El documento resume conceptos fundamentales de la matemática como el rigor y la fortaleza que aporta esta disciplina. Explica la necesidad de la matemática en la educación y sus múltiples aplicaciones. Define conceptos clave como función, dominio, rango e introduce gráficas de funciones como la lineal, cuadrática, cúbica y radical.

1. TALLER DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS: FUNCIÓN CUADRÁTICA Y FUNCIÓN RACIONAL

9. PRODUCTO CARTESIANO Representa el conjunto de todos los posibles pares ordenados de elementos de la forma ( a, b ), donde a pertenece a A y b pertenece a B. Ejemplo: Si A = {1, 2, 3 } y B = {a , b, c }, entonces los productos cartesianos A × B = {(1, a ); (1, b ); (1, c ); (2, a ); (2, b ); (2, c ); (3, a ); (3, b ); (3, c )}. B × A = {( a, 1); (a , 2); ( a, 3); ( b, 1); ( b, 2); ( b, 3); ( c, 1); ( c, 2); ( c, 3)}. A × B ≠ B × A, pues el par (1, a ) es distinto del par ( a, 1).

10. RELACIÓN Dados dos conjuntos A y B una relación es un subconjunto del producto cartesiano A x B. Ejemplo: Si A = {1, 2, 3 } y B = {a , b, c } A × B = {(1, a ); (1, b ); (1, c ); (2, a ); (2, b ); (2, c ); (3, a ); (3, b ); (3, c )} R = {(1, a ); (1, b ); (2, c ); (3, b )} Conjunto A: Conjunto de partida de la relación. Conjunto B: Conjunto de llegada de la relación

11. FUNCIÓN Es una relación entre dos conjuntos A y B tal que a cada elemento del conjunto A le corresponde un único elemento del conjunto B . Se denota por:

13. FUNCIÓN INYECTIVA Sea f una función f es inyectiva si y sólo si para todos , implica . , ,

14. FUNCIÓN SOBREYECTIVA Sea f una función f es sobreyectiva si y sólo si .

15. FUNCIÓN BIYECTIVA Sea f una función f es biyectiva si f es inyectiva y sobreyectiva a la vez.

16. INVERSA DE UNA FUNCIÓN Una función tiene inversa si y solo si es función biyectiva

18. Una función puede darse mediante una tabla. Ejemplo: en la tabla siguiente se da la medida de un feto (en cm) dependiendo del tiempo de gestación (en meses). A cada mes de gestación le corresponde una longitud determinada. (2, 4) significa que cuando el feto tiene 2 meses, mide 4 cm. (6, 29) indica que a los 6 meses el feto mide 29 cm . La longitud del feto está en función de su tiempo de gestación.

19. La fórmula f(x) = 3x 2 + 1 define una función. f(x) = 3x 2 + 1 Fijada la variable independiente, por ejemplo x = 5 , el valor que toma la variable dependiente es f(5) = 3 · 5 2 + 1 = 76. ( La imagen de 5 es 76; y es única , pues la operación 3 · 5 2 + 1 es única.) Si x = 0, f(0) = 1. Si x = 1, f(1) = 4. Si x = –2, f(–2) = 13. En toda función a cada valor de la variable independiente le corresponde un solo valor de la variable dependiente. x es la variable independiente f(x) es la variable dependiente

20. DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN Dominio de una función es el conjunto de números reales que puede tomar la variable independiente de tal forma que este resultado exista. Recorrido, Rango o Imagen de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente, es decir, es el conjunto de valores que puede alcanzar la función. DOMINIO RANGO FUNCIÓN INSUMOS PRODUCTO FABRICA 5 f(x) : 3x 2 + 1 76 1 4; 0 1; -2 13; {-2; 0; 1; 5} { }

21. ¿CUANDO UNA GRAFICA REPRESENTA UNA FUNCIÓN ? X Y 2 4 – 4 2 4 – 4 Relación Si al trazar una recta paralela al eje vertical Coincide con la grafica en mas de un punto Entonces la grafica no es una función X Y

22. ¿CUANDO UNA FUNCIÓN ES INYECTIVA, SOBREYECTIVA? X Y 2 4 – 2 Función 4 – 2 2 No están relacionados estos elementos Si al trazar una recta paralela al eje horizontal coincide con la grafica en mas de un punto , Entonces no es una función inyectiva. X Y

23. FUNCIÓN PAR Una Función es Par si su grafica es simétrica al eje y . Una Función es Par si y solo si; f ( x ) = f ( - x ) 2 - 2 4 f (x) = x 2 f ( 2 ) = f ( - 2 ) 4 = 4 X Y

24. FUNCIÓN IMPAR Una Función es Impar si su grafica es centralmente simétrica con respecto al origen. Una Función es Impar si y solo si; f ( - x ) = - f ( x ) f (x) = x 3 f ( - 2 ) = - f ( 2 ) ( - 8 ) = - ( 8 ) - 8 = - 8 X Y

25. FUNCIÓN CRECIENTE x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) [ x 1 < x 2 ]  [ f (x 1 ) < f (x 2 ) ] X Y

26. FUNCIÓN DECRECIENTE x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) [ x 1 > x 2 ]  [ f (x 1 ) < f (x 2 ) ] X Y

27. MONOTONIA DE UNA FUNCIÓN La monotonía de una función consiste en analizar los intervalos donde la función es creciente o decreciente CRECE CRECE DECRECE FUNCIÓN CRECIENTE FUNCIÓN DECRECIENTE X Y X Y

35. ANALISIS DE LA GRAFICA DE UNA FUNCIÓN 1.- Encuentre: a.) f (- 6) b.) f (0) c.) f ( -7 ) d.) f ( 4 ) e.) f ( 5 – 3 ) f.) f (- 3) + f (5) = 3 = 2 NO EXISTE = - 5 F ( 2 ) = 1 0 + 1 = 1

36. ANALISIS DE LA GRAFICA DE UNA FUNCIÓN 2.- Encuentre los ceros de f(x): X 1 = - 5 X 2 = - 3 X 3 ≈ 4,5 X 4 ≈ 9,5

37. ANALISIS DE LA GRAFICA DE UNA FUNCIÓN 3.- Intervalos donde decrece la función : ( - 7, - 4 ]  [ - 2, 4 )  ( 8, 10 ] 4.- Intervalos donde crece la función : [ - 4, - 2 ]  [ 4, 8 ) 5.- Intervalos donde la función es constante: [ 6, 8 )

38. ANALISIS DE LA GRAFICA DE UNA FUNCIÓN 6.- Cuáles son las soluciones para la ecuación f(x) = -5: x 1 = 4 ; x 2 = 10 7.- Cuántas soluciones tiene la ecuación f(x) = 1: 5 Soluciones 8.- Cuántas soluciones tiene la ecuación f(x) = 3: Infinitas Soluciones

39. ANALISIS DE LA GRAFICA DE UNA FUNCIÓN 9.- Cual es el rango de la función: [ - 5 ; 8 ) 10.- Cual es el dominio de la función: ( - 7 ; 10 ] - { 8 }

40. GRAFICA DE UNA FUNCIÓN LINEAL f(x) = x f(x) = - x X Y X Y

41. GRAFICA DE UNA FUNCIÓN CUADRATICA f(x) = x 2 f(x) = - x 2 X Y X Y

42. GRAFICA DE UNA FUNCIÓN CUBICA f(x) = x 3 f(x) = - x 3 X Y X Y

43. GRAFICA DE UNA FUNCIÓN HIPERBOLA EQUILATERA X Y X Y

44. GRAFICA DE UNA FUNCIÓN RADICAL X Y X Y

45. GRAFICA DE UNA FUNCIÓN RADICAL X Y X Y

46. GRAFICA DE UNA FUNCIÓN CONSTANTE f(x) = k ; k  R f(x) = - k ; k  R k - k X Y X Y

47. GRAFICA DE UNA FUNCIÓN MODULAR O VALOR ABSOLUTO x si x  0 - x si x < 0  x  = Definición f(x) =  x  X Y X Y f(x)= x X Y f(x)=- x

48. GRAFICA DE LA FUNCIÓN ENTERO MAYOR

49. TRASLACIÓN DE UNA FUNCIÓN DE VARIABLE REAL f(x) : x 2 Función cuadrática f(x) : (x+a) 2 La función se traslada en el eje x. x + a = 0 x= - a f(x) : (x+a) 2 - b La función se traslada en el eje y. f(x) :  (x+a) 2 – b  La función modular la convierte en una función positiva con respecto al eje y. X Y X Y -a X Y -a -b X Y -a -b b

50. BOSQUEJO DE LA GRAFICA DE UNA FUNCIÓN DE VARIABLE REAL

51. BOSQUEJO DE LA GRAFICA DE UNA FUNCIÓN DE VARIABLE REAL

52. DOCUMENTO CREADO POR EL STAFF DE FACILITADORES DEL GRUPO EDITORIAL NORMA. Ms. Eladio Oliveros Sauco. Ms. Roberto Álvarez Martínez. Lcdo. I llich Álvarez Álvarez. Dr. Víctor Manuel Barros. Ing. Pablo Barba Ramos. Lcdo. Alberto Cevallos Vitares. Lcdo. Francisco Cruz Cruz. Ing. Sandra Gonzales Leiva. Ing. David Manzo Vera. Dr. Aníbal Matteucci López. Ing. Hugo Pérez Benítes. Lcdo. José Simbaña Cevallos. COORDINADOR GENERAL Ing. Sandra González Leiva. DISEÑO GRAFICO DEL DOCUMENTO Ing. Hugo Pérez Benítes.