La función cuadrática se define como una función polinómica de grado dos cuya forma general es f(x)=ax2+bx+c. Tiene como dominio los números reales y su gráfico siempre es una parábola. El análisis de la función incluye determinar su concavidad, puntos de corte con el eje x, máximo/mínimo, coordenadas del vértice y punto de intersección con el eje y.

1. Función Cuadrática
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Profesora: Srta. Yanira Castro Lizana

2. Definición
• Se llama función cuadrática a una función polinómial real
de variable real, que tiene grado dos. La función
cuadrática tiene la forma: 2
y f ( x) ax bx c
a 0
El dominio de toda función cuadrática es el conjunto de los
números reales, decir que :
D: f = IR
• El dominio de esta función es el conjunto de los números
reales y su gráfico es siempre una parábola.

3. Función Cuadrática
Como vimos en
2
Matemática y f ( x) ax bx c
diferenciada, ya
sabemos que con la a 0
información que
nos entrega los Donde a ,b y c
coeficientes de la
son los coeficientes de
función cuadrática,
la función
podemos graficar la
curva.
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4. Función Cuadrática
1. Concavidad
2. Puntos de corte eje x. (discriminante)
3. Máximo y mínimo
4. Coordenadas del vértice
5. Intersección de la parábola con el eje y
6. Ejemplo
7. Ejercicios
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5. Función Cuadrática
1.Concavidad :
2
Para y f ( x) ax bx c
- Si a 0 , la parábola se abre hacia
arriba.
- Si a 0 , la parábola se abre hacia
abajo.
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6. Función Cuadrática
2
2. Análisis de discriminante x b 4ac
Si x 0 , la parábola corta en dos
puntos al eje x
Si x 0 , la parábola corta en un
único punto al eje x
Si x 0 , la parábola no corta al
eje x
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7. Función Cuadrática
2
2. Análisis de discriminante x b 4ac
Observación importante:
Si x 0 , debemos encontrar las soluciones de
la ecuación de segundo grado para determinar los
puntos de intersección de la parábola con el eje x
Volver

8. Función Cuadrática
3. Máximo o Mínimo
- Si a 0 , la parábola se abre hacia
arriba.Tiene valor mínimo
- Si a 0 , la parábola se abre hacia
abajo.Tiene valor máximo
Volver

9. Función Cuadrática
4. Coordenadas de punto Máximo o Mínimo
(Vértice de la parábola)
2
Para y f ( x) ax bx c
b b
V ,f
2a 2a
Ejemplo

10. Función Cuadrática
Ejemplo: Si y f ( x) x2 6x 2
a 1; b 6; c 2 b b
V ,f
Reemplazando: 2a 2a
( 6) ( 6)
V ,f V 3, f 3
2 1 2 1
f (3) 32 6 3 2 V 3, 7
f (3) 7
Siguiente

11. Función Cuadrática
Gráficamente:
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12. Función Cuadrática
5. Punto de intersección de la parábola con el eje y
Para y f ( x) ax2 bx c , si x 0
y f (0) c
0, c
Volver Ejemplo

13. Función Cuadrática
Ejemplo: Si y f ( x) x 2 5x 2
si x 0
y f (0) 2
El punto de
intersección de la
parábola con el eje y
es:
0,2
Volver

14. Función Cuadrática
Grafique y f ( x) x2 2x 3
La parábola se abre
1. Concavidad: a 1 0
hacia arriba.
2. Análisis de discriminante: x b2 4ac
a 1b
; 2; c 3 x 16 0
La parábola corta en dos puntos al eje x
2
x 2x 3 0 x1 3 Puntos de intersección de
( x 3)(x 1) 0 x2 1 la parábola con el eje x
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15. Función Cuadrática
3. Máximo o mínimo: Si a 1 0
La parábola se abre
hacia arriba. Tiene
valor mínimo.
4. Coordenadas del vértice: V b b
,f
2a 2a
a 1b; 2; c 3
Reemplazando:
( 2) ( 2)
V ,f V 1, f 1
2 1 2 1
f (1) 12 21 3 4 V 1, 4
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16. Función Cuadrática
5. Punto de intersección de la parábola con el eje y
Si x 0 , en la función y f ( x) x2 2x 3
f (0) 0 2 2 0 3
f (0) 3
0, 3
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17. Función Cuadrática
Gráficamente:
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18. Función Cuadrática
- Grafica las siguientes parábolas.
1. y f ( x) x2 2x 3
2. y f ( x) x2 2x 1
3. y f ( x) 2 x 2 3x 2
4. y f ( x) x2 2x 3
5. y f ( x) x2 2x 1
6. y f ( x) 2 x 2 3
7. y f ( x) 4x2 8
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19. EJE DE SIMETRÍA
• Otro elemento importante de la parábola es
el eje de simetría, que como sabemos es una
recta vertical que pasa por vértice. Su
ecuación es:
• Este eje se llama de simetría debido a que si trazamos cualquier recta
• perpendicular al mismo, vemos que la distancia desde un punto de la curva
• al eje de simetría, es igual a la distancia desde dicho eje al punto ubicado
en
• la otra rama. Así pues, la parábola es una curva con ramas simétricas.

20. Crecimiento y decrecimiento
• Observando el gráfico de la función
cuadrática, vemos que:
• 1 ) Si a > 0 , entonces:
• a ) La función decrece en el intervalo:
• b ) Crece en el intervalo:
• c ) Su valor mínimo es:

21. • 2 ) Si a < 0 , entonces:
• a ) La función crece en el intervalo:
• b ) Decrece en el intervalo:
• c ) Su valor máximo es:

22. Recorrido
• A partir de lo dicho en "Crecimiento y
decrecimiento" , se concluye que:
•
1 ) Si a > 0 , entonces el recorrido de la
función cuadrática es:
• 2 ) Si a < 0 , entonces el recorrido de la
función cuadrática es: