El documento explica cómo racionalizar expresiones con raíces en el denominador y cómo resolver ecuaciones irracionales y exponenciales. Proporciona ejemplos de cómo racionalizar expresiones y resuelve ecuaciones irracionales elevando al cuadrado para eliminar las raíces. También explica cómo resolver ecuaciones exponenciales igualando las bases de los exponentes. Finalmente, propone ejercicios para practicar estas habilidades.

1. RACIONALIZAR:
“Consiste en quitar las raíces que puedan aparecer en el denominador.”
Pueden ocurrir dos casos:
1º Que el denominador sea una raíz cuadrada: en este caso se multiplica
numerador y denominador por la misma raíz.
5 5 2 5 2
  
2 2 2 2
2º Que el denominador no sea una raíz cuadrada: en este caso se multiplica
numerador y denominador por una raíz del mismo índice que el denominador, pero
con un radicando elevado a un exponente que haga desaparecer la raíz del
denominador.
3 2 3
5 5 2 5 4
 
3 3 2
2 3
2 • 22
3º Que el denominador sea un binomio con raíces cuadradas: en este caso
debemos de multiplicar numerador y denominador por el conjugado.
2 2 • (5  3 ) 10  2 3 10  2 3 10  2 3
   
5 3 (5  3 ) • (5  3 ) 52   3 2 25  3 22
EJERCICIOS PROPUESTOS
Racionaliza las siguientes expresiones con raíces:
7 4 2 1- a
a) A) b) c) d)
5 12 3
2 1 a  a
4 b c xy 3
e) f) g) h)
x c a 4 2 3
x y 3 2
a 2 2 5 z
i) j) k) l) 
3 1- 3 9 z
b 3 2
4 2 5 ab 3 2
m) n) o) p)
1 2 3 6 2 7 a b b a 5 3
Ecuaciones Exponenciales
Son las ecuaciones en la que la incógnita aparece como exponente.
Ejemplo: x x2 x 2 3 x  2
2 4 3  81 4  64
Para resolver estas ecuaciones hay que tener presente algunos resultados y
propiedades:
x y
a a xy
Conviene, por tanto siempre que sea posible, expresar los dos miembros de la ecuación como
potencias de la misma base.
Observación: Usa las propiedades de potencias entregadas al inicio de la segunda unidad.
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES EXPONENCIALES
1
Resolver 21 x  :
8
1 1
Primero igualamos las bases:   2 3
8 23
Entonces:
21 x  23
1  x  3
x4
Por lo tanto la solución de la ecuación es x = 4
Profesor: Joan Manuel Molina Sandoval

2. 3 x 1 2 x 3
1) Resolver b :b  b x 1  b2 x 5 :
Primero, aplicamos las propiedades de las potencias:
3 x 1 2 x 3 (3 x 1)( 2x 3) x 2
b :b b b
x 1 2 x 5 ( x 1)(2 x 5 ) 2 x 2 3 x 5
b b b b
Por lo tanto la ecuación queda:
x 2 2 x 2 3 x 5
b b
Así la ecuación queda:
x  2  2x 2  3 x  5
2x 2  4 x  7  0
Aplicando la fórmula de ecuación de 2º grado:
4  16  56 4  72 4  6 2 2  3 2
x   
4 4 4 2
Así las soluciones son:
23 2 23 2
x1  y x2 
2 2
EJERCICIOS PROPUESTOS
Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales:
1. 43 x 5  32 x  2 2. 0,25 x 1  0,125 x 1
3. zx1x 5  zx 4 x 3 4. 64 0,75 x 1  0,25 0,25 x 1
5 x  4 x 7
5. a a 1
ECUACIONES IRRACIONALES Y EXPONENCIALES
Ecuaciones Irracionales
Definición:
Se llama ecuación irracional a toda ecuación que presenta alguna incógnita en forma
de radicando.
Ecuaciones Irracionales
Ejercicios:
1. x 3 2. x  2  2x  1
2
3. x 1  x  3 1  x  2x  3  7
ECUACIÓN IRRACIONAL REDUCIBLE A ECUACIÓN DE 1° GRADO
El método consiste en despejar la incógnita y como se encuentra dentro de una raíz,
se aplica la potencia correspondiente y luego se intenta encontrar el valor de la
incógnita.
EJERCICIOS RESUELTOS
Resolvamos la ecuación: x 1  5
Elevando al cuadrado para eliminar la raíz,  2
x  1  25
x  1  25
x  24
Comprobamos:
Si x = 24 entonces:
x  1  24  1
 25
5
Por lo tanto x = 24 es la solución de la ecuación.
Profesor: Joan Manuel Molina Sandoval

3. Resolvamos la ecuación: x  5  x  7  2  0
Para resolver esta ecuación deberemos elevar al cuadrado dos veces, pero primero se
debe aislar una raíz.
x 5  x 7 2 2

 x 5 2   x7 2 2
x 5  x 74 x 7 4 Ordenando
 16  4 x  7 ()2
16 = x + 7
x=9
Comprobando:
Si x = 9 entonces:
x5  x7 2  95  97 2
 4  16  2
 242  0
Por lo tanto x = 9 es la solución de la ecuación.
EJERCICIOS PROPUESTOS
Resuelve cada una de las siguientes Ecuaciones Irracionales:
1. x3  2 2. 2x  1  5
3. x3  x5  2 4. x  3  2 2x  4  5
5. 2 x3 4  2 3 6. 13  5  3 x  1  4
7. 5x  3x  2 8. 5  2x  1  14
9. 2 x  5  3 x  6  28
Contenido: Raíces Cuadradas y Cúbicas Ecuación Irracional y Ecuación exponencial
1. Si a = 3 y b = 4 entonces el valor de b2  a2 es:
A) 1 B) 5 C) 7 D) 7 E) -7
3 2
2. Si a = 1, b = 6, c = 3, entonces b  2c - 3a es igual a :
3
A) 2 B) 5 C) 3 D) 3 E) 0
3
3. 64 = ?
3 6 6 3
A) 2 B) 16 C) 2 D) 8 E) 4
4. a 2 b 3c 4 = ?
A) abc b B) a2bc2 b C) abc c D) abc2 E) abc2 c
3 15 9
5. Al simplificar a b se obtiene:
A) a b12 6
B) 5 3
a b C) a 5b 3 D) a12b 6 E) a12b9
n nm
6. a = ?
1 1 m
A) a m B) a n C) an D) an E) am
Profesor: Joan Manuel Molina Sandoval

4. 1 3 1 1
6. 4   =?
81 27 9
1 1
A) B) C) 3 D) 1 E) otro
3 9
7. 3  2  2  18 = ?
A) 6 B) 36 C) 12 D) 6 6 E) 6 12
3
8. 25  3 5 =
A)
6
5 B)
6
25 C) 53 5 D) 565 E) 5
RACIONALIZAR:
-4 3 11
1)  2)  3) 3

8 4 7 3
x xy ab m2n
4)  5)  6) =
y x 3
a2b 4
m3n2
-5 7+ 5 7 5
7)  8)  9) 
2- 2 4- 5 3 5
Contenidos:
Resuelve las siguientes ecuaciones Irracionales, encontrando la(s) solución(es)
correcta(s).
 x 8  2  x 2  2x  1  9  x
 x  10  x  19  1  9 x  7  x  16 x  7  0
 3 x  1  5 x  16 x  1  x  x 8  2 x
6 8
 x 3  5  2 x  x 7 
x 3 x 7
Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales:
x 2 2x 3x 2x 1
 2 2  2 
64
 3 3 x 5  243  3 x 1  9 2 x  4  1
2 3 x 1  x 5 4 x 7
 0,125  2x  4  (0,0625 ) x 
 1
 
 8 
 
 16   256 
Profesor: Joan Manuel Molina Sandoval