El documento cubre conceptos básicos de funciones matemáticas, incluyendo el dominio, recorrido, continuidad, tipos de discontinuidades, tasa de variación media, y características como monotonía, curvatura, simetrías, y periodicidad. Se incluyen ejemplos prácticos y tipos de funciones elementales, como cuadráticas, exponenciales y logarítmicas, además de funciones especiales como la valor absoluto y las trigonométricas. También se describen los métodos para representar gráficamente estas funciones.

1. FUNCIONES
©: I. Leiva IES.ALBORÁN

2. CONCEPTOS
BÁSICOS

3. 3
DOMINIO DE UNA FUNCIÓN
Dominio de f :
Son los valores x
que tienen una
imagen (y sólo
una) y = f(x)
D(f) = R - { ± 2 } =
= (-∞,-2) U (-2,2) U (2,+∞)
D( f ) = {x∈R / ∃! y = f (x) ∈R }

4. 4
RECORRIDO DE UNA FUNCIÓN
Recorrido de f :
Son los valores y
que son imágenes
de algún valor x
(no siempre único)
Im(f) = ( - , - 1) U [ 1,+ )
I m( f ) = {y∈R / ∃ x ∈R tal que y = f (x) }
Practica

5. 5
CONTINUIDAD DE FUNCIONES
Una función es continua si su gráfica
puede dibujarse en un sólo trazo.
Es decir,sin levantar el lápiz del papel.
Una función es discontinua si su gráfica
está “rota”, si tiene agujeros o saltos.
No puede dibujarse en un sólo trazo.

6. 6
TIPOS DE DISCONTINUIDAD
1) Discontinua inevitable
de salto infinito.
2) Discontinua inevitable
de salto finito.

7. 7
TIPOS DE DISCONTINUIDAD
3) Discontinua evitable
de agujero.
4) Discontinua evitable
de punto desplazado.
Practica

8. 8
TASA DE VARIACIÓN MEDIA
Tasa de variación media
de una función f en un
intervalo [x , x'] es el
cociente incremental:
f(x') - f(x)
TVM = __________
x' - x
Es la pendiente de la recta
secante que pasa por los
puntos señalados
A( x, f(x)) y B( x', f(x'))
TVM ( f ,[ x , x' ]) =
f (x ´) − f (x)
x ' − x
=
Δ y
Δ x

9. 9
MONOTONÍA
x aumenta
yaumenta
Practica

10. 10
MONOTONÍA
x aumenta
ydisminuye
Practica

11. 11
extremos relativos:
máximos / mínimos
Monotonía de la función:
Intervalos de
crecimiento/decrecimiento
MONOTONÍA Y EXTREMOS
Máximos
relativos,
pero no absolutos
Mínimos
relativos,
pero no absolutos
crece crece crecedecrece
Practica
decrece

12. 12
CURVATURA
f es convexa si la recta tangente
en cada uno de los puntos está
por debajo de la gráfica.
Ej.: y = x2
f es cóncava si la recta tangente
en cada uno de los puntos está
por encima de la gráfica.
Ej.: y = -x2

13. 13
INFLEXIONES
En x = a hay una inflexión,
cuando la función presenta
distinta curvatura a izquierda
y a derecha de dicho valor.
Es decir,si la función cambia
de cóncava a convexa, o
de convexa a cóncava, al
pasar por la abscisa x = a.
cóncava convexa
Punto
de inflexión
Practica

14. 14
cortes con el eje OX:
y = 0  x ?
Son de la forma (x,0)
CORTES CON LOS EJES

15. 15
corte con el eje OY:
x = 0  y ?
Es de la forma (0,y)
CORTES CON LOS EJES

16. 16
SIMETRÍAS
f tiene simetría par o respecto al eje
OY si cumple:
f(-x) = f(x)
(abscisas opuestas tienen ordenadas
iguales)
f (x) = x
2
; g(x) =
2 x
4
+1
3 x
2
−4
; h(x) = cos x
Ejemplos:

17. 17
f tiene simetría impar o respecto al
origen O si cumple:
f(-x) = - f(x)
(abscisas opuestas tienen ordenadas
opuestas)
SIMETRÍAS
Practica
f (x) = x3
; g(x) =
2 x
3 x
2
−4
; h(x) = sen x
Ejemplos:

18. 18
PERIODICIDAD
f es periódica ,si cumple:
f(x + T) = f(x)
(T = período)
Practica

19. 19
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE
FUNCIONES
Para llegar a hacer la representación gráfica de una curva y = f(x) ,
debemos determinar previamente una serie de elementos fundamentales
que la caracterizan.
Si bien,según el tipo de función,el estudio previo puede ser más o
menos exhaustivo, como norma general se suelen estudiar los apartados
que a continuación se desarrollan.
Esquema para representar funcionesEsquema para representar funcionesEsquema para representar funcionesEsquema para representar funcionesEsquema para representar funciones-odt
Esquema para representar funciones-pdf

20. 20
FUNCIONES
ELEMENTALES

21. 21
FUNCIONES AFINES
Practica

22. 22
Practica
FUNCIONES CUADRÁTICAS

23. 23
D( f ) = R
continua en R
V (2.5 , −0.25)
mín. rel. y absol.
lim
x → + ∞
f (x) = + ∞ → rama parabólica
I m( f ) = [−0.25 ,+ ∞)
(−∞ ,2.5 )
decreciente
(2.5 ,+ ∞)
creciente
lim
x → − ∞
f (x) = + ∞ → rama parabólica
convexa en R
FUNCIONES CUADRÁTICAS

24. 24
FUNCIONES CUADRÁTICAS

25. 25
FUNCIONES CUADRÁTICAS
D( f ) = R
continua en R
V (1 , 9)
máx. rel. y absol.
lim
x → + ∞
f (x) =− ∞ → rama parabólica
I m( f ) = (−∞ ,9]
(−∞ ,1 )
creciente
( ,+ ∞)
decreciente
lim
x → − ∞
f (x) =− ∞ → rama parabólica
cóncava en R

26. 26
FUNCIONES A TROZOS

27. 27
FUNCIONES A TROZOS
D( f ) = R −{1}
discontinua evitable de agujero en x = 1
en x = 0
mín.rel. no absol.
lim
x → + ∞
f (x) =− ∞
I m( f ) = R
(−∞,0 )
decreciente
( 0 , 1 )
creciente
lim
x → − ∞
f (x) = + ∞ → rama parabólica
( 1 , 3 )
constante
( 3 ,+ ∞)
decreciente
en x = 3
máx.rel. no absol.
(−∞ ,1 )
convexa
(1 ,+ ∞ )
no tiene curvatura
no hay inflexiones
continua en R −{1}

28. 28
FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD
INVERSA
Practica
D( f ) = R−{0} = (−∞ ,0)∪(0,+ ∞)
no hay
extremos
continua en R−{0}
no hay
inflexiones
lim
x → + ∞
f (x) = 0+
→ AH : y = 0
I m( f ) = R−{0} = (−∞ ,0)∪(0,+ ∞)
(−∞ ,0)
cóncava
(0,+ ∞)
convexa
(− ∞ ,0)∪(0,+ ∞)
decreciente
discontinua inevitable de
salto infinito en x = 0
lim
x → − ∞
f (x) = 0−
→ AH : y = 0
lim
x → 0−
f (x) =− ∞ → AV : x = 0
lim
x → 0+
f (x) = + ∞ → AV : x = 0

29. 29
FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD
INVERSA
Practica
D( f ) = R−{0} = (−∞ ,0)∪(0,+ ∞)
no hay
extremos
continua en R−{0}
no hay
inflexiones
lim
x → + ∞
f (x) = 0−
→ AH : y = 0
I m( f ) = R−{0} = (−∞ ,0)∪(0,+ ∞)
(−∞ ,0)
convexa
(0,+ ∞)
cóncava
(− ∞ ,0)∪(0,+ ∞)
creciente
discontinua inevitable de
salto infinito en x = 0
lim
x → − ∞
f (x) = 0+
→ AH : y = 0
lim
x → 0−
f (x) = + ∞ → AV : x = 0
lim
x → 0+
f (x) =− ∞ → AV : x = 0

