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UNIVERSIDAD GALILEO
 HOJA DE TRABAJO # 4

  Expresiones algebraicas          Conceptos b´sicos
                                              a                     Ejercicios propuestos

                                            3
1. Evaluar cada expresi´n, para x = −3 e y = .
                       o
                                            2
  (a) 3x − (y − 2x2 )

      x y
        −
      4 2 ·4
  (b) x
        +5 y
      y

  Respuesta: (a) 15/2             (b) −4/3




2. Simplificar cada expresi´n:
                          o
  (a) (x2 + 4xy + 3y 2 ) + 2(x2 + xy − y 2 ) − (y 2 − 2xy + x2 ).
  (b) 2a + 4by − 2cy 2 + dy 3 − (2dy 3 − 2by − a + 3cy 2 ).

  Respuesta: a) 2x2             b) 3a + 6by − 5cy 2 − dy 3




3. Dadas las expresiones: A = x3 + 2x2 − 3x + 1, B = 2x3 − x2 + 4x − 7 y C =
   x3 + x2 − 6x − 2. Simplificar:

  (a) A + B − C.
  (b) A − (B − C).
          B − 5C
  (c) A +        .
             3

  Respuesta: (a) 2x3 + 7x − 4             (b) 4x2 − 13x + 6           (c) (25x + 6)/3




                                          17
Expresiones algebraicas - Conceptos b´sicos
                                     a                           Ejercicios propuestos 18


                                                       a2 + ab
                                                 a
  4. Considerar la expresi´n algebraica:
                          o                           − 2b
                                                2b2     a+b
                                               a+b
                                                1
     (a) Evaluar la expresi´n para a = −2, b = − .
                           o
                                                a
     (b) Simplificar la expresi´n.
                              o

                                      a2
     Respuesta: (a) 8,             (b) 2
                                      2b



  5. Evaluar cada expresi´n, para el valor indicado de x.
                         o
           (9 − 7x)(3x + 1)           1
     (a)                    , para x = .
           (2x − 5)(5x − 4)           2
                                                       √
                                                        3
     (b) (4x4 − 4x3 − 14x2 + 3x + 3), para x =            .
                                                       2
     Respuesta: a) 55/24                  b) −21/4



  6. Simplificar cada expresi´n
                            o
     (a) 3(2a − 3b − 1) + 2(3a − b + 3) − (2 − a + b)
     (b) 2x(x + y − 3) − y(3x − y + 2)

     Respuesta:
     (a) 13a − 12b + 1
     (b) 2x2 − xy − 6x + y 2 − 2y




                                               18
Expresiones algebraicas - Conceptos b´sicos
                                     a                                        Ejercicios propuestos 19



  7. Simplificar cada expresi´n:
                            o
     (a) 2a − 3(a − 4a(3 − 2(2a − 1)))
     (b) 16a − a(−7 − (2a − 1)) − (−a(1 − 4a) + (7 − 2a2 ) − 6a)

     Respuesta: (a) 59a − 48a2                (b) 29a − 7




  8. Efectuar cada multiplicaci´n, y reducir t´rminos semejantes.
                               o              e
     (a) 2x(2x + 5y 2 ) − 5y 2 (2x + 5y 2 )
     (b) (x2 + xy + y 2 )(x − y)
      (c) (m + n)(m3 − m2 n + mn2 − n3 )

     Respuesta: (a) 4x2 − 25y 4               (b) x3 − y 3         (c) m4 − n4




  9. Efectuar cada operaci´n indicada.
                          o
     (a) (a − 3)(a − 3)(a + 3)
     (b) (a2 − a + 1)(a4 − a2 + 1)(a2 + a + 1).

     Respuesta: (a) a3 − 3a2 − 9a + 27                      (b) a8 + a4 + 1




                                               2                          2
 10. Dadas las expresiones: A =                              y B=
                                                   1                          1
                                        1−                           1+
                                                       1                          1
                                              1−                          1+
                                                       x                          x
     Simplificar la expresi´n: A − B.
                          o



                                                       19
Expresiones algebraicas - Conceptos b´sicos
                                     a                                     Ejercicios propuestos 20



                   4x2
     Respuesta: −
                  2x + 1



 11. Simplificar cada expresi´n:
                            o
         5x − 1 2 − x 4 − x
     (a)        −       +
           3        12       8
         3x 6x      8y     2x                  x    2
     (b)          −     +       −                 −
         4y 15y 9x 3xy                        2y 2 3
         a(x − 5y) a(2x − 10y)                 x − 5y
     (c)           +             +
         10y − 2x      15y − 3x               ax − 5ay

                                              3x2                6 − 7a2
     Respuesta: (a) 13x/8             (b)                  (c)
                                              10y 2                6a



