Este documento presenta 16 ejercicios de álgebra que involucran conceptos como evaluación de expresiones algebraicas, simplificación de expresiones, multiplicación y división de polinomios, y fórmulas geométricas como la fórmula de Herón para el área de un triángulo. Los ejercicios están organizados en secciones y cada uno incluye la expresión o problema algebraico correspondiente y su solución.

1. UNIVERSIDAD GALILEO
HOJA DE TRABAJO # 4
Expresiones algebraicas Conceptos b´sicos
a Ejercicios propuestos
3
1. Evaluar cada expresi´n, para x = −3 e y = .
o
2
(a) 3x − (y − 2x2 )
x y
−
4 2 ·4
(b) x
+5 y
y
Respuesta: (a) 15/2 (b) −4/3
2. Simplificar cada expresi´n:
o
(a) (x2 + 4xy + 3y 2 ) + 2(x2 + xy − y 2 ) − (y 2 − 2xy + x2 ).
(b) 2a + 4by − 2cy 2 + dy 3 − (2dy 3 − 2by − a + 3cy 2 ).
Respuesta: a) 2x2 b) 3a + 6by − 5cy 2 − dy 3
3. Dadas las expresiones: A = x3 + 2x2 − 3x + 1, B = 2x3 − x2 + 4x − 7 y C =
x3 + x2 − 6x − 2. Simplificar:
(a) A + B − C.
(b) A − (B − C).
B − 5C
(c) A + .
3
Respuesta: (a) 2x3 + 7x − 4 (b) 4x2 − 13x + 6 (c) (25x + 6)/3
17

2. Expresiones algebraicas - Conceptos b´sicos
a Ejercicios propuestos 18
a2 + ab
a
4. Considerar la expresi´n algebraica:
o − 2b
2b2 a+b
a+b
1
(a) Evaluar la expresi´n para a = −2, b = − .
o
a
(b) Simplificar la expresi´n.
o
a2
Respuesta: (a) 8, (b) 2
2b
5. Evaluar cada expresi´n, para el valor indicado de x.
o
(9 − 7x)(3x + 1) 1
(a) , para x = .
(2x − 5)(5x − 4) 2
√
3
(b) (4x4 − 4x3 − 14x2 + 3x + 3), para x = .
2
Respuesta: a) 55/24 b) −21/4
6. Simplificar cada expresi´n
o
(a) 3(2a − 3b − 1) + 2(3a − b + 3) − (2 − a + b)
(b) 2x(x + y − 3) − y(3x − y + 2)
Respuesta:
(a) 13a − 12b + 1
(b) 2x2 − xy − 6x + y 2 − 2y
18

3. Expresiones algebraicas - Conceptos b´sicos
a Ejercicios propuestos 19
7. Simplificar cada expresi´n:
o
(a) 2a − 3(a − 4a(3 − 2(2a − 1)))
(b) 16a − a(−7 − (2a − 1)) − (−a(1 − 4a) + (7 − 2a2 ) − 6a)
Respuesta: (a) 59a − 48a2 (b) 29a − 7
8. Efectuar cada multiplicaci´n, y reducir t´rminos semejantes.
o e
(a) 2x(2x + 5y 2 ) − 5y 2 (2x + 5y 2 )
(b) (x2 + xy + y 2 )(x − y)
(c) (m + n)(m3 − m2 n + mn2 − n3 )
Respuesta: (a) 4x2 − 25y 4 (b) x3 − y 3 (c) m4 − n4
9. Efectuar cada operaci´n indicada.
o
(a) (a − 3)(a − 3)(a + 3)
(b) (a2 − a + 1)(a4 − a2 + 1)(a2 + a + 1).
Respuesta: (a) a3 − 3a2 − 9a + 27 (b) a8 + a4 + 1
2 2
10. Dadas las expresiones: A = y B=
1 1
1− 1+
1 1
1− 1+
x x
Simplificar la expresi´n: A − B.
o
19

4. Expresiones algebraicas - Conceptos b´sicos
a Ejercicios propuestos 20
4x2
Respuesta: −
2x + 1
11. Simplificar cada expresi´n:
o
5x − 1 2 − x 4 − x
(a) − +
3 12 8
3x 6x 8y 2x x 2
(b) − + − −
4y 15y 9x 3xy 2y 2 3
a(x − 5y) a(2x − 10y) x − 5y
(c) + +
10y − 2x 15y − 3x ax − 5ay
3x2 6 − 7a2
Respuesta: (a) 13x/8 (b) (c)
10y 2 6a
12. Hallar el cuociente y el resto de cada divisi´n:
o
(a) (5x3 − 2x + 3):(x + 2)
(b) (a3 − 3a2 + 4a − 7):(a2 + a − 1)
(c) (16x4 + 19x2 + 11x + 4):(4x + 1)
Respuesta:
(a) Cuociente = 5x2 − 10x + 18, Resto = −33
(b) Cuociente = a − 4, Resto = 9a − 11
(c) Cuociente = 4x3 − x2 + 5x + 3/2, Resto = 5/2
20

