Este documento presenta información sobre sistemas de ecuaciones lineales y matrices. Explica dos métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales: el algoritmo de Gauss y el algoritmo de Gauss-Jordan. También describe transformaciones elementales de filas que pueden aplicarse a una matriz. Finalmente, resuelve ejemplos numéricos usando ambos métodos.
El documento presenta una guía sobre distintos temas de matemáticas para el primer semestre. Incluye orden de operaciones, fracciones, proporcionalidad directa e inversa, sucesiones aritméticas y geométricas, exponentes, polinomios, factorización y ecuaciones lineales.
Este documento presenta varios ejercicios de álgebra que involucran operaciones con radicales. En la primera sección, se piden simplificar radicales como 12 3600 y 10 10000. Luego, se pide expresar potencias como raíces, como 4 1-a. Finalmente, se explican las reglas para sumar y restar radicales semejantes.
Este documento presenta una lista de integrales indefinidas que deben ser calculadas. Contiene más de 50 integrales que involucran funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas y raíces cuadradas. El objetivo es practicar el cálculo de integrales indefinidas utilizando las propiedades básicas de la integración.
Este documento presenta un curso de ecuaciones diferenciales lineales de orden superior. Se divide en cinco partes que cubren: 1) dependencia e independencia lineal de funciones, 2) solución de ecuaciones diferenciales de orden superior, 3) reducción de orden, 4) ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes, y 5) método de coeficientes indeterminados. Contiene 75 ejercicios para practicar estos conceptos.
Este documento contiene las soluciones a un examen de matemáticas de 2o de bachillerato. La primera sección trata de sistemas de ecuaciones lineales y matrices. La segunda sección presenta un problema sobre la compra semanal de helados de diferentes sabores. La tercera sección analiza la compatibilidad de un sistema de ecuaciones según el valor de un parámetro. La cuarta sección resuelve una ecuación que involucra matrices.
Este documento presenta la resolución de varios ejercicios de inecuaciones de primer y segundo grado con una o dos incógnitas. Se explican los pasos para resolver inecuaciones individuales y sistemas de inecuaciones, incluyendo la representación gráfica de las soluciones.
Este documento describe los conceptos básicos de las matrices, incluyendo: (1) las definiciones de matriz, elementos y tamaño; (2) ejemplos de diferentes tipos de matrices como cuadradas, filas, columnas e identidad; y (3) el uso de matrices para representar y resolver sistemas de ecuaciones lineales a través de operaciones elementales entre filas.
Este documento presenta una colección de problemas resueltos de álgebra lineal y cálculo propuestos en exámenes de la asignatura Matemáticas I en la Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales de la Universidad del País Vasco entre 2001 y 2010. Los problemas están organizados en cinco secciones que cubren temas como matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales, espacios vectoriales, aplicaciones lineales e integración. El documento proporciona los conocimientos básicos de álgebra lineal y
El documento presenta una guía sobre distintos temas de matemáticas para el primer semestre. Incluye orden de operaciones, fracciones, proporcionalidad directa e inversa, sucesiones aritméticas y geométricas, exponentes, polinomios, factorización y ecuaciones lineales.
Este documento presenta varios ejercicios de álgebra que involucran operaciones con radicales. En la primera sección, se piden simplificar radicales como 12 3600 y 10 10000. Luego, se pide expresar potencias como raíces, como 4 1-a. Finalmente, se explican las reglas para sumar y restar radicales semejantes.
Este documento presenta una lista de integrales indefinidas que deben ser calculadas. Contiene más de 50 integrales que involucran funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas y raíces cuadradas. El objetivo es practicar el cálculo de integrales indefinidas utilizando las propiedades básicas de la integración.
Este documento presenta un curso de ecuaciones diferenciales lineales de orden superior. Se divide en cinco partes que cubren: 1) dependencia e independencia lineal de funciones, 2) solución de ecuaciones diferenciales de orden superior, 3) reducción de orden, 4) ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes, y 5) método de coeficientes indeterminados. Contiene 75 ejercicios para practicar estos conceptos.
Este documento contiene las soluciones a un examen de matemáticas de 2o de bachillerato. La primera sección trata de sistemas de ecuaciones lineales y matrices. La segunda sección presenta un problema sobre la compra semanal de helados de diferentes sabores. La tercera sección analiza la compatibilidad de un sistema de ecuaciones según el valor de un parámetro. La cuarta sección resuelve una ecuación que involucra matrices.
Este documento presenta la resolución de varios ejercicios de inecuaciones de primer y segundo grado con una o dos incógnitas. Se explican los pasos para resolver inecuaciones individuales y sistemas de inecuaciones, incluyendo la representación gráfica de las soluciones.
Este documento describe los conceptos básicos de las matrices, incluyendo: (1) las definiciones de matriz, elementos y tamaño; (2) ejemplos de diferentes tipos de matrices como cuadradas, filas, columnas e identidad; y (3) el uso de matrices para representar y resolver sistemas de ecuaciones lineales a través de operaciones elementales entre filas.
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Este documento presenta varios sistemas de ecuaciones lineales y solicita determinar si son compatibles o incompatibles, determinados o indeterminados, para diferentes valores de las constantes k y a. También pide resolver los sistemas usando los métodos de Gauss y Gauss-Jordan. Finalmente, presenta otros sistemas y pide determinar para qué valores de b tienen soluciones no triviales, y demostrar una propiedad sobre las soluciones de un sistema particular.
Este documento presenta una serie de ejercicios de resolución de inecuaciones de primer grado y representación de conjuntos solución en la recta real. Incluye ejercicios explicativos y propuestos para resolver en clase y de tarea. Algunos ejercicios implican situaciones reales como el peso de una camioneta o la edad de una persona.
Examen individual on line i 2017 ii (2)Klara Hoelzl
El documento presenta tres problemas de cálculo diferencial resueltos por un estudiante. En el primer problema, se demuestra que una función satisface la ecuación de Laplace. En el segundo problema, se verifica que una función no satisface una ecuación dada. En el tercer problema, se pide hallar cuánto debe alargarse el radio de un sector circular para que su área no varíe al disminuir su ángulo central en un grado.
Se resolvieron ejercicios sobre pendientes para demostrar si dos rectas son paralelas o ,perpendiculares, tambien se encuentra el ángulo entre dos rectas, mediante pendientes a si como problemas aplicados a la vida cotidiana utilizando criterios de pendientes.
1) La programación cuadrática minimiza funciones cuadráticas sujetas a restricciones lineales. 2) Se presentan ejemplos de cómo reconocer ecuaciones de circunferencias, elipses, hipérbolas y parábolas. 3) Se explica el algoritmo de ramificación y acotamiento para obtener soluciones enteras de problemas de programación cuadrática mediante la división del espacio de soluciones y el establecimiento de límites.
Este documento presenta la resolución de varios sistemas de ecuaciones con dos incógnitas utilizando el método de reducción. Se simplifican las ecuaciones, se forman sistemas con las nuevas expresiones y se resuelven para encontrar los puntos de intersección de las rectas representadas. En todos los casos, el sistema tiene una única solución, por lo que se concluye que son sistemas compatibles determinados.
1. El documento presenta diferentes métodos para resolver ecuaciones cuadráticas, incluyendo factorización, raíz cuadrada, completar el cuadrado y la fórmula cuadrática.
2. Se explican los procedimientos para cada método y se proporcionan ejemplos resueltos.
3. El documento concluye con ejercicios propuestos para que el lector aplique cada uno de los métodos.
1) El documento presenta ejercicios relacionados con cálculo diferencial e integral múltiple, incluyendo el cálculo de jacobianos, áreas y volúmenes limitados por funciones implícitas y explícitas mediante el uso de coordenadas cartesianas, polares, cilíndricas y esféricas.
2) Se demuestra la equivalencia entre el jacobiano de transformación de coordenadas cartesianas a polares y el de coordenadas cartesianas a cilíndricas.
3) Se calculan áreas y volúmenes median
Este documento presenta cuatro temas de matemáticas para estudiantes de 11° grado de letras: matrices, determinantes de orden 2 y 3, números complejos y distancia entre puntos. Explica conceptos como matrices, sus tipos y operaciones. También define determinantes de orden 2 y 3, resolviéndolos mediante la regla de Sarrus. Incluye ejemplos y actividades prácticas para cada tema.
Este documento presenta ejemplos resueltos de ecuaciones con radicales. Explica los pasos para resolver este tipo de ecuaciones, que incluyen racionalizar elevando ambos lados al cuadrado para eliminar los radicales, y luego resolver la ecuación resultante para encontrar las posibles soluciones. También advierte sobre las "raíces extrañas" que no son soluciones válidas de la ecuación original. Finalmente, proporciona 20 ejercicios adicionales para que el lector practique resolviendo ecuaciones con radicales.
Este documento presenta ejemplos resueltos de ecuaciones con radicales. Explica los pasos para resolver este tipo de ecuaciones, que incluyen racionalizar elevando ambos lados al cuadrado para eliminar los radicales, y luego resolver la ecuación resultante para encontrar las posibles soluciones. También advierte sobre las "raíces extrañas" que no son soluciones válidas de la ecuación original. Finalmente, proporciona 20 ejercicios adicionales para que el lector practique resolviendo ecuaciones con radicales.
El documento describe el método de Cholesky para descomponer una matriz simétrica definida positiva en el producto de una matriz triangular inferior y su transpuesta. Explica que la descomposición se realiza resolviendo ecuaciones de recurrencia y muestra un ejemplo numérico para ilustrar los pasos. También discute aplicaciones del método en ingeniería.
Este documento presenta tres ejemplos resueltos de sistemas de ecuaciones con dos incógnitas. En cada ejemplo, se muestra la resolución del sistema mediante dos métodos: sustitución y reducción. Se obtienen las soluciones comunes a ambas ecuaciones y se verifica geométricamente que representan la intersección de dos rectas.
Este documento presenta los pasos para resolver una integral racional mediante el método de fracciones parciales. Se descompone la fracción racional en una suma de fracciones simples usando sustitución de puntos críticos para determinar los coeficientes. Luego se integra cada fracción de forma independiente y se combinan los resultados.
La regla de Cramer puede usarse para determinar si un sistema de ecuaciones lineales tiene solución única, múltiple o es inconsistente. Se aplica a sistemas donde el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas y el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero. Para los dos sistemas de ecuaciones dados, la regla de Cramer muestra que ambos tienen solución única ya que cumplen estas condiciones y sus determinantes son distintos de cero.
Este documento presenta varios ejemplos resueltos de sistemas de ecuaciones con dos incógnitas utilizando diferentes métodos como reducción, sustitución e igualación. Se muestran sistemas compatibles e incompatibles y su resolución paso a paso con cálculos algebraicos y comprobación geométrica de las soluciones.
Ecuaciones Diferenciales y problemas con valores en la frontera Joe Arroyo Suárez
El documento presenta información sobre ecuaciones diferenciales ordinarias de variable separable impartidas en la Facultad de Ingeniería Civil de la Universidad Nacional "Santiago Antunez de Mayolo". Incluye definiciones, ejemplos y problemas resueltos sobre ecuaciones diferenciales de variable separable y reductibles a variables separables.
Este documento describe el método de eliminación gaussiana para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que el método consta de dos fases: eliminación de las incógnitas hacia adelante para obtener un sistema triangular superior, y luego sustitución hacia atrás para encontrar la solución. También incluye un ejemplo numérico resuelto paso a paso y las instrucciones para implementar el método utilizando Excel.
Este documento presenta información sobre sistemas de ecuaciones, incluyendo definiciones, métodos para resolver sistemas de 2 ecuaciones (gráfico, sustitución, eliminación), y ejemplos. El autor también proporciona objetivos de aprendizaje relacionados con sistemas de ecuaciones y aplicaciones de estos conceptos.
1. El documento describe el método de igualación y sustitución para resolver sistemas de ecuaciones, donde se despeja una incógnita y se sustituye en la otra ecuación para encontrar el otro valor. También presenta el método de reducción mediante adición y sustracción y el método de determinantes.
2. Se proveen ejemplos ilustrativos de cada método y las etapas a seguir para aplicarlos correctamente.
3. Los diferentes métodos permiten resolver sistemas de ecuaciones de dos incógnitas de forma algebraica.
Este documento presenta varios sistemas de ecuaciones lineales y solicita determinar si son compatibles o incompatibles, determinados o indeterminados, para diferentes valores de las constantes k y a. También pide resolver los sistemas usando los métodos de Gauss y Gauss-Jordan. Finalmente, presenta otros sistemas y pide determinar para qué valores de b tienen soluciones no triviales, y demostrar una propiedad sobre las soluciones de un sistema particular.
Este documento presenta una serie de ejercicios de resolución de inecuaciones de primer grado y representación de conjuntos solución en la recta real. Incluye ejercicios explicativos y propuestos para resolver en clase y de tarea. Algunos ejercicios implican situaciones reales como el peso de una camioneta o la edad de una persona.
Examen individual on line i 2017 ii (2)Klara Hoelzl
El documento presenta tres problemas de cálculo diferencial resueltos por un estudiante. En el primer problema, se demuestra que una función satisface la ecuación de Laplace. En el segundo problema, se verifica que una función no satisface una ecuación dada. En el tercer problema, se pide hallar cuánto debe alargarse el radio de un sector circular para que su área no varíe al disminuir su ángulo central en un grado.
Se resolvieron ejercicios sobre pendientes para demostrar si dos rectas son paralelas o ,perpendiculares, tambien se encuentra el ángulo entre dos rectas, mediante pendientes a si como problemas aplicados a la vida cotidiana utilizando criterios de pendientes.
1) La programación cuadrática minimiza funciones cuadráticas sujetas a restricciones lineales. 2) Se presentan ejemplos de cómo reconocer ecuaciones de circunferencias, elipses, hipérbolas y parábolas. 3) Se explica el algoritmo de ramificación y acotamiento para obtener soluciones enteras de problemas de programación cuadrática mediante la división del espacio de soluciones y el establecimiento de límites.
