Este documento presenta conceptos fundamentales sobre vectores y geometría en el espacio, incluyendo: (1) cómo calcular los cosenos directores de una recta en el espacio usando el vector y módulo de un vector, (2) cómo calcular el ángulo entre dos rectas a partir de sus vectores directores o pendientes, y (3) cómo encontrar la ecuación general de un plano.

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Defensa
Universidad Nacional Experimental Politécnica de la Fuerza
Armada
Núcleo Lara
Integrantes
Javier Amaya
Geraldine Marquina
Sherlenny Rivas
Sección: 1T1IS

2. Cosenos Directores de
Una Recta en el Espacio
Se llaman Cosenos directores a los cosenos de los
ángulos que forman cada uno de los ejes coordenados.
Se identifican los 3 ángulos (Alpha = α, Beta =
β, Gamma = γ) Y sus formulas para saber el tamaño del ángulo
son:
Coseno de Alpha = Vector Ax / Modulo del vector |A|
Coseno de Beta = Vector Ay / Modulo del vector |A|
Coseno de Gamma = Vector Az / Modulo del vector|A|
Para saber el modulo del vector se usa la formula:

3. EJEMPLO
Mediante los cosenos directores determinar los ángulos de
α, β, γ del vector (4, 5, 3)
Paso 1. Se hace la grafica
Paso 2. Se obtiene el modulo del vector con la formula
Paso 3. Sustituir el modulo del vector en la formula
correspondiente a su eje.

4. Paso 4. Representar los ángulos en la grafica.

5. Angulo Formado por dos
Rectas
Se llama ángulo de dos rectas al menor de los
ángulos que forman éstas. Se pueden obtener a partir de:
1 Sus vectores directores
2 Sus pendientes
Ejemplo:
Calcular el ángulo que forman las rectas r y s,
sabiendo que sus vectores directores son: = (-2, 1) y =(2, -
3).

6. Ecuación General del Plano
Un punto está en el plano π si tiene solución el sistema:
Este sistema tiene que ser compatible
determinado en las incógnitas λ y µ· Por tanto el
determinante de la matriz ampliada del sistema con la
columna de los términos independientes tiene que ser igual
a cero.
Desarrollamos el determinante.
Damos los valores:

7. Sustituimos:
Realizamos las operaciones y le damos a D el valor:
Obtenemos la ecuación general de plano:

8. Puntos Coplanarios
Dos o más vectores son coplanarios si
son linealmente dependientes, y por tanto sus
componentes son proporcionales y su rango es 2.
Dos o más puntos son coplanarios, si
los vectores determinados por ellos también son
coplanarios.
1. Comprobar si
los puntos A(1, 2, 3), B(4, ,7, 8), C(3, 5, 5), D(−1, −2, −3) y
E(2, 2, 2) son coplanarios.
Los puntos A, B, C, D y E son coplanarios si:
Los puntos A, B, C, D y E no son coplanarios.