 12. Hallar el cuociente y el resto de cada divisi´n:
                                                  o
     (a) (5x3 − 2x + 3):(x + 2)
     (b) (a3 − 3a2 + 4a − 7):(a2 + a − 1)
      (c) (16x4 + 19x2 + 11x + 4):(4x + 1)

     Respuesta:
     (a) Cuociente = 5x2 − 10x + 18, Resto = −33

     (b) Cuociente = a − 4, Resto = 9a − 11

     (c) Cuociente = 4x3 − x2 + 5x + 3/2, Resto = 5/2




                                                      20
Expresiones algebraicas - Conceptos b´sicos
                                     a                           Ejercicios propuestos 21



 13. Hallar el cuociente y el resto de cada divisi´n:
                                                  o
     (a) (x3 − 27):(x − 3)
     (b) (x4 + 64):(x2 − 4x + 8)
      (c) (x4 − y 4 ):(x − y)

     Respuesta: (a) Cuociente = 9x2 + 6x + 4, Resto = 0

     (b) Cuociente = x2 + 4x + 8, Resto = 0

     (c) Cuociente = x3 + x2 y + xy 2 + y 3 , Resto = 0




 14. Asociar cada enunciado con su correspondiente expresi´n algebraica, en t´rminos
                                                          o                  e
     de x:

          (a) La suma de tres n´meros enteros consecutivos, es:
                               u                                                0.1x
                                                                                 4x
          (b) El per´
                    ımetro de un rect´ngulo es 12.
                                     a
                                                                                  9
              El ´rea del rect´ngulo en t´rminos de su ancho es:
                 a            a          e
          (c) La suma de dos n´meros es 18 y uno de los n´meros
                                u                          u                   3x + 3
              es x. La tercera parte del otro n´mero es:
                                               u
                                                                                 6
          (d) El producto de dos n´meros es 18. Si uno de los
                                  u
                                                                                 x
                n´meros es x, entonces, la tercera parte del otro n´mero es:
                 u                                                 u
                                                                                x
          (e) Mario tiene x pesos en monedas de $10.                              +6
                                                                                3
                Cu´ntas monedas de $10 tiene Mario?
                   a
          (f)   Un hombre recorre la tercera parte de un trayecto a pie,       6x − x2
                y la tercera parte del resto del camino lo hace en bote.
                Le queda por recorrer:




                                              21
Expresiones algebraicas - Conceptos b´sicos
                                     a                                   Ejercicios propuestos 22



     Respuesta:
                                                     x               6
     (a) 3x + 3,         (b) 6x − x2 ,        (c)      + 6,    (d)
                                                     3               x
                            4x
     (e) 0.1x,        (f)
                             9



 15. El ´rea de un tri´ngulo de lados a, b, c se puede determinar aplicando la f´rmula
        a             a                                                         o
     de Her´n:
           o


                                                A=       s(s − a)(s − b)(s − c)

                                                              a+b+c
                                                siendo s =          .
                                                                2
          Her´n de Alejandr´
             o             ıa

     (a) Calcular el ´rea de un tri´ngulo cuyos lados miden a = 15cm, b = 20cm y
                     a             a
         c = 25cm.
     (b) Usando la f´rmula de Her´n, determinar el ´rea de un tri´ngulo equil´tero de
                    o            o                 a             a           a
         lado a.

     Respuesta: 150 cm2




 16. En un libro de Leonardo de Pisa que data del a˜o 1225 se encuentra la igualdad:
                                                   n

                            (a2 + b2 )(c2 + d2 ) = (ac + bd)2 + (bc − ad)2

     (a) Demostrar esta igualdad.
     (b) Utilizar esta igualdad para escribir 13 · 41 como la suma de dos cuadrados.


                                                    22
Expresiones algebraicas - Conceptos b´sicos
                                     a                          Ejercicios propuestos 23



     Respuesta:


     (a) (a2 + b2 )(c2 + d2 ) = a2 c2 + a2 d2 + b2 c2 + b2 d2

                (ac + bd)2 + (bc − ad)2 = (ac + bd)(ac + bd) + (bc − ad)(bc − ad)
                                        = a2 c2 + a2 d2 + b2 c2 + b2 d2

     (b) 13 · 41 = (32 + 22 )(52 + 42 )
         = (3 · 5 + 2 · 4)2 + (2 · 5 − 3 · 4)2 = 232 + 22




 17. Los tiempos requeridos por dos hermanos para pintar 1m2 del muro de su dormitorio
     difieren en 1 minuto. Si el que pinta m´s r´pido demora x minutos en pintar 1m2 de
                                           a a
                                       2
     muro. Expresar la cantidad de m de muro que pueden pintar juntos en 1 minuto.