Este documento presenta la resolución de varios sistemas de ecuaciones con dos incógnitas utilizando el método de reducción. Se simplifican las ecuaciones, se forman sistemas con las nuevas expresiones y se resuelven para encontrar los puntos de intersección de las rectas representadas. En todos los casos, el sistema tiene una única solución, por lo que se concluye que son sistemas compatibles determinados.
1. El documento presenta diferentes métodos para resolver ecuaciones cuadráticas, incluyendo factorización, raíz cuadrada, completar el cuadrado y la fórmula cuadrática.
2. Se explican los procedimientos para cada método y se proporcionan ejemplos resueltos.
3. El documento concluye con ejercicios propuestos para que el lector aplique cada uno de los métodos.
1) El documento presenta ejercicios relacionados con cálculo diferencial e integral múltiple, incluyendo el cálculo de jacobianos, áreas y volúmenes limitados por funciones implícitas y explícitas mediante el uso de coordenadas cartesianas, polares, cilíndricas y esféricas.
2) Se demuestra la equivalencia entre el jacobiano de transformación de coordenadas cartesianas a polares y el de coordenadas cartesianas a cilíndricas.
3) Se calculan áreas y volúmenes median
Este documento presenta cuatro temas de matemáticas para estudiantes de 11° grado de letras: matrices, determinantes de orden 2 y 3, números complejos y distancia entre puntos. Explica conceptos como matrices, sus tipos y operaciones. También define determinantes de orden 2 y 3, resolviéndolos mediante la regla de Sarrus. Incluye ejemplos y actividades prácticas para cada tema.
Este documento presenta ejemplos resueltos de ecuaciones con radicales. Explica los pasos para resolver este tipo de ecuaciones, que incluyen racionalizar elevando ambos lados al cuadrado para eliminar los radicales, y luego resolver la ecuación resultante para encontrar las posibles soluciones. También advierte sobre las "raíces extrañas" que no son soluciones válidas de la ecuación original. Finalmente, proporciona 20 ejercicios adicionales para que el lector practique resolviendo ecuaciones con radicales.
Este documento presenta ejemplos resueltos de ecuaciones con radicales. Explica los pasos para resolver este tipo de ecuaciones, que incluyen racionalizar elevando ambos lados al cuadrado para eliminar los radicales, y luego resolver la ecuación resultante para encontrar las posibles soluciones. También advierte sobre las "raíces extrañas" que no son soluciones válidas de la ecuación original. Finalmente, proporciona 20 ejercicios adicionales para que el lector practique resolviendo ecuaciones con radicales.
El documento describe el método de Cholesky para descomponer una matriz simétrica definida positiva en el producto de una matriz triangular inferior y su transpuesta. Explica que la descomposición se realiza resolviendo ecuaciones de recurrencia y muestra un ejemplo numérico para ilustrar los pasos. También discute aplicaciones del método en ingeniería.
Este documento presenta tres ejemplos resueltos de sistemas de ecuaciones con dos incógnitas. En cada ejemplo, se muestra la resolución del sistema mediante dos métodos: sustitución y reducción. Se obtienen las soluciones comunes a ambas ecuaciones y se verifica geométricamente que representan la intersección de dos rectas.
Este documento presenta los pasos para resolver una integral racional mediante el método de fracciones parciales. Se descompone la fracción racional en una suma de fracciones simples usando sustitución de puntos críticos para determinar los coeficientes. Luego se integra cada fracción de forma independiente y se combinan los resultados.
La regla de Cramer puede usarse para determinar si un sistema de ecuaciones lineales tiene solución única, múltiple o es inconsistente. Se aplica a sistemas donde el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas y el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero. Para los dos sistemas de ecuaciones dados, la regla de Cramer muestra que ambos tienen solución única ya que cumplen estas condiciones y sus determinantes son distintos de cero.
Este documento presenta varios ejemplos resueltos de sistemas de ecuaciones con dos incógnitas utilizando diferentes métodos como reducción, sustitución e igualación. Se muestran sistemas compatibles e incompatibles y su resolución paso a paso con cálculos algebraicos y comprobación geométrica de las soluciones.
Ecuaciones Diferenciales y problemas con valores en la frontera Joe Arroyo Suárez
El documento presenta información sobre ecuaciones diferenciales ordinarias de variable separable impartidas en la Facultad de Ingeniería Civil de la Universidad Nacional "Santiago Antunez de Mayolo". Incluye definiciones, ejemplos y problemas resueltos sobre ecuaciones diferenciales de variable separable y reductibles a variables separables.
Este documento describe el método de eliminación gaussiana para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que el método consta de dos fases: eliminación de las incógnitas hacia adelante para obtener un sistema triangular superior, y luego sustitución hacia atrás para encontrar la solución. También incluye un ejemplo numérico resuelto paso a paso y las instrucciones para implementar el método utilizando Excel.
Este documento presenta información sobre sistemas de ecuaciones, incluyendo definiciones, métodos para resolver sistemas de 2 ecuaciones (gráfico, sustitución, eliminación), y ejemplos. El autor también proporciona objetivos de aprendizaje relacionados con sistemas de ecuaciones y aplicaciones de estos conceptos.
1. El documento describe el método de igualación y sustitución para resolver sistemas de ecuaciones, donde se despeja una incógnita y se sustituye en la otra ecuación para encontrar el otro valor. También presenta el método de reducción mediante adición y sustracción y el método de determinantes.
2. Se proveen ejemplos ilustrativos de cada método y las etapas a seguir para aplicarlos correctamente.
3. Los diferentes métodos permiten resolver sistemas de ecuaciones de dos incógnitas de forma algebraica.
Este documento describe diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo sustitución, igualación, reducción, gráfico y determinantes. Explica cada método a través de ejemplos numéricos y provee una guía de ejercicios para practicar los diferentes métodos.
Este documento presenta la resolución de dos sistemas de ecuaciones lineales a través de los métodos de eliminación de Gauss y Gauss-Jordán. En la primera sección, se resuelve un sistema de 4 ecuaciones y 4 incógnitas mediante el método de Gauss, obteniendo la solución w=2, x=-2, y=3, z=-1. En la segunda sección, se aplica el método de Gauss-Jordán para resolver un sistema de 4 ecuaciones y 4 incógnitas, transformando la matriz aumentada en una matriz identidad.
Este documento describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo métodos gráficos, la regla de Cramer, eliminación de incógnitas, Gauss simple, Gauss-Jordan, y Gauss-Jordan con pivoteo. Explica cada método a través de ejemplos numéricos para ilustrar los pasos de resolución.
Este documento describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo métodos gráficos, la regla de Cramer, eliminación de incógnitas, Gauss simple, Gauss-Jordan, y Gauss-Jordan con pivoteo. Explica cada método a través de ejemplos numéricos y diagramas para ilustrar los pasos de resolución.
Este documento presenta varios problemas relacionados con determinantes de orden 2. Explica cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales usando determinantes y calcula determinantes de matrices dadas. También muestra cómo encontrar menores, menores complementarios y adjuntos de elementos de una matriz.
Este documento presenta información sobre sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo definiciones, métodos de resolución y ejemplos resueltos. Explica que un sistema de ecuaciones lineales consta de dos o más ecuaciones donde cada una contiene al menos una variable y es lineal. Incluye métodos como sustitución, igualación y reducción para resolver sistemas. También analiza casos donde el sistema tiene una solución única, infinitas soluciones o ninguna solución.
Esta presentación comienza en un nivel básico de sistemas de ecuaciones, dando las definiciones oportunas, representación gráfica de sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas, sus métodos de resolución y termina en un nivel avanzado, dando sistemas de ecuaciones no lineales y sistemas de tres ecuaciones con dos incógnitas. Hay además multitud de ejercicios resueltos. Finalmente hay una pequeña colección de problemas, comenzando con problemas de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas, problemas de sistemas no lineales y problemas de sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas. Incluye además, un pequeño apartado de sistemas de ecuaciones exponenciales y logarítmicas.
El documento describe el método de eliminación gaussiana para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que el método consta de dos fases: eliminación de las incógnitas hacia adelante y sustitución hacia atrás. Luego presenta un ejemplo resuelto paso a paso usando este método para resolver un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas. Finalmente, describe cómo implementar el método usando Excel.
Este documento trata sobre sistemas de ecuaciones lineales. Explica conceptos como ecuaciones lineales de dos incógnitas, sistemas de ecuaciones lineales y sus soluciones. También describe métodos para representar sistemas gráficamente y clasificarlos, así como métodos para resolver sistemas como la sustitución.
Este documento explica el método de Gauss-Jordan para resolver sistemas de ecuaciones, incluyendo los pasos de escribir la matriz aumentada, aplicar transformaciones básicas como multiplicar renglones por escalares y sumarlos, y obtener una matriz identidad que proporciona la solución.
Este documento presenta una conferencia sobre sistemas de ecuaciones lineales y modelado matemático. Explica conceptos básicos como ecuaciones, sistemas de ecuaciones, ecuaciones lineales y métodos para resolver sistemas como el método de eliminación de Gauss. También presenta ejemplos resueltos de sistemas de ecuaciones lineales.
Este documento presenta la teoría de matrices, incluyendo notación matricial, operaciones elementales, eliminación gaussiana, y operaciones con matrices como suma, multiplicación y propiedades. Explica cómo usar matrices para representar y resolver sistemas de ecuaciones lineales, reduciendo las matrices a forma triangular superior mediante eliminación gaussiana.
Solución de sistemas de ecuaciones lineales.docxalbertoperozo123
Este documento resume diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo los métodos de Gauss-Jordan, Gauss y descomposición LU. Explica los pasos para aplicar cada método y resuelve un ejemplo paso a paso usando Gauss-Jordan para encontrar las soluciones x=1, y=-1, z=2.
