El documento presenta el método del rombo, un método para resolver problemas que involucran dos cantidades totales y dos cantidades unitarias. Explica cómo construir un rombo con los valores dados y realizar operaciones para determinar la cantidad de uno de los elementos. Luego, aplica el método al problema original de gallinas y conejos y a varios problemas adicionales para ilustrar su uso.
Sesión de aprendizaje de matemática para 2 año de secundariaAlicia Cruz Ccahuana
se ha usado un modelo de las sesiones de reforzamiento y se ha incorporado la direcciones o hipervínculos, para poder ayudar a comprender el tema de fracciones usando diapositivas.
Sesión de aprendizaje de matemática para 2 año de secundariaAlicia Cruz Ccahuana
se ha usado un modelo de las sesiones de reforzamiento y se ha incorporado la direcciones o hipervínculos, para poder ayudar a comprender el tema de fracciones usando diapositivas.
Today is Pentecost. Who is it that is here in front of you? (Wang Omma.) Jesus Christ and the substantial Holy Spirit, the only Begotten Daughter, Wang Omma, are both here. I am here because of Jesus's hope. Having no recourse but to go to the cross, he promised to return. Christianity began with the apostles, with their resurrection through the Holy Spirit at Pentecost.
Hoy es Pentecostés. ¿Quién es el que está aquí frente a vosotros? (Wang Omma.) Jesucristo y el Espíritu Santo sustancial, la única Hija Unigénita, Wang Omma, están ambos aquí. Estoy aquí por la esperanza de Jesús. No teniendo más remedio que ir a la cruz, prometió regresar. El cristianismo comenzó con los apóstoles, con su resurrección por medio del Espíritu Santo en Pentecostés.
2. Tenga la amabilidad de resolver el siguiente problema:
En una granja existen gallinas y conejos; se cuentan 50 animales y 120 patas ,
¿cuántas gallinas hay?
Para resolver este problema existen varias formas, como ,por ejemplo: por medio de
plantear una ecuación de primer grado con una variable , un sistema de ecuaciones de dos
variables y usando el método de la falsa suposición ( o falso criterio) .
Sin embargo, existe otro método, llamado “El Método del Rombo” y ¿en qué consiste ese
método? ¿Cuándo y cómo se aplica? ¿Quiéren saberlo? Pués síganme...................
Es un método que nos permite resolver problema de planteo de ecuaciones, de manera
práctica y sencilla; y se aplica cuando en un problema se presentan 2 cantidades totales y
2 cantidades unitarias.
Primeramente grafiquemos el rombo ABCD:
Donde en los vértices horizontales (A y C) se colocan las cantidades totales y en los
vértices verticales (B y D) las cantidades unitarias.
Para aclarar más las cosas veamos la descripción de los elementos del rombo:
* A representa la cantidad total de elementos que incluye dos especies o clases [ por
ejemplo: animales (perros y gatos) , vehículos (autos y bicicletas) , etc].
* C representa la cantidad total de elementos que presentan la misma característica de
B y D. [por ejemplo: total de patas, total de neumáticos, etc].
3. * B y D representan cantidades unitarias de elementos relacionados con la primera y
segunda especie con cierta característica común [ por ejemplo: patas, nuemáticos,
etc].
Teniendo en cuenta la figura anterior, efectuemos las siguientes operaciones:
El vértice vertical inferior nos indica que el resultado de las operaciones corresponde a la
cantidad de elementos de la segunda especie , entonces:
Cantidad de elementos de la segunda especie
(A x B) C
B D
......(☺)
Si quisiéramos calcular la cantidad de elementos de la primera especie las operaciones indicadas
en el rombo adoptan la siguiente forma:
Entonces :
Cantidad de elementos de la primera especie
(A x D) C
.......(☺)
D B
Observación importante:
La ubicación de las cantidades B y D en los vértices verticales es arbitraria, pudiendo ir,
por ejemplo, en el vértice vertical inferior B o D . Lo mismo sucede para el vértice vertical
inferior, la elección de: “en que vértice vertical colocaré a B o D”, dependerá de lo
que el problema me pida. Es más, podemos usar cualquiera de los dos esquermas de
representación y el resultado es el mismo.
4. Ahora apliquemos lo aprendido en nuestro problema...............
Del enunciado del problema podemos deducir que:
A = 50 animales (cantidad total de animales dividido en dos especies : conejos y
gallinas)
C = 120 patas ( cantidad total que presenta una característica común a las dos especies
involucradas o sea las “ patas” )
B = 4 patas ( cantidad unitaria que representa el número de patas de cada conejo) .
D = 2 patas (cantidad unitaria que representa el número de patas de cada gallina) .
Reemplazando estos valores en el rombo y efectuando operaciones:
Fíjate en el vértice vertical inferior , luego el resultado de las operaciones de acuerdo a ☺
nos permitirá obtener el número de gallinas , entonces:
Cantidad de gallinas
(50 x 4 ) 120
40 gallinas
4 2
y si nos preguntaran por el número de conejos. Simplemente,al total de animales, le
restamos la cantidad de gallinas y listo:
Cantidad de conejos
50 40
10 conejos
Para calcular el número de conejos, también hubiéramos podido aplicar ☺ , pero de
acuerdo a lo anterior, no es necesario aplicar nuevamente el método .
Dime que te pareció el método.... simple ¿verdad? Practiquemos resolviendo los siguientes
problemas:
5. 1) Debo pagar S/.2050 con 28 billetes de S/.50 y S/.100 .¿Cuántos billetes de S/.50 debo
emplear?.
Solución:
Del enunciado del problema podemos deducir que:
A = 28 billetes ( cantidad total de billetes dividida en dos clases: billetes de S/.50 y
billetes de S/.100 )
C = S/.2050 ( cantidad total que presenta una característica común a las dos clases de
billetes involucradas o sea los “soles” )
B = S/.50 ( cantidad unitaria que representa el valor de una de billete ) .
D = S/.100 (cantidad unitaria que representa el valor de otra clase billete) .
Reemplazando estos valores en el rombo y efectuando operaciones
Fíjate en el vértice vertical inferior , luego el resultado de las operaciones, de acuerdo a ☺
,nos permitirá obtener la cantidad de billetes de S/.50 , entonces:
Cantidad de billetes de S / .50
(28 x 100 ) 2050
15 billetes
100 50
2) En un examen de admisión que consta de 50 preguntas , un postulante por cada
pregunta bien contestada gana dos puntos y por cada pregunta mal contestada pierde un
punto. ¿Cuántas respondió correctamente, si obtuvo 64 puntos y contestó todas las
preguntas planteadas?
Solución:
De acuerdo al enunciado del problema:
A = 50 preguntas ( cantidad total de preguntas dividida en dos clases: preguntas bien y
mal contestadas )
C = 64 puntos ( cantidad total que presenta una característica común a las dos especies
involucradas es decir los “puntos” )
6. B = 2 puntos ( cantidad unitaria que representa el puntaje de una pregunta bien
contestada ) .
D = -1 puntos ( cantidad unitaria que representa el puntaje de una pregunta mal
contestada, nótese el signo negativo que representa el sentido de pérdida) .
Reemplazando estos valores en el rombo y efectuando operaciones
Fíjate en el vértice vertical inferior , luego el resultado de las operaciones ,de acuerdo a
☺, nos permitirá obtener la cantidad de preguntas mal contestadas , entonces:
Cantidad de preguntas mal contestadas
(50 x 2 ) 64
12
2 ( 1)
Como nos piden la cantidad de preguntas correctas, entonces, al total de preguntas le
restamos la cantidad de preguntas mal contestadas y listo:
Cantidad de preguntas bien contestadas
50 12
38
3) Un padre propone 12 problemas a su hijo con la condición de que por cada problema
que resuelva el muchacho reciba 10 pesetas y por cada problema que no resuelva perderá
6 pesetas . Después de resolver los 12 problemas el recibe 72 pesetas .¿Cuántos problemas
resolvió?.
Solución :
De acuerdo al enunciado del problema:
A = 12 problemas ( cantidad total de problemas dividido en dos clases: problemas
resueltos y problemas no resueltos )
C = 64 pesetas ( cantidad total que presenta una característica común a los dos tipos de
Problemas o sea el dinero en pesetas )
B = 10 pesetas ( cantidad unitaria que representa el dinero recibido por una pregunta
bien contestada ) .
D = -6 pesetas ( cantidad unitaria que representa el dinero perdido por una pregunta
mal contestada ) .
7. Reemplazando estos valores en el rombo y efectuando operaciones
Nuevamente fíjate en el vértice vertical inferior , luego el resultado de las operaciones, de
acuerdo a ☺, nos permitirá obtener la cantidad de problemas que resolvió , entonces:
Cantidad de problemas que resolvió
(12 x
6 ) 72
6 10
9
4)Un litro de leche pura pesa 1930 gramos; cierto día se compraron 6 litros de leche
adulterada que pesa 6120 gramos. ¿Cuántos litros de agua contiene esta leche?
Solución :
En este problema no es fácil distinguir las cantidades totales y unitarias que deben ir en el
rombo .Pues bién,debemos tener en cuenta en este problema que ,como dato adicional, 1
litro de agua pesa 1000 gramos , ahora ¿te diste cuenta?
De acuerdo al enunciado del problema y al dato adicional:
A = 6 litros ( cantidad total de leche adulterada dividida en dos partes: leche pura
y agua )
C = 6120 gramos ( cantidad total que presenta una característica común a los dos tipos
de sustancias )
B = 1030 gramos ( cantidad unitaria que representa el peso de un litro de leche pura ).
D = 1000 gramos ( cantidad unitaria que representa el peso de un litro de agua).
Reemplazando estos valores en el rombo y efectuando operaciones:
8. Otra vez, fíjate en el vértice vertical inferior , luego el resultado de las operaciones, de
acuerdo a ☺ , nos permitirá obtener la cantidad de litros de agua contiene la leche
adulterada , entonces:
Cantidad de litros de agua
(6 x 1030 ) 6120
1030 1000
2 litros
5) Un barril contiene 154 litros de vino que debe ser envasado en 280 botellas , unas de
0,75 litros y otros de 0,4 litros ¿cuántas botellas de 0,75 litros se van a necesitar?
Solución :
Directamente de acuerdo al enunciado del problema :
A = 154 litros de vino
C = 280 botellas (de diferentes capacidades)
B = 0,75 litros ( capacidad de una botella)
D = 0,4 litros (capacidad de la otra clase de botella)
Reemplazando estos valores en el rombo y efectuando operaciones:
9. El vértice vertical inferior , indica que el resultado de las operaciones, de acuerdo a ☺
,nos permitirá obtener la cantidad de botellas de 0,75 litros que se va a necesitar,
entonces:
Cantidad de botellas de 0,75 litros
(280 x 0,4 ) 154
0,4 0,75
120 botellas
6) Dos niños han recorrido en total 64 metros, dando entre los dos 100 pasos.
Si cada paso del segundo mide 50 cm y cada paso del primero 70 cm .¿Cuántos pasos más
que el segundo ha dado el primero?.
Solución:
Directamente de acuerdo al enunciado del problema :
A =100 pasos. (dividido en número de pasos dado por un niño y otro)
C = 64 metros = 6400 cm.
B = 50 cm. (longitud de un paso dado por un niño)
D = 70 cm. (longitud de un paso dado por el otro niño)
Reemplazando estos valores en el rombo y efectuando operaciones:
El vértice vertical inferior , indica que el resultado de las operaciones ,de acuerdo a ☺ ,
nos permitirá obtener la cantidad de pasos que ha dado el segundo niño, entonces:
Cantidad de pasos del 2 niño
(100 x 70) 6400
30 pasos
70 50
luego el primero dio: 100 30 70 pasos
Por tanto la cantidad de pasos que dio el segundo más que el primero será:
70
40 30 pasos
10. 7) En un establo hay vacas, caballos y aves. Si el número total de animales es de 28 y el
número contado de patas es 94. ¿Cuántas aves hay?
Solución:
Aparentemente, en este problema, no se puede aplicar el método del rombo debido a que
en el número total de animales existe la presencia de 3 clases de animales , sin embargo,
ten en cuenta, que tanto las vacas como los caballos, debido a que ambos tienen 4 patas,
los puedes reunir en una sola clase de animales.
De acuerdo al enunciado del problema :
A =28 animales. (dividido en dos clases: por un lado vacas y caballos y de otro las
aves)
C = 94 patas.
B = 4 patas.
D = 2 patas.
Reemplazando estos valores en el rombo y efectuando operaciones:
El vértice vertical inferior , indica que el resultado de las operaciones, de acuerdo a ☺,
nos permitirá obtener la cantidad de aves que hay en el establo, entonces:
Cantidad de aves
(28 x 4) 94
4 2
9 aves
De otro lado el número de animales entre vacas y caballos será: 28 9 19
8) María gasta 180 soles en comprar 100 frutas entre manzanas, peras y duraznos. Las
manzanas y las peras cuestan 2 soles cada uno, y los duraznos 1 sol cada uno. Si en su
compra llevó 10 manzanas mas que peras. ¿Cuántas manzanas mas que duraznos compró?
Solución:
Otra vez nos topamos con un problema, en el cuál ,aparentemente, no se puede aplicar el
método del rombo, debido a que, en la cantidad total de frutas, figuran tres clases
diferentes de ellas y encima hay un dato adicional : hay 10 manzanas más que peras, sin
embargo, teniendo en cuenta que las manzanas y las peras cuestan lo mismo, las podemos
asociar juntas como una misma especie de fruta.
11. Con estas aclaraciones de acuerdo al enunciado del problema:
A =100 frutas. (dividido en dos clases: por un lado manzanas y peras y de otro los
duraznos)
C = 2 soles. (costo de cada manzana y pera)
B = 1 sol.(costo de cada durazno)
D = 180 soles
Reemplazando estos valores en el rombo y efectuando operaciones:
El vértice vertical inferior , indica que el resultado de las operaciones ,de acuerdo a ☺,
nos permitirá obtener la cantidad de duraznos, entonces:
Cantidad de duraznos
(100 x 2) 180
2 1
20 duraznos
Pero, la cantidad de manzanas,¿ Cómo las obtenemos? Observa:
Como en total hay 100 frutas y 20 duraznos, entonces, la cantidad de manzanas y peras
será: 100 20 80 cierto? O mas simplificado: P+ M = 80
Ahora ,de acuerdo al dato adicional : hay 10 manzanas más que peras entonces: M-P =10
Luego resolviendo el sistema de ecuaciones: La cantidad de manzanas M será 45.
Por tanto y finalmente¿Cuántas manzanas más que duraznos compró?: 45 20 25
9) Julio trabaja para Andrés durante 35 días con la condición de que por cada día que
trabaje recibirá 15 euros y por cada día que no trabaje él tendrá que pagar una multa de
10 euros.
¿Cuántos días trabaja Julio si no recibe nada?
Solución:
De acuerdo al enunciado del problema:
A =35 días.( dividido en: días que trabaja y días que no)
C = 0 euros.( en total no recibió nada)
B = 15 euros. (dinero que recibirá por cada día que trabaje)
12. D = -10 euros. (dinero que recibirá por cada día que no trabaje)
Luego:
Fíjate en el vértice vertical superior , éste nos indica que el resultado de las operaciones de
acuerdo a ☺ nos permitirá obtener la cantidad de días que trabajo, entonces:
Cantidad de días que trabajo
(35 x 10 ) 0
10 (15 )
21 días
10) En un congestionado barrio chino el maestro Confucio contó 45 vehículos entre
bicicletas y triciclos, además de contar 120 neumáticos. ¿Cuántos triciclos había en aquel
barrio?
Solución:
De acuerdo al enunciado del problema:
A =45 vehículos.( entre: bicicletas y triciclos)
C = 120 neumáticos .
B = 2 neumáticos. (cantidad de neumáticos que tiene una bicicleta)
C = 3 neumáticos (cantidad de neumáticos que tiene un triciclo)
Luego:
13. Fíjate en el vértice vertical superior , éste nos indica que el resultado de las operaciones,
de acuerdo a ☺ , nos permitirá obtener la cantidad de triciclos, entonces:
Cantidad de triciclos
(45 x 2) 120
2 3
30 triciclos
¿Qué te parecieron esto problemas? Fáciles,¿ si? Pero, por favor,lee la siguiente
advertencia:
Advertencia: como pueden notar el método del rombo es un método bastante fácil y sencillo de
aplicar en la resolución de problemas como los que has visto, sin embargo, no deja de ser un
método “mecánico”. No enseña al alumno a “razonar”, sólo opera y listo , por esta razón es
recomendable que el profesor y el alumno intente primero resolver estos problemas usando los
conocidos métodos de plantear una ecuación de primer grado o plantear un sistema de ecuaciones
o bién algún método aritmético . Sólo al final se aplicará este método en la resolución del problema
planteado.
Huaral(Perú),23 de agosto de 2002
Julio A. Miranda Ubaldo
Profesor de matemáticas
Email: jmiub@yahoo.com