Identidades funciones log_expo

Identidades/Función exponencial
y logarítmica
29/10/2019 MATEMÁTICA GENERAL II S 2019 1
PROF: KARINA GONZÁLEZ VARGAS
CAMPUS TECNOLÓGICO LOCAL SAN CARLOS
II SEMESTRE, 2019

Suponiendo que 𝑥 y 𝑦 son valores positivos y que log 𝑥 + log 𝑦 ≠ 0. Verifique que
log 𝑥2
+ log 𝑦2
log 𝑥 + log 𝑦
= 2
Identidades logarítmicas

Identidades logarítmicas
Suponiendo que 𝑎 > 𝑏 > 0. Verifique que
log 𝑎−𝑏
1
𝑎 − 𝑏
+ log 𝑎
𝑏
𝑏
𝑎
log 𝑎+𝑏 𝑎 + 𝑏
= −3

Práctica
Utilizando las propiedades de expresiones logarítmicas y exponenciales, verifique cada
una de las identidades siguientes:
1. log 𝑎𝑏3 − log 𝑐
3
𝑎2 = log
𝑏33
𝑎
𝑐
2. log2
3
𝑧
𝑥 𝑦
=
1
3
log2 𝑧 − log2 𝑥 −
1
2
log2 𝑦
3.
log3(𝑥+ℎ)−log3(𝑥)
ℎ
= log3 1 +
ℎ
𝑥
1
ℎ
4. log5(𝑥) +
1
2
log5(𝑦) − log5 𝑧 + 3 − 2 = log5
𝑥 𝑦
25(𝑧+3)

Tarea Moral
Demuestre las siguientes identidades:
a) log
𝑥 𝑥+1
𝑥2−1
= log(𝑥) −
1
2
log 𝑥 + 1 − log 𝑥 − 1
b) 2 + ln log 𝑎(𝑥) − ln log 𝑎 𝑥 𝑒
= 1
c) log 𝑎 𝑎 + 𝑏 2
= 2 log(𝑎 + 𝑏) + log(𝑎)
d) log 𝑎
𝑥3 𝑦
𝑧2 = 3 log 𝑎(𝑥) +
1
2
log 𝑎(𝑦) − 2log 𝑎(𝑧)
e) ln 𝑥
3
2𝑥 + 1
5
3𝑥 + 1 2 = ln 𝑥 +
1
3
ln(2𝑥 + 1) +
2
5
ln(3𝑥 + 1)

Función logarítmica
La base cumple:
1) 0 < 𝑎 < 1 la función es decreciente
2) 𝑎 > 1 la función es creciente
𝒙 debe de cumplir:
𝑥 > 0
log 𝑎(𝑥) = 𝑦
Base
Argumento

Las funciones logarítmicas de la forma 𝑓 𝑥 = log 𝑎(𝑥) siempre pasan por los
puntos (𝟏 , 𝟎) ∧ (𝒂 , 𝟏)

Función logarítmica ejemplo

Función logarítmica transformaciones
1. Reflexiones con respecto al eje de las
coordenadas
La gráfica de la función 𝑔 𝑥 = log 𝑎(−𝑥) se
obtiene reflejando con respecto al eje 𝑦 la
gráfica de 𝑔 𝑥 = log 𝑎(𝑥)

2. Desplazamientos horizontales
𝑔 𝑥 = log 𝑎(𝑥 − 𝑐) se obtiene a partir de la gráfica de
la función 𝑔 𝑥 = log 𝑎(𝑥) trasladándose 𝑐 unidades
Hacia la derecha, si c es positivo.
Hacia la izquierda si c es negativo.

3. Desplazamientos verticales
𝑔 𝑥 = log 𝑎(𝑥) + 𝑐 se obtiene a partir de la gráfica de
la función 𝑔 𝑥 = log 𝑎(𝑥) trasladándose 𝑐 unidades
Hacia arriba, si c es positivo.
Hacia abajo si c es negativo.

Si 𝑎 ∧ 𝑥 son números reales positivos y 𝑎 ≠ 1.
Se llama logaritmo de 𝑥 en base 𝑎 al número real 𝑦
tal que 𝑎 𝑦 = 𝑥, es decir: 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒙 = 𝒚 ⇔ 𝒂 𝒚 = 𝒙
La función logarítmica es la inversa de la
exponencial.
(Note que el argumento es positivo siempre)

En general, llamamos función exponencial a
cualquier función de la forma 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥
, con
𝑎 > 0, y 𝑎 ≠ 1. Para esta función se cumple lo
siguiente:
1) Si 0 < 𝑎 < 1 la función es decreciente.
2) Si 𝑎 > 1 la función es creciente.
Función exponencial

La gráfica de la función 𝑔 𝑥 =
𝑎−𝑥
se obtiene reflejando con
respecto al eje 𝑦 la gráfica de
𝑔 𝑥 = 𝑎 𝑥
También, puede verse 𝑔 𝑥 =
1
𝑎
𝑥

2. Desplazamientos verticales
𝑔 𝑥 = 𝑎 𝑥
+ 𝑐 se obtiene a partir de la
gráfica de la función 𝑔 𝑥 = 𝑎 𝑥
trasladándose 𝑐 unidades
Hacia arriba, si c es positivo.
Hacia abajo si c es negativo.

3. Desplazamientos horizontales
𝑔 𝑥 = 𝑎 𝑥+𝑐
se obtiene a partir de la
gráfica de la función 𝑔 𝑥 = 𝑎 𝑥+𝑐
trasladándose unidades
Hacia la izquierda, si c es positivo.
Hacia la derecha si c es negativo.
Para ello se encuentra el corte en 𝑦

4. Apertura hacia la derecha o
izquierda
𝑔 𝑥 = 𝑎 𝑐𝑥
se obtiene a partir de la
gráfica de la función 𝑔 𝑥 = 𝑎 𝑥
abriendo hacia la derecha o la
izquierda.

Función exponencial 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥
Función logarítmica 𝒇 𝒙 = log 𝒂(𝒙)
Dominio máximo ℝ 0, +∞
Rango o Ámbito 0, +∞ ℝ
Intersección con eje x No hay (1,0)
Intersección con eje y (0,1) No hay
Asíntota Eje x Eje y
Monotonía Creciente 𝑎 > 1, Decr.0 < 𝑎 < 1 Creciente 𝑎 > 1, Decr.0 < 𝑎 < 1
Resumen

Realice el esbozo de las gráficas
1. 𝑦 = 2−𝑥
2. 𝑦 = 23−𝑥
3. 𝑦 = 23−𝑥 + 1
4. 𝑦 = 3. 23−𝑥 + 1

(1) Sea ℎ una función biyectiva tal que ℎ 𝑥 = 2 𝑥
− 4. Determine:
(a) El criterio de ℎ −1
(b) El ámbito de ℎ
(c) Las intersecciones de ℎ con los ejes coordenados
(2) Sea f la función con criterio 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑛 1 − 𝑥 + 4.
(a) Determine el dominio de la función 𝑓.
(b) Determine el dominio y el criterio de la función
inversa de 𝑓, denotada 𝑓 −1
(c) Halle los cortes en los ejes coordenados de 𝑓 y de 𝑓−1
Práctica

(3) Sea ℎ una función biyectiva tal que ℎ 𝑥 = 2. 3 5−𝑥
− 1. Determine:
(a) El criterio de ℎ −1
(b) El dominio de ℎ −1
(c) Las intersecciones de ℎ con los ejes coordenados
(2) Sea f la función con criterio 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑛 1 − 𝑥 + 4, suponiendo que es biyectiva.
(a) Determine el dominio y el criterio de la función inversa de 𝑓, denotada 𝑓 −1
(b) Halle los cortes en los ejes coordenados de 𝑓 y de 𝑓−1
Práctica

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