Este documento contiene los ejercicios resueltos de una asignatura de optimización de sistemas y funciones. Se calculan los puntos de inflexión, curvatura, máximos y mínimos relativos, y monotonía de varias funciones. Los ejercicios están resueltos mostrando los cálculos y conclusiones sobre la concavidad, convexidad y comportamiento de cada función.

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior
I.U.P “Santiago Mariño”
Maracay edo. Aragua
Optimización de sistemas y
funciones.
Integrantes:
Ana Colmenares CI: 25.501.729
Escuela: Sistemas (47)
Sección: SL
Asignatura: Optimización de sistemas y funciones.

2. 1. Calcula los puntos de inflexión y determina la curvatura (CONCAVIDAD Y
CONVEXIDAD) de las siguientes funciones: (05 Ptos)
a) 2
1
x
y
x


; Para hallar el punto de inflexión se plantea '' 0y 
 
 
 
    
 
 
 
 
 
 
 
 
       
22 2
2 22 2 2
22 2 2
42
2 2 2
42
2
32
2
32
11 2
' '
1 1 1
2 1 4 1 1
''
1
2 1 1 2 2
''
1
2 3
''
1
2 3
0 0 0
1
. 0,0
, 1 1,0 0,1 1,
2
1
1
xx x x
y y y
x x x
x x x x x
y
x
x x x x
y
x
x x
y
x
x x
x y
x
p Inflexión
x
x
x
Signo
Curvatura
  
    
  
   
 

      





    

   
   
    
    
   
   

3. b) 2
3
1
x
y
x


; Para hallar el punto de inflexión se plantea '' 0y 
 
 
 
    
 
 
 
 
 
 
       
22 2
2 22 2 2
22 2 2
42
2
32
2
32
3 13 3 3 6
' '
1 1 1
3 2 1 4 1 1
''
1
6 3
''
1
6 3
0 0 3 3
1
3 3 3 3
. 0,0 3, 3,
4 4
, 3 3,0 0, 3 3,
6
3
3
xx x x
y y y
x x x
x x x x x
y
x
x x
y
x
x x
x x x
x
p Inflexión
x
x
x
Sig
 
     
  
       





       

   
         
   
   
   
    
    
no
Curvatura
   
   

4. 2. Calcula los puntos de inflexión y determina la curvatura (CONCAVIDAD Y
CONVEXIDAD) de las siguientes funciones: (05 Ptos)
a) 3 2
9 27 26y x x x    ; Para hallar el punto de inflexión se plantea '' 0y 
 
   
3 2 2
9 27 26 ' 3 18 27
'' 6 18
6 18 0 3 1
. 3,1
,3 3,
6 18
y x x x y x x
y x
x x y
p Inflexión
x
Signo
Curvatura
       
 
     
 
  
 
 
b) 3 2
3 2y x x    ; Para hallar el punto de inflexión se plantea '' 0y 
 
 
   
3 2 2
3 2 ' 3 6
'' 6 6
6 6 0
6 1 0
1 0
. 1,0
,1 1,
1
6
y x x y x x
y x
x
x
x y
p Inflexión
x
Signo
Curvatura
       
  
  
  
  
 
  
  
 
 

5. 3. Calcula los máximos y los mínimos relativos y determina la monotonía (Intervalos
de Crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones: (05 Ptos)
a)
4
2
1x
y
x

 ; ; Para hallar los extremos relativos se plantea ' 0y 
 
   
 
   
 
       
5 4 5
4 4
4 4
4 3
4
3
3
4 2 1 2 2
' '
2 1 2 1
' '
2 1
0 ; . : 1, 1
: 1,2 1,2
min
, 1 1,0 0,1 1,
1
1
x x x x x
y y
x x
x x x
y y
x x
x
P Criticos x x
x
Extremos relativos
Ambos son imos
x
x
x
Signo
Monotonía Decrece Crece Decrece Crece
  
  
 
  

   
 
   
    
    
   
   

6. b)
2
2
9
x
y
x


; ; Para hallar los extremos relativos se plantea ' 0y 
   
 
 
 
       
 
3 3
2 22 2
22
22
2 18 2 18
' '
9 9
18
0; . : 0
9
: 0,0
, 3 3,0 0,3 3,
18
9
x x x x
y y
x x
x
P Criticos x
x
Extremo relativo
Es un Maximo
x
x
Signo
Monotonía Crece Crece Decrece Decrece
  
  
 

 

   
   
    
    
   

7. c) 2
4y x  ; Para hallar los extremos relativos se plantea ' 0y 
 
 
 
2
2
'
4
0; . : 0
4
: 0,2
min
,0 0,
x
y
x
x
P Criticos x
x
Extremo relativo
Es un imo
x
Signos
Monotonía Decrece Crece


 

 
 
 