                     2x + 1
     Respuesta:
                     x2 + x



 18. En la figura se encuentran dibujadas tres semicircunferencias, tales que AB = a y
     BC = b. Determinar el ´rea de la regi´n achurada en t´rminos de a y b.
                            a             o                e


                                                23
Expresiones algebraicas - Conceptos b´sicos
                                     a                        Ejercicios propuestos 24




                                                   ab
     Respuesta: El ´rea de la regi´n achurada es
                   a              o                   π.
                                                   2



 19. Piense un n´mero entero. S´mele su doble. A˜ada 540 al resultado obtenido.
                 u                u                  n
     Divida el resultado anterior por 3. R´stele al nuevo resultado el n´mero inicial.
                                          e                             u
     Qu´ puede concluir respecto del n´mero que obtiene?.
        e                              u




     Respuesta: Independiente del n´mero pensado, el n´mero que se obtiene es 180.
                                   u                  u




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  • 1. UNIVERSIDAD GALILEO HOJA DE TRABAJO # 4 Expresiones algebraicas Conceptos b´sicos a Ejercicios propuestos 3 1. Evaluar cada expresi´n, para x = −3 e y = . o 2 (a) 3x − (y − 2x2 ) x y − 4 2 ·4 (b) x +5 y y Respuesta: (a) 15/2 (b) −4/3 2. Simplificar cada expresi´n: o (a) (x2 + 4xy + 3y 2 ) + 2(x2 + xy − y 2 ) − (y 2 − 2xy + x2 ). (b) 2a + 4by − 2cy 2 + dy 3 − (2dy 3 − 2by − a + 3cy 2 ). Respuesta: a) 2x2 b) 3a + 6by − 5cy 2 − dy 3 3. Dadas las expresiones: A = x3 + 2x2 − 3x + 1, B = 2x3 − x2 + 4x − 7 y C = x3 + x2 − 6x − 2. Simplificar: (a) A + B − C. (b) A − (B − C). B − 5C (c) A + . 3 Respuesta: (a) 2x3 + 7x − 4 (b) 4x2 − 13x + 6 (c) (25x + 6)/3 17
  • 2. Expresiones algebraicas - Conceptos b´sicos a Ejercicios propuestos 18 a2 + ab a 4. Considerar la expresi´n algebraica: o − 2b 2b2 a+b a+b 1 (a) Evaluar la expresi´n para a = −2, b = − . o a (b) Simplificar la expresi´n. o a2 Respuesta: (a) 8, (b) 2 2b 5. Evaluar cada expresi´n, para el valor indicado de x. o (9 − 7x)(3x + 1) 1 (a) , para x = . (2x − 5)(5x − 4) 2 √ 3 (b) (4x4 − 4x3 − 14x2 + 3x + 3), para x = . 2 Respuesta: a) 55/24 b) −21/4 6. Simplificar cada expresi´n o (a) 3(2a − 3b − 1) + 2(3a − b + 3) − (2 − a + b) (b) 2x(x + y − 3) − y(3x − y + 2) Respuesta: (a) 13a − 12b + 1 (b) 2x2 − xy − 6x + y 2 − 2y 18
  • 3. Expresiones algebraicas - Conceptos b´sicos a Ejercicios propuestos 19 7. Simplificar cada expresi´n: o (a) 2a − 3(a − 4a(3 − 2(2a − 1))) (b) 16a − a(−7 − (2a − 1)) − (−a(1 − 4a) + (7 − 2a2 ) − 6a) Respuesta: (a) 59a − 48a2 (b) 29a − 7 8. Efectuar cada multiplicaci´n, y reducir t´rminos semejantes. o e (a) 2x(2x + 5y 2 ) − 5y 2 (2x + 5y 2 ) (b) (x2 + xy + y 2 )(x − y) (c) (m + n)(m3 − m2 n + mn2 − n3 ) Respuesta: (a) 4x2 − 25y 4 (b) x3 − y 3 (c) m4 − n4 9. Efectuar cada operaci´n indicada. o (a) (a − 3)(a − 3)(a + 3) (b) (a2 − a + 1)(a4 − a2 + 1)(a2 + a + 1). Respuesta: (a) a3 − 3a2 − 9a + 27 (b) a8 + a4 + 1 2 2 10. Dadas las expresiones: A = y B= 1 1 1− 1+ 1 1 1− 1+ x x Simplificar la expresi´n: A − B. o 19
