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Función Cuadrática



                        Entrar



Profesora: Srta. Yanira Castro Lizana
Definición
• Se llama función cuadrática a una función polinómial real
  de variable real, que tiene grado dos. La función
  cuadrática tiene la forma:                    2
                             y    f ( x)   ax     bx c
                             a    0
El dominio de toda función cuadrática es el conjunto de los
  números reales, decir que :
                        D: f = IR
• El dominio de esta función es el conjunto de los números
   reales y su gráfico es siempre una parábola.
Función Cuadrática

Como vimos en
                                          2
Matemática            y    f ( x)    ax         bx c
diferenciada, ya
sabemos que con la    a   0
información que
nos entrega los       Donde   a ,b    y   c
coeficientes de la
                      son los coeficientes de
función cuadrática,
                      la función
podemos graficar la
curva.
                                          Siguiente
Función Cuadrática


1. Concavidad
2. Puntos de corte eje x. (discriminante)
3. Máximo y mínimo
4. Coordenadas del vértice
5. Intersección de la parábola con el eje y
6. Ejemplo
7. Ejercicios
                                              Salir
Función Cuadrática
1.Concavidad :
                        2
Para   y    f ( x)   ax      bx c

- Si a     0 , la parábola se abre hacia
arriba.


- Si a     0 , la parábola se abre hacia
abajo.


 Volver
Función Cuadrática
                                         2
2. Análisis de discriminante      x b        4ac

Si   x 0 , la parábola corta en dos
puntos al eje x

Si    x 0 , la parábola corta en un
único punto al eje x

Si    x    0 , la parábola no corta al
eje x

                                             Siguiente
Función Cuadrática
                                      2
2. Análisis de discriminante   x b         4ac
Observación importante:

 Si    x 0 , debemos encontrar las soluciones de
 la ecuación de segundo grado para determinar los
 puntos de intersección de la parábola con el eje x




 Volver
Función Cuadrática

3. Máximo o Mínimo


- Si a 0 , la parábola se abre hacia
arriba.Tiene valor mínimo



- Si a 0 , la parábola se abre hacia
abajo.Tiene valor máximo


 Volver
Función Cuadrática

4. Coordenadas de punto Máximo o Mínimo
(Vértice de la parábola)
                                 2
          Para   y   f ( x) ax       bx c


         b     b
V          ,f
        2a    2a

                                          Ejemplo
Función Cuadrática

Ejemplo: Si        y     f ( x)   x2 6x 2
a 1; b            6; c   2                 b     b
                                  V          ,f
 Reemplazando:                            2a    2a
            ( 6)         ( 6)
V                ,f                        V   3, f 3
            2 1          2 1

    f (3)    32     6 3 2             V    3, 7
    f (3)      7
                                                  Siguiente
Función Cuadrática

Gráficamente:




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Función Cuadrática

5. Punto de intersección de la parábola con el eje y


Para   y    f ( x) ax2 bx c            , si   x   0
       y    f (0)    c
                           0, c


 Volver                                       Ejemplo
Función Cuadrática

Ejemplo: Si   y        f ( x)   x 2 5x 2
              si       x   0
y     f (0)        2
    El punto de
    intersección de la
    parábola con el eje y
    es:
              0,2
 Volver
Función Cuadrática

 Grafique y    f ( x)   x2 2x 3
                                         La parábola se abre
  1. Concavidad: a      1 0
                                         hacia arriba.
  2. Análisis de discriminante:       x b2 4ac
      a 1b
        ;        2; c    3             x 16 0
          La parábola corta en dos puntos al eje x
  2
   x 2x 3 0               x1   3     Puntos de intersección de
( x 3)(x 1) 0             x2       1 la parábola con el eje x
                                                 Siguiente
Función Cuadrática

3. Máximo o mínimo: Si          a 1 0
                                             La parábola se abre
                                             hacia arriba. Tiene
                                             valor mínimo.

