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- 1. GRÁFICA DE RELACIONES II ÁLGEBRA Lic. Juan Gamarra Carhuas
- 2. GRÁFICAS DE RELACIONES DEFINIDAS POR INECUACIONES Definición.- La gráfica de una inecuación en ℝ2 se define como el conjunto de todos los pares P (x, y) que satisfacen la inecuación. En general 𝑅 = 𝑥; 𝑦 ∈ ℝ2 /𝑦 ≷ 𝑓 𝑥 “Para graficar las inecuaciones en el plano cartesiano es necesario graficar previamente las ecuaciones y luego les damos el sentido, quedando el plano dividido en dos regiones”. Tenemos dos casos…
- 3. PRIMER CASO Supongamos que la gráfica de 𝑦 = 𝑓 𝑥 no es cerrada. a. 𝑦 = 𝑓 𝑥 b. 𝑦 > 𝑓 𝑥 c. 𝑦 < 𝑓 𝑥 d. 𝑦 ≥ 𝑓 𝑥 e. 𝑦 ≤ 𝑓 𝑥
- 4. 𝑦 = 𝑓 𝑥
- 5. Estrictos 𝑦 > 𝑓 𝑥 𝑦 < 𝑓 𝑥
- 6. No Estrictos 𝑦 ≥ 𝑓 𝑥 𝑦 ≤ 𝑓 𝑥
- 7. SEGUNDO CASO Supongamos que la gráfica de 𝑦 = 𝑓 𝑥 es cerrada. a. 𝑦 = 𝑓 𝑥 b. 𝑦 > 𝑓 𝑥 c. 𝑦 < 𝑓 𝑥 d. 𝑦 ≥ 𝑓 𝑥 e. 𝑦 ≤ 𝑓 𝑥
- 8. 𝑦 = 𝑓 𝑥
- 9. Estrictos 𝑦 > 𝑓 𝑥 𝑦 < 𝑓 𝑥
- 10. No estrictos 𝑦 ≥ 𝑓 𝑥 𝑦 ≤ 𝑓 𝑥
- 11. GRÁFICAS PARA NÚMEROS COMPLEJOS Podemos representar un número complejo en un sistema cartesiano, haciendo coincidir el eje 𝑿 (horizontal) con la parte real del número complejo y el eje 𝒀 (vertical) con la parte imaginaria. En dicho caso el plano recibe el nombre de “plano complejo” o “diagrama de Argand”. 𝐶 = 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖/𝑥, 𝑦 ∈ ℝ PROPIEDADES 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 𝑧 2 = 𝑧. 𝑧 𝑧 + 𝑧 = 2𝑅𝑒 𝑧 𝑧 − 𝑧 = 2𝐼𝑚 𝑧 𝑖
- 12. EJERCICIOS 1. Grafique la siguiente relación 𝑅 = 𝑥; 𝑦 ∈ ℝ2/𝑥 + 𝑦 > 2 Resol 𝑥 + 𝑦 > 2 𝑦 > −𝑥 + 2 • 𝑦 = −𝑥 + 2 • 𝑦 > −𝑥 + 2
- 13. EJERCICIOS 2. Grafique la siguiente relación 𝑅 = 𝑥; 𝑦 ∈ ℝ2/𝑦 < 𝑥2 Resol 𝑦 < 𝑥2 • 𝑦 = 𝑥2 • 𝑦 < 𝑥2
- 14. EJERCICIOS 3. Grafique la siguiente relación 𝑅 = 𝑥; 𝑦 ∈ ℝ2/𝑥2 + 𝑦2 ≤ 4 Resol 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 4 • 𝑥2 + 𝑦2 = 4 • 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 4
- 15. EJERCICIOS 4. Grafique la siguiente relación 𝑅 = 𝑥; 𝑦 ∈ ℝ2 / 𝑥2 9 + 𝑦2 4 ≤ 1 ∨ 9𝑥 + 2 ≤ 4𝑦 Resol 𝑥2 9 + 𝑦2 4 ≤ 1 𝑥2 9 + 𝑦2 4 = 1 𝑥2 9 + 𝑦2 4 ≤ 1
