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Gráficas y Funciones

     GEMA1200
Plano Cartesiano
                                    y
                               5
     Cuadrante II              4            Cuadrante I
                               3
                               2
                                        origen
                               1
                                                                   x
-5    -4     -3      -2   -1            1        2   3     4   5
                               -1
                               -2
                               -3
     Cuadrante III                          Cuadrante IV
                               -4
                               -5
Gráficas
                                                   y
Grafica los pares                             5
                                              4
ordenados:
                                              3
1) A(2,3)                                     2
2) B(-1,2)                                    1
                                                                           x
3) C(-2,-1)         -5    -4   -3   -2   -1            1   2   3   4   5
                                              -1
4) D(0,-3)
                                              -2
                                              -3
                                              -4
                                              -5
Gráficas
                                               y
Determina las                             5
                                          4
coordenadas de                   B        3
cada punto.                               2
                                                                A
                                          1
                                                                            x
                 -5   -4   -3   -2   -1            1   2
                                          -1               E3   4       5

                                          -2
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                                                                    D
                            C             -4
                                          -5
Gráficas
• Forma Estándar de Ecuaciones Lineales
  – Cualquier ecuación que pueda ser escrita de la
    forma Ax + By = C es una ecuación lineal en dos
    variables y la gráfica de sus soluciones es una línea
    recta.
  – La forma Ax + By = C es llamada la forma estándar
    de la ecuación donde A, B y C son enteros, A y B
    no son ambos cero y A es no negativo.
Gráficas
• Grafica las soluciones de x + 2y = 8.
                                          9 y
                                          8
                                          7
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                                          1                                         x
                -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-1    1   2   3   4   5   6   7   8   9
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Gráficas
• Grafica las soluciones de y = ½x – 1.
                                          9 y
                                          8
                                          7
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                                          5
                                          4
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                                          2
                                          1                                         x
                -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-1    1   2   3   4   5   6   7   8   9
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Gráficas
• Graficando Utilizando Interceptos
  – Procedimiento
     • Para encontrar el intercepto en x, colocamos y = 0 y
       encontramos x: (x,0) es el intercepto en x.
     • Para encontrar el intercepto en y, colocamos x = 0 y
       encontramos y: (0,y) es el intercepto en y.
Graficas
• Encuentra los interceptos y luego grafica la
  recta:                        9 y
                                8
1. y = 3x +6                    7
                                6
                                         5
                                         4
                                         3
                                         2
                                         1                                        x
               -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-1   1   2   3   4   5   6   7   8   9
                                         -2
                                         -3
                                         -4
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Graficas
• Encuentra los interceptos y luego grafica la
  recta:                        9 y
                                8
2. 2x + 3y = 0                  7
                                6
                                         5
                                         4
                                         3
                                         2
                                         1                                        x
               -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-1   1   2   3   4   5   6   7   8   9
                                         -2
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Gráficas
• Graficando Rectas Horizontales y Verticales
  – La gráfica de todas las soluciones de y = C es una
    recta horizontal.
  – La gráfica de todas las soluciones de x = C es una
    recta vertical.
Gráficas
• Grafica las soluciones de:
1. 2x = 8                                 9 y
                                          8
2. 5y = -10                               7
                                          6
                                          5
3. 3x = -9                                4
                                          3
                                          2
4. -2y = -4                               1                                         x
                -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-1    1   2   3   4   5   6   7   8   9
                                          -2
                                          -3
                                          -4
                                          -5
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Gráficas
• Graficando Ecuaciones No – Lineales
1. Grafica las soluciones de y = x2 + 3
                                          9 y
                                          8
                                          7
                                          6
                                          5
                                          4
                                          3
                                          2
                                          1                                         x
                -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-1    1   2   3   4   5   6   7   8   9
                                          -2
                                          -3
                                          -4
                                          -5
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Gráficas
• Graficando Ecuaciones No – Lineales
2. Grafica las soluciones de y = -ǀxǀ
                                         9 y
                                         8
                                         7
                                         6
                                         5
                                         4
                                         3
                                         2
                                         1                                         x
               -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-1    1   2   3   4   5   6   7   8   9
                                         -2
                                         -3
                                         -4
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                                         -9
Gráficas
• Graficando Ecuaciones No – Lineales
3. Grafica las soluciones de y = 2/x
                                         9 y
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                                         5
                                         4
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                                         1                                         x
               -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-1    1   2   3   4   5   6   7   8   9
                                         -2
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                                         -5
                                         -6
                                         -7
                                         -8
                                         -9
Utilizando Pendientes para Graficar
                Rectas
• Definición de Pendiente

    Si A  x 1 , y1  y B  x2 , y2  son dos puntos distintos
    en una recta L (que no es paralela al eje de y ),
    entonces la pendiente de L, denotada por m, es
        y2  y1
    m
         x2  x1
Utilizando Pendientes para Graficar
                Rectas
• Encuentra la pendiente de la recta que pasa a
  través de los puntos dados.
1. (-3, 1), (-1, -2)
2. (-1, 5), (-1, 6)
3. (1, 1), (2, 3)
4. (3, 4), (1, 4)
Utilizando Pendientes para Graficar
                Rectas
• Si una recta tiene pendiente positiva la gráfica
  sube de izquierda a derecha.
• Si una recta tiene pendiente negativa la
  gráfica baja de izquierda a derecha.
• Si una recta tiene pendiente cero la gráfica es
  una recta horizontal.
• Si una recta tiene pendiente indefinida la
  gráfica es una recta vertical.
Utilizando Pendientes para Graficar
                Rectas
• Rectas Paralelas y Perpendiculares.
  – Dos rectas no-verticales L1 y L2 con pendientes m1
    y m2 son paralelas si y solamente si m1 = m2.
  – Dos rectas L1 y L2 con pendientes m1 y m2 son
    perpendiculares si y solamente si m1 = -(1/m2).
Utilizando Pendientes para Graficar
                Rectas
• Una recta L1 tiene pendiente 2/3, determina:
  a. Si la recta que pasa por los puntos (5,1) y
     (8,3) es paralela o perpendicular a L1.
  b. Si la recta que pasa por los puntos (-1,-4) y
     (-3,-1) es paralela o perpendicular a L1.
Utilizando Pendientes para Graficar
                Rectas
• Graficando Rectas Utilizando la Pendiente y un Punto.
   1. Grafica la recta que tiene intercepto en y de 2 y
      pendiente -¾.
                                                    y
                                               5
                                               4
                                               3
                                               2
                                               1
                                                                            x
                      -5   -4   -3   -2   -1            1   2   3   4   5
                                               -1
                                               -2
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Utilizando Pendientes para Graficar
                Rectas
• Graficando Rectas Utilizando la Pendiente y un Punto.
   2. Grafica la recta con pendiente 3 y que pasa por el punto
      (-2,1).
                                                    y
                                               5
                                               4
                                               3
                                               2
                                               1
                                                                            x
                      -5   -4   -3   -2   -1            1   2   3   4   5
                                               -1
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Utilizando Pendientes para Graficar
                Rectas
• Forma Pendiente-Intercepto de una Ecuación
  Lineal

              y  mx  b
                                 intercepto en y
      pendiente
Utilizando Pendientes para Graficar
                Rectas
• Dadas las siguientes ecuaciones lineales,
  encuentra la pendiente y el intercepto en y de
  cada una.
  1. y = 5x – 3
  2. -y = ¼ x + 2
  3. -3x + 2y = 7
Ecuaciones de Rectas
• La Forma Punto-Pendiente de una Recta

    La ecuación de la recta que pasa a través de
    los puntos  x1 , y1  y  x2 , y2  está dada por
                  y  y1  m  x  x1 
              y2  y1
    donde m          y  x2  x1  .
              x2  x1
Ecuaciones de Rectas
• Encontrando una ecuación dados dos puntos.
  1. Encuentra, escribe en forma estándar y grafica la
     ecuación de la recta que pasa por los puntos
     (5,2) y (6,4).
  2. Encuentra, escribe en forma estándar y grafica la
     ecuación de la recta que pasa por los puntos
     (3,1) y (4,3).
Ecuaciones de Rectas
• Encontrando una ecuación dado un punto y la
  pendiente.
  1. Encuentra, escribe en forma estándar y grafica la
     ecuación de la recta con pendiente m = -2 que
     pasa por el punto (3, 5).
  2. Encuentra, escribe en forma estándar y grafica la
     ecuación de la recta con pendiente m = -3 que
     pasa por el punto (1, 2).
Ecuaciones de Rectas
• Encontrando una ecuación dada la pendiente
  y el intercepto en y.
  1. Encuentra la forma pendiente-intercepto y
     grafica la ecuación de la recta con pendiente 5 e
     intercepto en y = 3.
  2. Encuentra la forma pendiente-intercepto y
     grafica la ecuación de la recta con pendiente 3 e
     intercepto en y = 2.
Ecuaciones de Rectas
• Encontrando la ecuación de una recta que pasa a través de
  un punto dado y paralela o perpendicular a una recta dada.
   1.    Encuentra la ecuación de la recta que pasa a través del punto
         (6, 1) y es:
        a)   Paralela a la recta y – 3x = 1. Escribe la ecuación en forma
             pendiente-intercepto.
        b)   Perpendicular a la recta y – 3x = 1. Escribe la ecuación en forma
             pendiente-intercepto.
   2.    Encuentra la ecuación de la recta que pasa a través del punto
         (4, 3) y es:
        a)   Paralela a la recta y + 2x = 7. Escribe la ecuación en forma
             pendiente-intercepto.
        b)   Perpendicular a la recta y + 2x = 7. Escribe la ecuación en forma
             pendiente-intercepto.

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  • 2. Plano Cartesiano y 5 Cuadrante II 4 Cuadrante I 3 2 origen 1 x -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 Cuadrante III Cuadrante IV -4 -5
  • 3. Gráficas y Grafica los pares 5 4 ordenados: 3 1) A(2,3) 2 2) B(-1,2) 1 x 3) C(-2,-1) -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -1 4) D(0,-3) -2 -3 -4 -5
  • 4. Gráficas y Determina las 5 4 coordenadas de B 3 cada punto. 2 A 1 x -5 -4 -3 -2 -1 1 2 -1 E3 4 5 -2 -3 D C -4 -5
  • 5. Gráficas • Forma Estándar de Ecuaciones Lineales – Cualquier ecuación que pueda ser escrita de la forma Ax + By = C es una ecuación lineal en dos variables y la gráfica de sus soluciones es una línea recta. – La forma Ax + By = C es llamada la forma estándar de la ecuación donde A, B y C son enteros, A y B no son ambos cero y A es no negativo.
  • 6. Gráficas • Grafica las soluciones de x + 2y = 8. 9 y 8 7 6 5 4 3 2 1 x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9
  • 7. Gráficas • Grafica las soluciones de y = ½x – 1. 9 y 8 7 6 5 4 3 2 1 x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9
  • 8. Gráficas • Graficando Utilizando Interceptos – Procedimiento • Para encontrar el intercepto en x, colocamos y = 0 y encontramos x: (x,0) es el intercepto en x. • Para encontrar el intercepto en y, colocamos x = 0 y encontramos y: (0,y) es el intercepto en y.
  • 9. Graficas • Encuentra los interceptos y luego grafica la recta: 9 y 8 1. y = 3x +6 7 6 5 4 3 2 1 x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9
  • 10. Graficas • Encuentra los interceptos y luego grafica la recta: 9 y 8 2. 2x + 3y = 0 7 6 5 4 3 2 1 x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9
  • 11. Gráficas • Graficando Rectas Horizontales y Verticales – La gráfica de todas las soluciones de y = C es una recta horizontal. – La gráfica de todas las soluciones de x = C es una recta vertical.
  • 12. Gráficas • Grafica las soluciones de: 1. 2x = 8 9 y 8 2. 5y = -10 7 6 5 3. 3x = -9 4 3 2 4. -2y = -4 1 x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9
  • 13. Gráficas • Graficando Ecuaciones No – Lineales 1. Grafica las soluciones de y = x2 + 3 9 y 8 7 6 5 4 3 2 1 x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9
  • 14. Gráficas • Graficando Ecuaciones No – Lineales 2. Grafica las soluciones de y = -ǀxǀ 9 y 8 7 6 5 4 3 2 1 x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9
  • 15. Gráficas • Graficando Ecuaciones No – Lineales 3. Grafica las soluciones de y = 2/x 9 y 8 7 6 5 4 3 2 1 x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9
  • 16. Utilizando Pendientes para Graficar Rectas • Definición de Pendiente Si A  x 1 , y1  y B  x2 , y2  son dos puntos distintos en una recta L (que no es paralela al eje de y ), entonces la pendiente de L, denotada por m, es y2  y1 m x2  x1
  • 17. Utilizando Pendientes para Graficar Rectas • Encuentra la pendiente de la recta que pasa a través de los puntos dados. 1. (-3, 1), (-1, -2) 2. (-1, 5), (-1, 6) 3. (1, 1), (2, 3) 4. (3, 4), (1, 4)
  • 18. Utilizando Pendientes para Graficar Rectas • Si una recta tiene pendiente positiva la gráfica sube de izquierda a derecha. • Si una recta tiene pendiente negativa la gráfica baja de izquierda a derecha. • Si una recta tiene pendiente cero la gráfica es una recta horizontal. • Si una recta tiene pendiente indefinida la gráfica es una recta vertical.