4. Coordenadas del vértice: V              b     b
                                             ,f
                                          2a    2a
  a 1b;    2; c  3
    Reemplazando:
       ( 2)      ( 2)
V           ,f              V    1, f 1
       2 1       2 1

f (1) 12         21 3   4           V     1, 4
                                                     Siguiente
Función Cuadrática

5. Punto de intersección de la parábola con el eje y

Si   x    0    , en la función y   f ( x)   x2 2x 3

                  f (0) 0 2 2 0 3
                  f (0)   3

                         0, 3

                                              Siguiente
Función Cuadrática

Gráficamente:




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Función Cuadrática

- Grafica las siguientes parábolas.

  1. y   f ( x)    x2    2x 3
  2. y    f ( x)    x2    2x 1
  3. y    f ( x) 2 x 2   3x 2
  4. y    f ( x)    x2    2x 3
  5. y    f ( x)   x2    2x 1
  6. y    f ( x) 2 x 2 3
  7. y    f ( x)    4x2 8
                                      Volver
EJE DE SIMETRÍA
• Otro elemento importante de la parábola es
  el eje de simetría, que como sabemos es una
  recta vertical que pasa por vértice. Su
  ecuación es:



•   Este eje se llama de simetría debido a que si trazamos cualquier recta
•   perpendicular al mismo, vemos que la distancia desde un punto de la curva
•   al eje de simetría, es igual a la distancia desde dicho eje al punto ubicado
    en
•   la otra rama. Así pues, la parábola es una curva con ramas simétricas.
Crecimiento y decrecimiento
• Observando el gráfico de la función
  cuadrática, vemos que:
• 1 ) Si a > 0 , entonces:
• a ) La función decrece en el intervalo:

• b ) Crece en el intervalo:

• c ) Su valor mínimo es:
• 2 ) Si a < 0 , entonces:
• a ) La función crece en el intervalo:

• b ) Decrece en el intervalo:

• c ) Su valor máximo es:
Recorrido
• A partir de lo dicho en "Crecimiento y
  decrecimiento" , se concluye que:
•
  1 ) Si a > 0 , entonces el recorrido de la
  función cuadrática es:

• 2 ) Si a < 0 , entonces el recorrido de la
  función cuadrática es:

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Función cuadrática

  • 1. Función Cuadrática Entrar Profesora: Srta. Yanira Castro Lizana
  • 2. Definición • Se llama función cuadrática a una función polinómial real de variable real, que tiene grado dos. La función cuadrática tiene la forma: 2 y f ( x) ax bx c a 0 El dominio de toda función cuadrática es el conjunto de los números reales, decir que : D: f = IR • El dominio de esta función es el conjunto de los números reales y su gráfico es siempre una parábola.
  • 3. Función Cuadrática Como vimos en 2 Matemática y f ( x) ax bx c diferenciada, ya sabemos que con la a 0 información que nos entrega los Donde a ,b y c coeficientes de la son los coeficientes de función cuadrática, la función podemos graficar la curva. Siguiente
  • 4. Función Cuadrática 1. Concavidad 2. Puntos de corte eje x. (discriminante) 3. Máximo y mínimo 4. Coordenadas del vértice 5. Intersección de la parábola con el eje y 6. Ejemplo 7. Ejercicios Salir
  • 5. Función Cuadrática 1.Concavidad : 2 Para y f ( x) ax bx c - Si a 0 , la parábola se abre hacia arriba. - Si a 0 , la parábola se abre hacia abajo. Volver
  • 6. Función Cuadrática 2 2. Análisis de discriminante x b 4ac Si x 0 , la parábola corta en dos puntos al eje x Si x 0 , la parábola corta en un único punto al eje x Si x 0 , la parábola no corta al eje x Siguiente
  • 7. Función Cuadrática 2 2. Análisis de discriminante x b 4ac Observación importante: Si x 0 , debemos encontrar las soluciones de la ecuación de segundo grado para determinar los puntos de intersección de la parábola con el eje x Volver
  • 8. Función Cuadrática 3. Máximo o Mínimo - Si a 0 , la parábola se abre hacia arriba.Tiene valor mínimo - Si a 0 , la parábola se abre hacia abajo.Tiene valor máximo Volver
  • 9. Función Cuadrática 4. Coordenadas de punto Máximo o Mínimo (Vértice de la parábola) 2 Para y f ( x) ax bx c b b V ,f 2a 2a Ejemplo
  • 10. Función Cuadrática Ejemplo: Si y f ( x) x2 6x 2 a 1; b 6; c 2 b b V ,f Reemplazando: 2a 2a ( 6) ( 6) V ,f V 3, f 3 2 1 2 1 f (3) 32 6 3 2 V 3, 7 f (3) 7 Siguiente
  • 12. Función Cuadrática 5. Punto de intersección de la parábola con el eje y Para y f ( x) ax2 bx c , si x 0 y f (0) c 0, c Volver Ejemplo
  • 13. Función Cuadrática Ejemplo: Si y f ( x) x 2 5x 2 si x 0 y f (0) 2 El punto de intersección de la parábola con el eje y es: 0,2 Volver
  • 14. Función Cuadrática Grafique y f ( x) x2 2x 3 La parábola se abre 1. Concavidad: a 1 0 hacia arriba. 2. Análisis de discriminante: x b2 4ac a 1b ; 2; c 3 x 16 0 La parábola corta en dos puntos al eje x 2 x 2x 3 0 x1 3 Puntos de intersección de ( x 3)(x 1) 0 x2 1 la parábola con el eje x Siguiente
  • 15. Función Cuadrática 3. Máximo o mínimo: Si a 1 0 La parábola se abre hacia arriba. Tiene valor mínimo. 4. Coordenadas del vértice: V b b ,f 2a 2a a 1b; 2; c 3 Reemplazando: ( 2) ( 2) V ,f V 1, f 1 2 1 2 1 f (1) 12 21 3 4 V 1, 4 Siguiente
  • 16. Función Cuadrática 5. Punto de intersección de la parábola con el eje y Si x 0 , en la función y f ( x) x2 2x 3 f (0) 0 2 2 0 3 f (0) 3 0, 3 Siguiente
  • 18. Función Cuadrática - Grafica las siguientes parábolas. 1. y f ( x) x2 2x 3 2. y f ( x) x2 2x 1 3. y f ( x) 2 x 2 3x 2 4. y f ( x) x2 2x 3 5. y f ( x) x2 2x 1 6. y f ( x) 2 x 2 3 7. y f ( x) 4x2 8 Volver
  • 19. EJE DE SIMETRÍA • Otro elemento importante de la parábola es el eje de simetría, que como sabemos es una recta vertical que pasa por vértice. Su ecuación es: • Este eje se llama de simetría debido a que si trazamos cualquier recta • perpendicular al mismo, vemos que la distancia desde un punto de la curva • al eje de simetría, es igual a la distancia desde dicho eje al punto ubicado en • la otra rama. Así pues, la parábola es una curva con ramas simétricas.
  • 20. Crecimiento y decrecimiento • Observando el gráfico de la función cuadrática, vemos que: • 1 ) Si a > 0 , entonces: • a ) La función decrece en el intervalo: • b ) Crece en el intervalo: • c ) Su valor mínimo es:
  • 21. • 2 ) Si a < 0 , entonces: • a ) La función crece en el intervalo: • b ) Decrece en el intervalo: • c ) Su valor máximo es:
  • 22. Recorrido • A partir de lo dicho en "Crecimiento y decrecimiento" , se concluye que: • 1 ) Si a > 0 , entonces el recorrido de la función cuadrática es: • 2 ) Si a < 0 , entonces el recorrido de la función cuadrática es: