El documento explica las funciones exponenciales, incluyendo su definición, gráficas, características y cómo resolver ecuaciones exponenciales. Se define la función exponencial como f(x) = a^x donde a > 0 y a ≠ 1. Las funciones exponenciales son siempre asintóticas al eje x e intersectan el eje y en (0,1). También se explica la función exponencial natural f(x) = e^x y cómo calcular imágenes y preimágenes de funciones exponenciales.

1. Prof Verónica González Durán
1
DECIMO AÑO
Matemática
FUNCIÓN EXPONENCIAL Y
ECUACIONES EXPONENCIALES

2. Prof Verónica González Durán
2
Función exponencial
DEFINICIÓN DE FUNCIÓN EXPONENCIAL
Una función f : IR  IR  se llama EXPONENCIAL si es de la forma
f x   a x tal que a0 y a 1
La función f x   a x , es la función exponencial de base “ a “, donde “x” toma cualquier
valor real.
Ejemplos de Funciones Exponenciales.
x x
1 7
a) f x   3 x
b) f  x     c) f x   2 x
d) f  x    
2 4
En cada uno de los siguientes ejemplos indique la base de la función exponencial
genérica f x   a .
x
x x
3 5
f x   5 x
k x   10 x
g x     h x    
4 3
base ____ base ____ base ____ base ____
x x
1 8
f x   7 x
t x     m x     v x   0.02  x
2 9
base ____ base ____ base ____ base ____
GRAFICA DE UNA FUNCIÓN EXPONENCIAL
La grafica de una función exponencial de la forma f x   a x siempre es asintótica al eje “x” , e
interseca al eje “y” en el punto ( 0, 1 ). Puede ser una función creciente ó decreciente ( depende
de la base ), de la siguiente manera
f x   a x  y




x
    
0  a 1

3. Prof Verónica González Durán
3
y






x
      
a 1
CARACTERÍSTICAS DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
Se tiene la función exponencial f : IR  IR  tal que f  x   ka x  b , con a  0 y a  1;
entonces las siguientes son sus principales características:
1) El dominio de la función es ℝ.
2) Ambito de la función es b,  si k  0 y ámbito de la función es ,b si k  0 .
3) Es una función inyectiva
f es una función BIYECTIVA
4) Es una función sobreyectiva
5) Interseca al eje “y” en el punto  0, k  b .
6) Es asintótica al eje “x” con y  b
0  a  1 entonces f es estrictamente decreciente si k  0 , y f es
6) Si
estrictamente creciente si k  0 .
a  1 entonces f es estrictamente creciente si k  0 , y f es
estrictamente decreciente si k  0 .
7) Si 0  a  1
k 0 Si x  ,0  y  k  b,  Si x  0,   y  0, k  b
k 0 Si x  ,0  y  , k  b Si x  0,   y  k  b,0
8) Si a  1
k 0 Si x  ,0  y  0, k  b Si x  0,   y  k  b, 
k 0 Si x  ,0  y  k  b,0 Si x  0,   y  , k  b

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4
9) Si f ( x1 )  f ( x2 )  x1  x2  f es una función creciente.
10) Si f ( x1 )  f ( x2 )  x1  x2  f es una función decreciente.
11) Recuerde: f ( x)  y, 
 ,0 , 
 0,  ,  ,  .
Ejercicios.
En cada uno de los siguientes ejemplos indique cuáles funciones exponenciales son crecientes y
cuáles son decrecientes.
x x
3 5
f x   5 x
k x   10 x
g x     h x    
4 3
__________ ____________ _____________ ____________
x x
1 8
f x   7 x
t x     m x     v x   0.02  x
2 9
__________ ____________ _____________ _____________
LA FUNCIÓN EXPONENCIAL NATURAL
Es una de las funciones más útiles en matemáticas avanzadas y en las aplicaciones. La base de
esta función exponencial es el número irracional, e  2,711828 el cual aparece en muchos
estudios fenómenos físicos. Una vez que ya conocemos el número e , podemos definir la
función exponencial natural
La función exponencial natural f : IR  IR  es f x   e
x
x
Las calculadoras científicas tienen la tecla e que permite aproximar los valores de la función
exponencial natural. Complete la siguiente tabla aproximando a 2 decimales y construya la
grafica.
y

x -3 -2 -1 0 1 2
y 





x
       

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5
ECUACIONES EXPONENCIALES
Antes de analizar como resolver ecuaciones exponenciales debemos repasar las leyes de
potencia definidas en ℝ para así tener una mejor comprensión de las mismas.
Sean x, y ℝ, además m, n  ℤ; también x, y, m, n  0.
a) x 0  1
d)
xm
 x mn g)  x  m 
1
Ejemplo 50  1 x n xm
510 1
Ejemplo  53 Ejemplo 5  n 
57 5n
b) x 1  x x
n
 y yn
n
Ejemplo 51  5 e) x 
m n
 xm  n h)  
 y
 
   n
x x
Ejemplo 5 
3 y
 53 y
5
x
8
x
Ejemplo    
8 5
n 1
m n x xn x n x
c) x  x  x
m n
f)    n i) n
 y
Ejemplo 53  5 2  55   y m
52  5 
2 Ejemplo 4
5 m
5 4
Ejemplo  
82  8 
Analicemos la siguiente propiedad
Como la función exponencial f x   a x es inyectiva se tiene que:
Si x1  x2  f x1   f x2   a x1  a x2 Lo cual es equivalente a decir
Si a x1  a x2  x1  x2
De acuerdo con la propiedad anterior se pueden resolver ecuaciones exponenciales reduciendo
ambos miembros de la ecuación a la misma base. Veamos algunos ejemplos.
Resuelva las siguientes ecuaciones exponenciales.
1) 7 2 x  7 5 x 1 2) 35 x8  9 x2
3 x 5
x 1 1
3) 2   4) 2 2 x 3  1
8

6. Prof Verónica González Durán
6
2x 2x
e e
5) 1 6) e x2  e 
e12 x e
3 x 1
3 2
7)   5 8) 5  3x  3x  36
2 3
Cálculo de imágenes en una función exponencial
Para calcular una imagen simplemente debemos SUSTITUIR el valor dado en el criterio de la
función, que en el caso de una función exponencial corresponde a partir del exponente. Así de
esta misma forma se puede obtener el ámbito de una función exponencial.
Ejemplos
1) Calcule la imagen de 4 en la 4) Hallar el ámbito de la función dada por
función exponencial f x   2 x y definida de  3,     IR
f x   5 x 2
x
2
2) ¿Cuál es la imagen de 3 en la 5) Si h x     y h está definida de
función f x   2 x  2  8 ? 3
  ,  2  IR . Determine el ámbito de h .
x 6) Halle el ámbito de la función
1
3) Si f  x     , entonces x
3
4 g x     ; definida de 0, 3   IR
encuentre la imagen de – 3. 4
Cálculo de preimágenes en una función exponencial
Para calcular preímagenes en una función, se debe IGUALAR el valor dado al criterio de la
función. En la función exponencial se puede observar que ese despeje que se hace corresponde
a una ecuación exponencial, es decir, que se resuelve de la misma forma como las que se
habían analizado anteriormente. De esta misma forma se hace el análisis para calcular el
dominio de una función exponencial.
Ejemplos
1) Calcule la preimagen de 16 en la 4) Hallar el dominio de la función dada por
función exponencial f x   2  2 x2 y definida de
f  x   4 x 5 f : D   4,   
1 5) Si hx   5  3 x 3 y
2) ¿Cuál es la preimagen de en
9 h : D  15,    . Determine D.
la función k x   3 2 x 4
?

7. Prof Verónica González Durán
7
 x2
1
3) Si m x     , entonces 6) Hallar el dominio de la función
5 n x   3  3 x 1 ; y n : D  9, 27 
encuentre la imagen de 125.
Cálculo del ámbito en una función exponencial
Para calcular el ámbito en una función, se toma los extremos del dominio dado y se sustituyen
en la función dada. Los resultados son los extremos del ámbito y se ordenan de forma
ascendente.
De la anterior manera, se hace el análisis para calcular el ámbito de una función exponencial.
Ejemplo.

Sea la función dada por f ( x)  2 x  7; f :  ; calcule el ámbito de f .
D  , 
x   y  2  7 x   y  2  7
2    y    7
2  0  y  2  7
y  
y  07
y  7
Entonces el ámbito de la función es A  7,  .
Cálculo del dominio en una función exponencial
Para calcular el ámbito en una función, se toma los extremos del ámbito dado y se iguala cada
uno en la función dada; y se despeja la x . Los resultados son los extremos del dominio y se
ordenan de forma ascendente.
De la anterior manera, se hace el análisis para calcular el dominio de una función exponencial.
Ejercicios
1) Indique si las siguientes funciones son exponenciales o no lo son. En el caso afirmativo
escriba si trata de una función creciente o decreciente.
a) f x    2
x x
2
f ) f x    
3
b) f x    5
3
x
1 3
g ) f x     
x
2 4
x x
1  1 
c) f  x     h) f  x    
7  0,5 

8. Prof Verónica González Durán
8
d ) f x   7  6
x x
 5
i) f x    3 
 6
 
x
 15 
e) f  x    
j ) f x    3,2  3,3 
x
4
2) Calcule las imágenes indicadas
A) f x   2 x f  4 C) f x   0,3 x f  1 5
x
E) f x     f 3
3
B) f x    2
3
x
f 9 1
D) f x    
x
f  3 F)
1
f x    
x
1
f 
9 4 2
3) Determine el ámbito de las siguientes funciones exponenciales.
1 
a) hx   e x y h :  3,     IR b) f x   7 x f :  , 3   IR c)
3 
x
2
k x     k :  1, 2  IR
3
4) Calcule las preimagenes indicadas para cada una de las siguientes funciones.
1) f x   3 x f x   27 3) f x   0,2 x f x   125 1
x
5) f x     f x   3 81
9
2) f x    5 f x  
1 x x
5 1
x
4) f x     f x   f x     f x   1024
36
5 6)
6 25 4
5) Calcule el dominio A de las siguientes funciones exponenciales.
x
1
a) h x     ; h : A   8,   
2
b) r x    2
3
x 1 
; r:A
,2 
2 
 1 
c) ux   0,1x ; u : A   , 100 
 100 
7) De acuerdo con la función dada por f x   4  4 3 x 1 ; conteste lo que se le solicita.
 La preimagen de 2
 La imagen de 1
 ¿ 0 es imagen de ?
 La intersección con el eje “y” corresponde a
 Determine f  2 
 La intersección con el eje “x” corresponde a
7) Sea f x   3 3  
2 x 3
entonces determine lo que se le solicita
 La preimagen de 3
 La intersección con el eje “y” corresponde a
 Calcule f  2 

9. Prof Verónica González Durán
9
 La intersección con el eje “x” corresponde a
 ¿Cuál es la preimagen de 3
3?
9) Hallar el conjunto solución de las siguientes ecuaciones exponenciales.
x2 2 x 1
 8   3
a) 2  32
x
i)    3 
 2
 27   
27 x 1
b) 125 x 3
 25 3 x 1 j ) 3 2 x  3
9
64 2 x 3
 42 x
c) 32   0,5 
4 x k)
8 x x
4
8
2 x 3
 1 
d)    81 l) 3  3x  3x  6
 27 
5 x 3
2 9
e)   3 m) 125 2 x3  4  5 x  5 x
3 4
f) 2 3  x  2   8  2 x 1  3 16 n) 2  3 x  243  3 x
x2
o) 4 x 16  5 x 16  2 x
g ) 2  81 3
6
 x2
5 27
h)    p) 5 2 x1  5 2 x  30  0
 3 125