5. Expresiones algebraicas - Conceptos b´sicos
a Ejercicios propuestos 21
13. Hallar el cuociente y el resto de cada divisi´n:
o
(a) (x3 − 27):(x − 3)
(b) (x4 + 64):(x2 − 4x + 8)
(c) (x4 − y 4 ):(x − y)
Respuesta: (a) Cuociente = 9x2 + 6x + 4, Resto = 0
(b) Cuociente = x2 + 4x + 8, Resto = 0
(c) Cuociente = x3 + x2 y + xy 2 + y 3 , Resto = 0
14. Asociar cada enunciado con su correspondiente expresi´n algebraica, en t´rminos
o e
de x:
(a) La suma de tres n´meros enteros consecutivos, es:
u 0.1x
4x
(b) El per´
ımetro de un rect´ngulo es 12.
a
9
El ´rea del rect´ngulo en t´rminos de su ancho es:
a a e
(c) La suma de dos n´meros es 18 y uno de los n´meros
u u 3x + 3
es x. La tercera parte del otro n´mero es:
u
6
(d) El producto de dos n´meros es 18. Si uno de los
u
x
n´meros es x, entonces, la tercera parte del otro n´mero es:
u u
x
(e) Mario tiene x pesos en monedas de $10. +6
3
Cu´ntas monedas de $10 tiene Mario?
a
(f) Un hombre recorre la tercera parte de un trayecto a pie, 6x − x2
y la tercera parte del resto del camino lo hace en bote.
Le queda por recorrer:
21

6. Expresiones algebraicas - Conceptos b´sicos
a Ejercicios propuestos 22
Respuesta:
x 6
(a) 3x + 3, (b) 6x − x2 , (c) + 6, (d)
3 x
4x
(e) 0.1x, (f)
9
15. El ´rea de un tri´ngulo de lados a, b, c se puede determinar aplicando la f´rmula
a a o
de Her´n:
o
A= s(s − a)(s − b)(s − c)
a+b+c
siendo s = .
2
Her´n de Alejandr´
o ıa
(a) Calcular el ´rea de un tri´ngulo cuyos lados miden a = 15cm, b = 20cm y
a a
c = 25cm.
(b) Usando la f´rmula de Her´n, determinar el ´rea de un tri´ngulo equil´tero de
o o a a a
lado a.
Respuesta: 150 cm2
16. En un libro de Leonardo de Pisa que data del a˜o 1225 se encuentra la igualdad:
n
(a2 + b2 )(c2 + d2 ) = (ac + bd)2 + (bc − ad)2
(a) Demostrar esta igualdad.
(b) Utilizar esta igualdad para escribir 13 · 41 como la suma de dos cuadrados.
22

7. Expresiones algebraicas - Conceptos b´sicos
a Ejercicios propuestos 23
Respuesta:
(a) (a2 + b2 )(c2 + d2 ) = a2 c2 + a2 d2 + b2 c2 + b2 d2
(ac + bd)2 + (bc − ad)2 = (ac + bd)(ac + bd) + (bc − ad)(bc − ad)
= a2 c2 + a2 d2 + b2 c2 + b2 d2
(b) 13 · 41 = (32 + 22 )(52 + 42 )
= (3 · 5 + 2 · 4)2 + (2 · 5 − 3 · 4)2 = 232 + 22
17. Los tiempos requeridos por dos hermanos para pintar 1m2 del muro de su dormitorio
difieren en 1 minuto. Si el que pinta m´s r´pido demora x minutos en pintar 1m2 de
a a
2
muro. Expresar la cantidad de m de muro que pueden pintar juntos en 1 minuto.
2x + 1
Respuesta:
x2 + x
18. En la figura se encuentran dibujadas tres semicircunferencias, tales que AB = a y
BC = b. Determinar el ´rea de la regi´n achurada en t´rminos de a y b.
a o e
23

8. Expresiones algebraicas - Conceptos b´sicos
a Ejercicios propuestos 24
ab
Respuesta: El ´rea de la regi´n achurada es
a o π.
2
19. Piense un n´mero entero. S´mele su doble. A˜ada 540 al resultado obtenido.
u u n
Divida el resultado anterior por 3. R´stele al nuevo resultado el n´mero inicial.
e u
Qu´ puede concluir respecto del n´mero que obtiene?.
e u
Respuesta: Independiente del n´mero pensado, el n´mero que se obtiene es 180.
u u
24