30. 30
Practica
D( f ) = {x∈R / x ⩾ 0 } = [0,+ ∞)
I m( f ) = [0,+ ∞)
(0,+ ∞)
creciente
(0,+ ∞)
cóncava
(0,0) mínimo
relativo y absoluto
no hay
máximo
continua en [0,+ ∞)
no hay
inflexiones
lim
x → + ∞
f (x) = + ∞ → rama parabólica
Análogamente, las propiedades de g(x)
FUNCIONES RADICALES

31. 31
D(h) = {x∈R / x ⩽ 0 } = (−∞ ,0]
I m(h) = [0,+ ∞)
(−∞,0)
decreciente
(− ∞,0)
cóncava
(0,0) mínimo
relativo y absoluto
no hay
máximo
continua en (−∞,0]
no hay
inflexiones
lim
x → −∞
h(x) = + ∞ → rama parabólica
Análogamente, las propiedades de j(x)
FUNCIONES RADICALES

32. 32
D( f ) = R I m( f ) = (0,+ ∞)
creciente en R
lim
x → + ∞
f (x) = + ∞ → rama parabólica
no corta al eje OX
corta al eje OY en (0,1)
convexa en R
continua en R
lim
x → −∞
f (x) = 0+
→ AH : y = 0
CASO 1 : a > 1
Practica
f (x) = ax
( a > 0 , a ≠ 1)
FUNCIONES EXPONENCIALES

33. 33
Practica
CASO 2 : 0 < a < 1 g(x) = ax
( a > 0 , a ≠ 1)
D(g) = R I m(g) = (0,+ ∞)
decreciente en R
lim
x → + ∞
g(x) = 0+
→ AH : y = 0
no corta al eje OX
corta al eje OY en (0,1)
convexa en R
continua en R
lim
x → −∞
g(x) = + ∞ → rama parabólica
FUNCIONES EXPONENCIALES

34. 34
FUNCIONES EXPONENCIALES
Dos funciones exponenciales
con bases inversas tienen
sus gráficas simétricas con
respecto al eje OY.

35. 35
D( f ) = (0,+ ∞) I m( f ) = R
creciente en (0,+ ∞)
lim
x → + ∞
f (x) = + ∞ → rama parabólica
no corta al eje OY
cóncava en (0,+ ∞)
continua en (0,+ ∞)
lim
x → 0+
f (x) =− ∞ → AV : x = 0
CASO 1 : a > 1 f (x) = loga
x ( a > 0 , a ≠ 1)
corta al eje OX en (1,0)
Practica
FUNCIONES LOGARÍTMICAS

36. 36
g (x) = loga
x ( a > 0 , a ≠ 1)CASO 2 : 0 < a < 1
Practica
D(g) = (0,+ ∞) I m(g) = R
decreciente en (0,+ ∞)
lim
x → + ∞
g(x) =− ∞ → rama parabólica
no corta al eje OY
convexa en (0,+ ∞)
continua en (0,+ ∞)
lim
x → 0+
g(x) = + ∞ → AV : x = 0
corta al eje OX en (1,0)
FUNCIONES LOGARÍTMICAS

37. 37
FUNCIONES LOGARÍTMICAS
Dos funciones logarítmicas
con bases inversas tienen
sus gráficas simétricas con
respecto al eje OX.

38. 38
Las gráficas de las funciones
exponencial y logarítmica
de la misma base son simétricas
respecto de la función identidad
( bisectriz del I-III cuadrantes ).
Esto significa que son funciones
recíprocas o inversas entre sí.
Practica
EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA

39. 39
FUNCIONES VALOR ABSOLUTO
Practica
g (x) =∣x∣=
{ x si x ≥ 0
−x si x < 0 }
Practica
D(g) = R
( 0 , 0 )
mín.rel. y abs.
continua en R
no tiene curvatura
no hay inflexiones
lim
x → + ∞
g (x) = + ∞
I m(g) = [ 0,+ ∞)
(−∞,0)
decreciente
lim
x → − ∞
g (x) = + ∞
(0,+ ∞)
creciente

40. 40
FUNCIONES PARTE ENTERA Y DECIMAL
Practica

41. 41
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

42. 42
FIN
Autora: Inmaculada Leiva