa
posición.

32. Sistemas de numeración
En el sistema de numeración Binario, cada posición
vale el doble de la inmediata anterior de derecha
a izquierda, comenzando por la posición 1ª hasta
el valor que se necesite o desee a la izquierda
Siempre que se desee escribir un numero en
sistema Binario, se procederá de la manera
siguiente
1.
Se colocara el símbolo 1 cuando sea necesario
utilizar una posición.
2.
Se colocara el símbolo 0 cuando no se utilice
una posición que quede a la derecha de otra
posición que se haya ocupado con un 1

33. Sistemas de numeración

Ejemplo: Escribir los números 2,3,4, y 40 en
Sistema Binario
7a
6a
5a
4a
3a
2a
1a
Numero
sesenta y Treinta y
cuatro
dos
0
2
1
3
1
1
uno
1
0
ocho
dos
1
1
dieciseis
cuatro
0
0
4
0
0
0
40
2=10
3=11
4=100
40=101000

34. Sistemas de numeración

Ejercicio: En el casillero siguiente, escriba en
sistema Binario, los números naturales, diez,
quince ,veinte, treinta y dos, cuarenta y tres,
cincuenta y siete, setenta y cien
8a
7a
6a
5a
4a
3a
2a
1a
Numero
Ciento
veintiocho
sesenta y
cuatro
Treinta y
dos
dieciseis
ocho
cuatro
dos
uno
10
15
20
32
43
57
70
100

35. Sistemas de numeración

Ejercicio: En el casillero siguiente, escriba en
sistema Binario, los números naturales, diez,
quince ,veinte, treinta y dos, cuarenta y tres,
cincuenta y siete, setenta y cien
8a
7a
6a
5a
4a
3a
2a
1a
Numero
Ciento
veintiocho
sesenta y
cuatro
Treinta y
dos
ocho
cuatro
dos
uno
1
0
1
0
10
1
1
1
1
15
1
1
dieciseis
0
1
0
0
20
0
0
0
0
0
32
1
0
1
1
43
1
1
1
1
0
0
1
57
1
0
0
0
1
1
0
70
1
1
0
0
1
0
0
100

36. Sistemas de numeración
Sistema de numeración decimal (base diez)
Este sistema al igual que el anterior, es un sistema
posicional y como su nombre lo indica tiene base
diez y hace uso de 10 signos que a su vez son
símbolos básicos, estos son
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
En el sistema decimal, cada posición vale 10 veces
lo de la posición anterior de la derecha y cada
uno de esos valores o posiciones se puede
utilizar hasta nueve veces, dependiendo del
numero a escribir
El valor que no se utilice a la derecha, se llenara
con cero así como en el sistema Binario


37. Sistemas de numeración

Ejemplo: Escriba los números 1,17,58,230 en
sistema Decimal
5a
4a
3a
2a
1a
diez mil
mil
cien
diez
uno
Numero
1
1
7
17
5
2
1
8
58
3
0
230

38. Sistemas de numeración
De Binario a Decimal.
Si queremos convertir un numero de sistema
Binario a Decimal debemos ver que
posiciones ocupan los números de derecha a
izquierda y sumar las cantidades
Ejemplo:
100110 convertir a decimal


39. Sistemas de numeración

Para pasar de Binario a Decimal se suman los
números de la segunda fila donde aparece 1
1 0
0 1 1 0
32 16 8 4
2 1
32+4+2=38

40. Sistemas de numeración
Nota importante:
Un error muy generalizado es el de hablar de
números binarios o números decimales, esto
es un error. Existen números Naturales,
Enteros, Racionales, Reales y Complejos y
todos ellos se pueden escribir en los
diferentes sistemas de numeración. Lo
correcto es decir que un numero esta escrito
en forma Binaria o forma Decimal
