El documento presenta una demostración gráfica y analítica de que dos funciones, F(x)=5^x y G(x)=log5(x), son funciones inversas. Calcula también la derivada e integral de cada función. Muestra que gráficamente las funciones son simétricas respecto a la línea y=x y que al componer una función con la otra se obtiene la identidad. Calcula la derivada e integral de cada función aplicando propiedades como el cambio de base en logaritmos y la regla de derivación de funciones exponenciales.

1. Demostración grafica y analítica de 2 funciones inversas
Presentado por
José Hernando morales
Laura Montoya Villegas
Steven leyton
Carlos canizales
Docente
Carlos rubio
Curso
Matemáticas II
Universidad autónoma de occidente

2. Demostración grafica y analítica de 2 funciones inversas
Dadas las funciones:
x
 F(x)=5
 G(x)=Log5 X
A. Mostrar grafica y analíticamente que F y G son funciones inversas
B. Calcular la derivada e integral de la función F(x)
C. Calcular la derivada e integral de la función G(x)

3. A. Gráficamente:
x
En la siguiente imagen se puede apreciar la simetría de las 2 funciones inversas F(x)= 5 (color
Azul) y G(x)= Log5 X (color Verde), respecto a la recta Y=x. como se puede apreciar la distancia del
segmento AC es la misma distancia del segmento BC, por lo que se puede deducir de la grafica que
ambas son funciones inversas.
Analíticamente:
Para F compuesta G (F•G)
F•G=F (G(X))
Log x
F•G=F (Log5X) → 5 5 =X
Para G compuesta F (G•F)
G•F=G (F(X))
x x
G•F= G (5 ) → Log5 5 = X Log5 5= x (1) = X
Al ser compuesta una función de otra, se obtiene el mismo resultado. Por lo que se deduce que
ambas funciones son inversas.

4. x
B. F(x) =5
Derivada de F(x):
x
F’(x) = 5 *Ln 5
x x
En la derivada de esta función se aplica la propiedad de A = A * Ln(A)
Integral de F(x):
∫ dx = * +c= +c
En la integral de esta función se aplica la propiedad:
C. G(x)= Log5 X
Derivada de G(x):
En este caso se hace un cambio de base por la propiedad Log aX =
G’(x)= Log5 X ↔
G’(x)= * →
G’(x)=

5. Integral de G(x):
∫ 5 x= ∫ → ∫
El se puede sacar como constante de la integral, ya que representa un número.
Ahora se integra por partes
Donde: U= Ln X → dx
dv=dx entonces v=x
∫ → ∫
∫ =
=
=
∫ 5