- 16. EJERCICIOS 5. Grafique el siguiente conjunto en el plano de gauss. 𝐴 = 𝑧 ∈ ℂ 𝑅𝑒 𝑧 + 𝐼𝑚 𝑧 ≤ 2 ∧ 0 ≤ 𝑎𝑟𝑔 𝑧 ≤ 𝜋 2
- 17. PROBLEMAS DIRIGIDOS 1. Grafique el siguiente conjunto . 𝐴 = 𝑥; 𝑦 ∈ ℝ2 /𝑥 ≥ 2 ∧ 𝑦 ≥ 1 𝑥 ≥ 2 𝑦 ≥ 1 𝐴
- 18. PROBLEMAS DIRIGIDOS 3. Sean los conjuntos 𝐴 = 𝑥; 𝑦 ∈ ℝ2 /𝑦 ≤ 𝑥2 𝐵 = 𝑥; 𝑦 ∈ ℝ2 /𝑥 − 2 ≤ 𝑦 Determine 𝐴 ∩ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥2 𝑥 − 2 ≤ 𝑦
- 19. PROBLEMAS DIRIGIDOS 5. Grafique los puntos que verifiquen la inecuación 𝑦 ≤ 2𝑥 − 𝑥2 en el plano cartesiano Resol 𝑦 ≤ 2𝑥 − 𝑥2 • 𝑦 = 2𝑥 − 𝑥2 • 𝑦 ≤ 𝑓 𝑥
- 20. PROBLEMAS DIRIGIDOS 7. Si el conjunto 𝐴 = 𝑧 ∈ ℂ/ 𝑧 ≤ 1 + 𝐼𝑚 𝑧 , determine la gráfica que mejor representa al conjunto 𝐴. Resol Sea 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 𝑧 ≤ 1 + 𝐼𝑚 𝑧 → 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1 + 𝑦 → 𝑥2−1 2 ≤ 𝑦
- 21. PROBLEMAS DIRIGIDOS 9. Grafique el conjunto solución del siguiente sistema. 𝑦 + 𝑥 ≥ 3 𝑦 − 𝑥 ≤ 3 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0 𝑦 + 𝑥 ≥ 3 𝑦 − 𝑥 ≤ 3 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0
- 22. PROBLEMAS DIRIGIDOS 11.Dados los conjuntos 𝐴 = 𝑥; 𝑦 ∈ ℝ2 / 𝑥 + 𝑦 ≤ 2 𝐵 = 𝑥; 𝑦 ∈ ℝ2 /𝑦 ≥ 𝑥3 Esboce la gráfica de 𝐴 ∩ 𝐵. 𝐴 𝐵 𝑅𝑝𝑡𝑎 𝐵
- 23. PROBLEMAS DIRIGIDOS 15. Esboce la gráfica del siguiente conjunto en el plano de Gauss 𝐴 = 𝑧 ∈ ℂ / 𝑧. 𝑧 − 4 𝑧 + 3 ≤ 0 Resol Sea 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 𝑧. 𝑧 − 4 𝑧 + 3 ≤ 0 𝑧 2 − 4 𝑧 + 3 ≤ 0 𝑧 − 1 𝑧 − 3 ≤ 0 𝑧 ≥ 1 ∧ 𝑧 ≤ 3 𝐴1 ∨ 𝑧 ≤ 1 ∧ 𝑧 ≥ 3 ∅ ≡ 𝐴1 𝑧 ≥ 1 𝑧 ≤ 3 𝐴1
- 24. PROBLEMAS DIRIGIDOS 16. Determine la gráfica del conjunto 𝐵 = − 𝑧 + 𝑖 / 𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 𝑧1 𝑧2 𝑧1 𝑧2 − 𝑧2 − 𝑧1 − 𝑧1 + 𝑖 − 𝑧2 + 𝑖
- 25. PROBLEMAS DIRIGIDOS 18. Indique la gráfica de la región que mejor representa el conjunto 𝑅 = 𝑥; 𝑦 ∈ ℝ2 / 𝑦 + 𝑥 𝑥 + 𝑥2 ≥ 1 Resol 𝑅 = 𝑅1 ∪ 𝑅2 Donde 𝑅1: 𝑥 > 0; 𝑦 + 𝑥2 ≥ 0 𝑅1 𝑅2: 𝑥 < 0; 𝑦 + 𝑥2 ≥ 2 𝑅2 𝑅
- 26. PROBLEMAS DIRIGIDOS 20. Grafique la relación 𝑅. 𝑅 = 𝑥; 𝑦 ∈ ℝ2 /𝑥 + 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 3𝑥 Resol 𝑅 = 𝑅1 ∩ 𝑅2 Donde 𝑅1: 𝑥 + 𝑥 ≤ 𝑦 𝑅2: 𝑦 ≤ 3𝑥 𝑅1 𝑅2 𝑅