Este documento describe los conceptos básicos del movimiento en el espacio, incluyendo la posición, velocidad, aceleración y trayectorias de partículas. Explica que para un movimiento uniforme, la posición de una partícula depende linealmente del tiempo, mientras que para un movimiento uniformemente acelerado, la posición depende del cuadrado del tiempo. También cubre cómo determinar puntos extremos, máximos y mínimos analizando la derivada segunda de la posición con respecto al tiempo.

1. C I N E M Á T I C A
UNIDAD 1

2. 1.3. MOVIMIENTO ACELERADO EN EL
ESPACIO
• Sea una partícula en el espacio. Mediante un sistema de
referencia cartesiano se puede conocer su posición.
• El vector de posición une el origen de coordenadas
con el punto donde está la partícula: r = xi + yj + zk.

3. 1.3. MOVIMIENTO ACELERADO EN EL
ESPACIO
• En caso de que la partícula se mueva a lo largo del
tiempo el vector posición cambiará a lo largo del tiempo:
r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k.
• Su representación nos da la trayectoria de la partícula.

4. 1.3. MOVIMIENTO ACELERADO EN EL
ESPACIO
• Dada la posición de la partícula en dos instantes de
tiempo diferentes el vector que une dichas posiciones se
llama vector de desplazamiento: Dr(t) = r(tf) – r(ti).
• No se puede confundir con la distancia, la cual es una
magnitud escalar.

5. 1.3. MOVIMIENTO ACELERADO EN EL
ESPACIO
• La manera de vincular el cambio de posición con el
cambio del tiempo se define como velocidad media.
• Todo movimiento donde la velocidad media sea
constante se denomina uniforme.
• Es necesario distinguir entre velocidad (un vector) y
rapidez (un escalar, el módulo del anterior).
• Si Dt tiende a 0 se obtiene la velocidad instantánea.

6. 1.3. MOVIMIENTO ACELERADO EN EL
ESPACIO
• Para los movimientos uniformes, si se conocen las
condiciones iniciales t0 y r0 se puede conocer la
trayectoria de la partícula:

7. 1.3. MOVIMIENTO ACELERADO EN EL
ESPACIO
• Para movimientos en los que la velocidad no sea
constante se puede determinar la tasa con la que varía a
lo largo del tiempo.
• Esta tasa toma el nombre de aceleración media.
• En los casos de aceleración constante estamos ante un
movimiento uniformemente acelerado.
• Al igual que la velocidad, puede definirse una
aceleración instantánea.

8. 1.3. MOVIMIENTO ACELERADO EN EL
ESPACIO
• Combinando las expresiones de velocidad y aceleración
se puede vincular aceleración y posición:
• Mediante integración se puede conocer una ecuación
para este tipo de movimiento si conocemos las
condiciones iniciales:

9. 1.3. MOVIMIENTO ACELERADO EN EL
ESPACIO
• Con condiciones iniciales en la derivada segunda se
puede obtener una segunda ecuación:
• Dividir la velocidad con respecto la aceleración da una
tercera ecuación.

10. 1.3. MOVIMIENTO ACELERADO EN EL
ESPACIO
• En resumen, en un movimiento uniforme se tiene que
• En cambio, para un movimiento uniformemente
acelerado

11. 1.3. MOVIMIENTO ACELERADO EN EL
ESPACIO
• Si las ecuaciones no obedecen ninguna de las
proporcionalidades indicadas se tiene que el movimiento es
acelerado y la aceleración dependerá del tiempo.
• Ninguna expresión anterior será válida.
• Sin embargo, al conocer la trayectoria nos permite determinar
la velocidad y aceleración de la partícula mediante
derivación.
• De igual manera, conocer la aceleración permite conocer la
velocidad y la trayectoria de la partícula mediante
integración.
• En este caso ha de conocerse también toda condición inicial.

12. 1.3. MOVIMIENTO ACELERADO EN EL
ESPACIO
• Dada una ecuación y(t) se puede saber cuándo
alcanzará un punto máximo o mínimo en su
representación.
• La posición text donde se da el punto extremal se
obtiene de resolver la siguiente ecuación diferencial:
• El valor extremal se conoce al resolver y(text).

13. 1.3. MOVIMIENTO ACELERADO EN EL
ESPACIO
• Para saber si el punto extremal es un máximo o un
mínimo es necesario llevar a cabo la derivada segunda y
determinar el signo de la expresión cuando evaluamos
en text.
• Será un máximo cuando (la función ahí es cóncava):
• Por otro lado, tendremos un mínimo cuando (la función
ahí es convexa):

14. 1.3. MOVIMIENTO ACELERADO EN EL
ESPACIO
• El paso de concavidad a convexidad se da en los
puntos de inflexión.
• En estos puntos se verifica que
• Sin embargo, la derivada tercera evaluada en tp no
puede ser 0.