  • 4. Expresiones algebraicas - Conceptos b´sicos a Ejercicios propuestos 20 4x2 Respuesta: − 2x + 1 11. Simplificar cada expresi´n: o 5x − 1 2 − x 4 − x (a) − + 3 12 8 3x 6x 8y 2x x 2 (b) − + − − 4y 15y 9x 3xy 2y 2 3 a(x − 5y) a(2x − 10y) x − 5y (c) + + 10y − 2x 15y − 3x ax − 5ay 3x2 6 − 7a2 Respuesta: (a) 13x/8 (b) (c) 10y 2 6a 12. Hallar el cuociente y el resto de cada divisi´n: o (a) (5x3 − 2x + 3):(x + 2) (b) (a3 − 3a2 + 4a − 7):(a2 + a − 1) (c) (16x4 + 19x2 + 11x + 4):(4x + 1) Respuesta: (a) Cuociente = 5x2 − 10x + 18, Resto = −33 (b) Cuociente = a − 4, Resto = 9a − 11 (c) Cuociente = 4x3 − x2 + 5x + 3/2, Resto = 5/2 20
  • 5. Expresiones algebraicas - Conceptos b´sicos a Ejercicios propuestos 21 13. Hallar el cuociente y el resto de cada divisi´n: o (a) (x3 − 27):(x − 3) (b) (x4 + 64):(x2 − 4x + 8) (c) (x4 − y 4 ):(x − y) Respuesta: (a) Cuociente = 9x2 + 6x + 4, Resto = 0 (b) Cuociente = x2 + 4x + 8, Resto = 0 (c) Cuociente = x3 + x2 y + xy 2 + y 3 , Resto = 0 14. Asociar cada enunciado con su correspondiente expresi´n algebraica, en t´rminos o e de x: (a) La suma de tres n´meros enteros consecutivos, es: u 0.1x 4x (b) El per´ ımetro de un rect´ngulo es 12. a 9 El ´rea del rect´ngulo en t´rminos de su ancho es: a a e (c) La suma de dos n´meros es 18 y uno de los n´meros u u 3x + 3 es x. La tercera parte del otro n´mero es: u 6 (d) El producto de dos n´meros es 18. Si uno de los u x n´meros es x, entonces, la tercera parte del otro n´mero es: u u x (e) Mario tiene x pesos en monedas de $10. +6 3 Cu´ntas monedas de $10 tiene Mario? a (f) Un hombre recorre la tercera parte de un trayecto a pie, 6x − x2 y la tercera parte del resto del camino lo hace en bote. Le queda por recorrer: 21
  • 6. Expresiones algebraicas - Conceptos b´sicos a Ejercicios propuestos 22 Respuesta: x 6 (a) 3x + 3, (b) 6x − x2 , (c) + 6, (d) 3 x 4x (e) 0.1x, (f) 9 15. El ´rea de un tri´ngulo de lados a, b, c se puede determinar aplicando la f´rmula a a o de Her´n: o A= s(s − a)(s − b)(s − c) a+b+c siendo s = . 2 Her´n de Alejandr´ o ıa (a) Calcular el ´rea de un tri´ngulo cuyos lados miden a = 15cm, b = 20cm y a a c = 25cm. (b) Usando la f´rmula de Her´n, determinar el ´rea de un tri´ngulo equil´tero de o o a a a lado a. Respuesta: 150 cm2 16. En un libro de Leonardo de Pisa que data del a˜o 1225 se encuentra la igualdad: n (a2 + b2 )(c2 + d2 ) = (ac + bd)2 + (bc − ad)2 (a) Demostrar esta igualdad. (b) Utilizar esta igualdad para escribir 13 · 41 como la suma de dos cuadrados. 22
  • 7. Expresiones algebraicas - Conceptos b´sicos a Ejercicios propuestos 23 Respuesta: (a) (a2 + b2 )(c2 + d2 ) = a2 c2 + a2 d2 + b2 c2 + b2 d2 (ac + bd)2 + (bc − ad)2 = (ac + bd)(ac + bd) + (bc − ad)(bc − ad) = a2 c2 + a2 d2 + b2 c2 + b2 d2 (b) 13 · 41 = (32 + 22 )(52 + 42 ) = (3 · 5 + 2 · 4)2 + (2 · 5 − 3 · 4)2 = 232 + 22 17. Los tiempos requeridos por dos hermanos para pintar 1m2 del muro de su dormitorio difieren en 1 minuto. Si el que pinta m´s r´pido demora x minutos en pintar 1m2 de a a 2 muro. Expresar la cantidad de m de muro que pueden pintar juntos en 1 minuto. 2x + 1 Respuesta: x2 + x 18. En la figura se encuentran dibujadas tres semicircunferencias, tales que AB = a y BC = b. Determinar el ´rea de la regi´n achurada en t´rminos de a y b. a o e 23
  • 8. Expresiones algebraicas - Conceptos b´sicos a Ejercicios propuestos 24 ab Respuesta: El ´rea de la regi´n achurada es a o π. 2 19. Piense un n´mero entero. S´mele su doble. A˜ada 540 al resultado obtenido. u u n Divida el resultado anterior por 3. R´stele al nuevo resultado el n´mero inicial. e u Qu´ puede concluir respecto del n´mero que obtiene?. e u Respuesta: Independiente del n´mero pensado, el n´mero que se obtiene es 180. u u 24