El documento explica el método de Gauss-Jordan para resolver sistemas de ecuaciones, el cual involucra escribir la matriz aumentada del sistema, aplicar transformaciones básicas a la matriz para obtener una matriz identidad en el lado izquierdo, y luego usar esta matriz para determinar la solución del sistema.
¿Qué son las ecuaciones? Esta presentación recorre desde los conceptos mas básicos hasta las ecuaciones exponenciales y logarítmicas, además de una aplicación a la resolución de problemas. Ecuaciones de primer y segundo grado, ecuaciones polinómicas reducibles a ecuaciones de segundo grado, ecuaciones polinómicas en general, ecuaciones racionales e irracionales y ecuaciones exponenciales y logarítmicas. Problemas numéricos, problemas de edades, problemas de mezclas, problemas de móviles, problemas con figuras geométricas y problemas de calcular el tiempo en el interés compuesto.
El documento presenta el método para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales mediante el uso del operador diferencial. Se define el operador diferencial y cómo puede expresarse un sistema de ecuaciones diferenciales en términos de este operador. Luego, se aplica el método de eliminación para reducir el sistema a una sola ecuación diferencial de orden superior con coeficientes constantes. Finalmente, se resuelve un ejemplo numérico para ilustrar los pasos del método.
ESPERAMOS QUE ESTA INFOGRAFÍA SEA UNA HERRAMIENTA ÚTIL Y EDUCATIVA QUE INSPIRE A MÁS PERSONAS A ADENTRARSE EN EL APASIONANTE CAMPO DE LA INGENIERÍA CIVIŁ. ¡ACOMPAÑANOS EN ESTE VIAJE DE APRENDIZAJE Y DESCUBRIMIENTO
La energía radiante es una forma de energía que
se transmite en forma de ondas
electromagnéticas esta energía se propaga a
través del vacío y de ciertos medios materiales y
es fundamental en una variedad naturales y
tecnológicos
2. UNIDAD IV: Sistema de Ecuaciones Lineales
Matrices y Determinantes
4.1.2 Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales
Por Algoritmos Gauss y Gauss Jordan
Eliminación Gaussiana:
i) Se divide la primera ecuación si es necesario, entre una constante para hacer el
coeficiente de 𝑥 igual a 1.
ii) Se “eliminan” los términos de 𝑥 de la segunda y tercera ecuación.
iii) Se divide la segunda ecuación si es necesario, entre una constante para hacer el
coeficiente de 𝑦 igual a 1 y se usa la segunda ecuación para “eliminar” el término de
𝑦 de la tercera ecuación.
iv) Se divide la tercera ecuación si es necesario, entre una constante para hacer el
coeficiente de 𝑧 igual a 1, obteniendo el valor de 𝑧.
v) Después se usa la sustitución hacia atrás para despejar primero 𝑦 y después 𝑥.
2
3. Matriz de los coeficientes y matriz aumentada
Dada una matriz de un sistema de ecuaciones lineales, una matriz de un sistema
equivalente resulta si:
(1) Se intercambian dos renglones.
(2) se multiplica o divide un renglón por una constante diferente de cero.
(3) un múltiplo constante de un renglón se suma a otro renglón.
Sistema
Matriz de los
coeficientes
Matriz aumentada
3𝑥 − 2𝑦 − 3𝑧 = −1
2𝑥 + 3𝑦 + 4𝑧 = 6
4𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = 13
3 −2 −3
2 3 4
4 3 −2
3 − 2 − 3 − 1
2 3 4 6
4 3 − 2 13
UNIDAD IV: Sistema de Ecuaciones Lineales
Matrices y Determinantes
4.1.2 Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales
Por Algoritmos Gauss y Gauss Jordan
3
4. Transformaciones elementales de renglón de una matriz
Símbolo Significado
𝑅𝑖 ↔ 𝑅𝑗 Intercambia renglón 𝑖 y 𝑗
𝑘𝑅𝑖 → 𝑅𝑖 Multiplica renglón 𝑖 por 𝑘
𝑘𝑅𝑖 + 𝑅𝑗 → 𝑅𝑗 Suma 𝑘 veces el renglón 𝑖 a el renglón 𝑗
Eliminación Gaussiana:
Ejercicio 4.1.7 Resolver el sistema
2𝑥 − 3𝑦 + 2𝑧 = −3
−3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 1
4𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = 4
UNIDAD IV: Sistema de Ecuaciones Lineales
Matrices y Determinantes
4.1.2 Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales
Por Algoritmos Gauss y Gauss Jordan
4
5. 1 −
3
2
1 −
3
2
-3 2 1 1 3𝑅1 + 𝑅2 → 𝑅2
4 1 -3 4 −4𝑅1 + 𝑅3 → 𝑅3
Se escribe el sistema en forma de matriz aumentada, para que el elemento 𝑎11 sea
unitario se divide el renglón 1 entre 2:
2 -3 2 -3
1
2
𝑅1 → 𝑅1
-3 2 1 1
4 1 -3 4
UNIDAD IV: Sistema de Ecuaciones Lineales
Matrices y Determinantes
4.1.2 Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales
Por Algoritmos Gauss y Gauss Jordan
1 −
3
2
1 −
3
2
0 −
5
2
4 −
7
2
−
2
5
𝑅2 → 𝑅2
0 7 -7 10
Se escribe el nuevo sistema y para que los elementos 𝑎21 y 𝑎31 sean cero, se multiplica el
renglón 1 por 3 y se suma al renglón 2, se multiplica el renglón 1 por -4 y se suma al
renglón 3:
3𝑅1 = 3 -
9
2
+ 3 −
9
2
+𝑅2 = -3 + 2 + 1 1
0 -
5
2
+ 4 −
7
2
→ 𝑅2
−4𝑅1
=
-4 + 6 - 4 6
+𝑅3 = 4 + 1 - 3 4
0 + 7 - 7 10 → 𝑅3
5
6. Se escribe el nuevo sistema y se multiplica el renglón 2 por −
2
5
para que el elemento 𝑎22
se unitario :
Se escribe el nuevo sistema y para que el elemento 𝑎32 se cero, se multiplica el renglón 2
por -7 y se suma al renglón 3:
1 −
3
2
1 −
3
2
0 −
5
2
4 −
7
2
−
2
5
𝑅2 → 𝑅2
0 7 -7 10
UNIDAD IV: Sistema de Ecuaciones Lineales
Matrices y Determinantes
4.1.2 Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales
Por Algoritmos Gauss y Gauss Jordan
1 −
3
2
1 −
3
2
0 1 −
8
5
7
5
0 7 -7 10 −7𝑅2 + 𝑅3 → 𝑅3
1 −
3
2
1 −
3
2
0 1 −
8
5
7
5
0 0
21
5
1
5
5
21
𝑅3 → 𝑅3
−7𝑅2
=
0 - 7 +
56
5
−
49
5
+𝑅3 = 0 + 7 - 7 10
0 0 +
21
5
1
5
→ 𝑅3 6
7. Se escribe el nuevo sistema y para que el elemento 𝑎33 se unitario, se multiplica el
renglón 3 por
5
21
:
1 −
3
2
1 −
3
2
0 1 −
8
5
7
5
0 0
21
5
1
5
5
21
𝑅3 → 𝑅3
UNIDAD IV: Sistema de Ecuaciones Lineales
Matrices y Determinantes
4.1.2 Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales
Por Algoritmos Gauss y Gauss Jordan
1 −
3
2
1 −
3
2
0 1 −
8
5
7
5
0 0 1
1
21
Finalmente el sistema queda como una matriz escalonada por renglones. Del renglón 3 se
deduce que:
𝑧 =
1
21
Después se usa la sustitución hacia atrás para despejar primero y, finalmente x.
7
9. Eliminación de Gauss-Jordan:
i) Se divide la primera ecuación si es necesario, entre una constante para hacer el
coeficiente de 𝑥 igual a 1.
ii) Se “eliminan” los términos de 𝑥 de la segunda y tercera ecuación.
iii) Se divide la segunda ecuación si es necesario, entre una constante para hacer el
coeficiente de 𝑦 igual a 1 y se usa la segunda ecuación para “eliminar” los términos de
𝑦 de la primera y tercera ecuación.
iv) Se divide la tercera ecuación si es necesario, entre una constante para hacer el
coeficiente de 𝑧 igual a 1, y se usa la tercera ecuación para “eliminar” los términos de
𝑧 de la primera y segunda ecuación.
UNIDAD IV: Sistema de Ecuaciones Lineales
Matrices y Determinantes
4.1.2 Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales
Por Algoritmos Gauss y Gauss Jordan
9
10. 1
3
2
1
2
1
2
3 -2 -4 -3 −3𝑅1 + 𝑅2 → 𝑅2
5 -1 -1 4 −5𝑅1 + 𝑅3 → 𝑅3
Eliminación de Gauss-Jordan:
Ejercicio 4.1.8 Resolver el sistema
2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 1
3𝑥 − 2𝑦 − 4𝑧 = −3
5𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 4
Se escribe el sistema en forma de matriz aumentada, se divide el renglón 1 entre 2 para
que el elemento 𝑎11 sea unitario:
2 3 1 1
1
2
𝑅1 → 𝑅1
3 -2 -4 -3
5 -1 -1 4
UNIDAD IV: Sistema de Ecuaciones Lineales
Matrices y Determinantes
4.1.2 Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales
Por Algoritmos Gauss y Gauss Jordan
10
11. Se escribe el nuevo sistema y se multiplica el renglón 1 por -3 y se suma al renglón 2, se
multiplica el renglón 1 por -5 y se suma al renglón 3 para que los elementos 𝑎21 y 𝑎31 sean
cero:
1
3
2
1
2
1
2
3 -2 -4 -3 −3𝑅1 + 𝑅2 → 𝑅2
5 -1 -1 4 −5𝑅1 + 𝑅3 → 𝑅3
−3𝑅1 = -3 -
9
2
-
3
2
−
3
2
+𝑅2 = 3 - 2 - 4 -3
0 -
13
2
-
11
2
−
9
2
→ 𝑅2
−5𝑅1
=
-5 -
15
2
-
5
2
−
5
2
+𝑅3 = 5 - 1 - 1 4
0 -
17
2
-
7
2
3
2
→ 𝑅3
UNIDAD IV: Sistema de Ecuaciones Lineales
Matrices y Determinantes
4.1.2 Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales
Por Algoritmos Gauss y Gauss Jordan
1
3
2
1
2
1
2
0 −
13
2
−
11
2
−
9
2
−
2
13
𝑅2 → 𝑅2
0 −
17
2
−
7
2
3
2
11
12. Se escribe el nuevo sistema y para que el elemento 𝑎22 se unitario se multiplica el renglón
2 por −
2
13
:
Se escribe el nuevo sistema y para que los elementos 𝑎12 y 𝑎32 sean cero, se multiplica el
renglón 2 por −
3
2
y se suma al renglón 1, se multiplica el renglón 2 por
17
2
y se suma al
renglón 3:
1
3
2
1
2
1
2
0 −
13
2
−
11
2
−
9
2
−
2
13
𝑅2 → 𝑅2
0 −
17
2
−
7
2
3
2
UNIDAD IV: Sistema de Ecuaciones Lineales
Matrices y Determinantes
4.1.2 Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales
Por Algoritmos Gauss y Gauss Jordan
1
3
2
1
2
1
2
−
3
2
𝑅2 + 𝑅1 → 𝑅1
0 1
11
13
9
13
0 −
17
2
−
7
2
3
2
17
2
𝑅2 + 𝑅3 → 𝑅3
12
13. −
3
2
𝑅2 = 0 -
3
2
-
33
26
−
27
26
+𝑅1 = 1 +
3
2
+
1
2
1
2
1 0 -
10
13
−
7
13
→ 𝑅1
17
2
𝑅2 = 0 +
17
2
+
187
26
153
26
+𝑅3 = 0 -
17
2
-
7
2
3
2
0 0 +
48
13
96
13
→ 𝑅3
UNIDAD IV: Sistema de Ecuaciones Lineales
Matrices y Determinantes
4.1.2 Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales
Por Algoritmos Gauss y Gauss Jordan
Se escribe el nuevo sistema y para que el elemento 𝑎33 se unitario se multiplica el renglón
3 por
13
48
:
−
3
2
𝑅2 + 𝑅1 → 𝑅1 1 0 −
10
13
−
7
13
0 1
11
13
9
13
17
2
𝑅2 + 𝑅3 → 𝑅3 0 0
48
13
96
13
13
48
𝑅3 → 𝑅3
1 0 −
10
13
−
7
13
10
13
𝑅3 + 𝑅1 → 𝑅1
0 1
11
13
9
13
−
11
13
𝑅3 + 𝑅2 → 𝑅2
0 0 1 2
13
14. Se escribe el nuevo sistema y se multiplica el renglón 3 por
10
13
y se suma al renglón 1, se
multiplica el renglón 3 por −
11
13
y se suma al renglón 2 para que los elementos 𝑎13 y 𝑎23
sean cero. Finalmente el sistema queda como una matriz escalonada reducida.
UNIDAD IV: Sistema de Ecuaciones Lineales
Matrices y Determinantes
4.1.2 Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales
Por Algoritmos Gauss y Gauss Jordan
1 0 −
10
13
−
7
13
10
13
𝑅3 + 𝑅1 → 𝑅1
0 1
11
13
9
13
−
11
13
𝑅3 + 𝑅2 → 𝑅2
0 0 1 2
1 0 0 1
0 1 0 -1
0 0 1 2
10
13
𝑅3 = 0 + 0 +
10
13
20
13
+𝑅1 = 1 + 0 -
10
13
−
7
13
1 0 0 1 → 𝑅1
−
11
13
𝑅3 = 0 + 0 -
11
13
−
22
13
+𝑅2 = 0 + 1 +
11
13
9
13
0 1 0 −1 → 𝑅2
Del renglón 1 se deduce que:
𝑥 = 1, del renglón 2: 𝑦 = −1 y
del renglón 3: 𝑧 = 2.
Solución: 1, −1, 2
14