Este documento contiene una serie de ejercicios sobre álgebra de matrices. Los ejercicios incluyen resolver ecuaciones matriciales, calcular potencias de matrices, encontrar matrices que conmutan, y demostrar propiedades de traza, nilpotencia e idempotencia. El documento proporciona las definiciones necesarias y plantea 18 ejercicios para practicar diferentes conceptos y técnicas de álgebra lineal.

1. I.E.S. Griñón Ejercicios Álgebra Hoja 1 Matemáticas II 2010/2011
1 3  − 4 2 − 2
1. Dadas las matrices A = 0 2 y B =  − 3 3 3 
  
   
a. Resolver la ecuación matricial: X+X·A=B .
t
b. Calcular todas las matrices M que conmutan con A.
c. Calcular A25.
 2 1
2. Encuentra los valores de α y λ sabiendo que la matriz A = 
 1 2  verifica la

 
ecuación A + α ⋅ A + λ ⋅ I = 0 .
2
3. Resuelve razonadamente la siguiente ecuación matricial:
 4 1  1 2 0 − 1  0 − 1 2 1 

 −1 0 X −  2 −1 0 1  = 1 0 − 3 0
    
     
 1 1
4. Encontrar todas las matrices X que verifiquen X ⋅ A = A ⋅ X donde A = 
 0 1

 
 1 3
5. Dada la matriz A =   − 1 2  , encontrar una matriz B triangular superior, cuya

 
suma de elementos de la diagonal principal sea 2, que además conmute con la
matriz A.
a − b
6. Sea el conjunto M de matrices de números reales de la forma   b a  con

 
a + b = 1 . Demostrar que si se multiplican dos matrices del conjunto M se
2 2
obtiene como resultado otra matriz que también pertenece al conjunto M, esto es,
si A ∈ M y B ∈ M entonces A ⋅ B ∈ M
 1 1
7. Dada la matriz A = 
 2 1 , obtener las matrices B tales que A·B=B·A .

T
 
 x y  u v
8. Demostrar que las matrices A =  − y x  y B=  − v u  son conmutables para

   
todo valor real x, y, u, v.
a b  1 1
9. Se consideran las matrices M =  0 a y
 V =
 0 1
 a, b ∈ ℜ . Calcular
   
M , n = 1, 2, ...
n
10. Hallar todas las matrices M tales que M 100 = V .
0 0 1 0 0 1
   
11. Considera las matrices A =  0 1 0  y B =  x 1 0  , se pide:
 1 0 0 y 0 0
   
a) Calcula A127 y A128.
b) Determina x e y tal que AB = BA
 2 1
12. Se considera la matriz A = 
 − 1 0  determinar,

 
Profesor: Alfredo Martín

2. a) Calcular An y deducir de esta expresión A-1.
b) El conjunto de todas las matrices que conmutan con A.
13. Dada una matriz A se define su traza, Tr(A), como la suma de los elementos de la
diagonal principal. Se pide:
a) Dadas dos matrices A y B, demostrar que Tr(AB) = Tr(BA).
7 5  a 8
b) De dos matrices cuadradas A y B se sabe que AB =   y BA = 
 5 15   2 b .

   
Calcular los posibles valores de a y b.
 0 1 0
 
14. Sea la matriz A =  0 0 1  , se pide:
 1 0 0
 
a) Encontrar su potencia n-ésima.
 4 3 2
b) Resolver la ecuación matricial X ⋅ ( A + A − A) = 
1 1 1
4 2

 
15. Se dice que una matriz cuadrada en nilpotente cuando alguna de sus potencias es
igual a la matriz nula. En el caso de que n sea el menor entero positivo tal que
A n = 0 , se dice que A es nilpotente de grado n.
 1 1 3 
 
a. Demostrar que A =  5 2 6  es nilpotente de grado 3.
 − 2 − 1 − 3
 
0 a
b. Encuentra todas las matrices B = 
 b 0  nilpotentes de grado 2

 
 a 1 0
 
16. Encontrar las matrices de la forma X =  0 b 1  que verifican X = I
2
0 0 c
 
17. Se dice que una matriz cuadrada es idempotente cuando verifica que su segunda
potencia es igual a ella misma.
4 2 
a. Calcular el valor de m que hace que la matriz A = 
 m − 3  sea

 
idempotente.
1 a
b. Encuentra todas las matrices del tipo 
 b 0  que sean idempotentes

 
1 + λ 1 − λ  1 1  1 − 1
18. Dadas las matrices X = 
1 − λ 1 + λ  , A = 1 1 y B =  − 1 1  :
    
     
a. Demuestra que A y B son conmutables y expresa X en función de A y de
B.
b. Calcula las potencias n-ésimas de A y de B.
Profesor: Alfredo Martín