  • 19. Utilizando Pendientes para Graficar Rectas • Rectas Paralelas y Perpendiculares. – Dos rectas no-verticales L1 y L2 con pendientes m1 y m2 son paralelas si y solamente si m1 = m2. – Dos rectas L1 y L2 con pendientes m1 y m2 son perpendiculares si y solamente si m1 = -(1/m2).
  • 20. Utilizando Pendientes para Graficar Rectas • Una recta L1 tiene pendiente 2/3, determina: a. Si la recta que pasa por los puntos (5,1) y (8,3) es paralela o perpendicular a L1. b. Si la recta que pasa por los puntos (-1,-4) y (-3,-1) es paralela o perpendicular a L1.
  • 21. Utilizando Pendientes para Graficar Rectas • Graficando Rectas Utilizando la Pendiente y un Punto. 1. Grafica la recta que tiene intercepto en y de 2 y pendiente -¾. y 5 4 3 2 1 x -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5
  • 22. Utilizando Pendientes para Graficar Rectas • Graficando Rectas Utilizando la Pendiente y un Punto. 2. Grafica la recta con pendiente 3 y que pasa por el punto (-2,1). y 5 4 3 2 1 x -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5
  • 23. Utilizando Pendientes para Graficar Rectas • Forma Pendiente-Intercepto de una Ecuación Lineal y  mx  b intercepto en y pendiente
  • 24. Utilizando Pendientes para Graficar Rectas • Dadas las siguientes ecuaciones lineales, encuentra la pendiente y el intercepto en y de cada una. 1. y = 5x – 3 2. -y = ¼ x + 2 3. -3x + 2y = 7
  • 25. Ecuaciones de Rectas • La Forma Punto-Pendiente de una Recta La ecuación de la recta que pasa a través de los puntos  x1 , y1  y  x2 , y2  está dada por y  y1  m  x  x1  y2  y1 donde m  y  x2  x1  . x2  x1
  • 26. Ecuaciones de Rectas • Encontrando una ecuación dados dos puntos. 1. Encuentra, escribe en forma estándar y grafica la ecuación de la recta que pasa por los puntos (5,2) y (6,4). 2. Encuentra, escribe en forma estándar y grafica la ecuación de la recta que pasa por los puntos (3,1) y (4,3).
  • 27. Ecuaciones de Rectas • Encontrando una ecuación dado un punto y la pendiente. 1. Encuentra, escribe en forma estándar y grafica la ecuación de la recta con pendiente m = -2 que pasa por el punto (3, 5). 2. Encuentra, escribe en forma estándar y grafica la ecuación de la recta con pendiente m = -3 que pasa por el punto (1, 2).
  • 28. Ecuaciones de Rectas • Encontrando una ecuación dada la pendiente y el intercepto en y. 1. Encuentra la forma pendiente-intercepto y grafica la ecuación de la recta con pendiente 5 e intercepto en y = 3. 2. Encuentra la forma pendiente-intercepto y grafica la ecuación de la recta con pendiente 3 e intercepto en y = 2.
  • 29. Ecuaciones de Rectas • Encontrando la ecuación de una recta que pasa a través de un punto dado y paralela o perpendicular a una recta dada. 1. Encuentra la ecuación de la recta que pasa a través del punto (6, 1) y es: a) Paralela a la recta y – 3x = 1. Escribe la ecuación en forma pendiente-intercepto. b) Perpendicular a la recta y – 3x = 1. Escribe la ecuación en forma pendiente-intercepto. 2. Encuentra la ecuación de la recta que pasa a través del punto (4, 3) y es: a) Paralela a la recta y + 2x = 7. Escribe la ecuación en forma pendiente-intercepto. b) Perpendicular a la recta y + 2x = 7. Escribe la ecuación en forma pendiente-intercepto.