La regla de L'Hôpital proporciona una forma de evaluar límites indeterminados de la forma 0/0 o ∞/∞. Se aplica derivando tanto el numerador como el denominador y evaluando el límite de la razón de sus derivadas. Originalmente fue descubierta por Johann Bernoulli para resolver estas indeterminaciones que surgen al dividir funciones que se aproximan a cero o infinito. La regla se deriva del teorema del valor medio de Cauchy y solo se aplica cuando ambas funciones y sus derivadas son continuas en el punto límite.

1. Formas indeterminadas
José A. Mijares
CI: V-10.520.900
Sección 1

2. Forma Indeterminada.
Concepto.
Se define como forma indeterminada a la expresión algebraica, que involucra límites del
tipo:
Estas aparecen cuando se trata de hallar limites mediantes operaciones usuales (suma, resta,
producto, cociente, y/o potencia.
Refiere George B Thomas, (Calculo de una variable 12 va. Edición, Pag. 396) Johann
Bernoulli, destacado matemático suizo (1667-1748), descubre una regla para hallar los límites
cuando los denominadores y numeradores tiende a “0” o a +∞. Esa regla recibe el nombre de Regla
de L´Hôpital, en honor al noble Francés Guillaume Francois Antoine de L’Hôpital, su mentor, con
quien tenía una extraña negociación donde todos sus descubrimientos eran atribuidos a este último.
La regla de L´Hôpital, es una consecuencia del Teorema del valor medio de Cauchy, que a
su vez es una generalización del teorema del valor medio propuesta por Lagrange. Es a partir del
Teorema de valor medio de Cauchy, que se puede demostrar la regla de L´Hôpital y se dá solo en
los casos más arriba indicado, en indeterminaciones del tipo 0/0 o + ∞/∞.
Más abajo podemos observar una tabla con las formas indeterminadas y las
transformaciones bajo la regla de L´Hôpital

3. Regla de L’Hôpital.
Consiste en el principio que el comportamiento de del cociente f´/ g ´ entre las derivadas de dos
funciones implica el mismo comportamiento para para el cociente f/g entre las dos funciones.
Teorema: Si f(x) y g(x) son funciones continuas en un entorno de a, es decir, en un intervalo
alrededor del punto, salvo quizás en el punto a, y con derivadas continuas en dicho entorno,
siendo g´(x) ≠ 0 cerca de a, = = 0 y existe el entonces el limite
=
Indeterminación
Para salvar indeterminaciones de este tipo, es posible reducir el cociente planteado a otro cuyo
denominador no sea cero factorizando el numerador y/o el denominador, cancelando luego los
factores comunes. En otras ocasiones, es posible crear un factor común multiplicando el
numerador y el denominador por la expresión conjugada de la que se presenta en uno de ellos.
Ejemplo.
Determinemos
Al sustituir, resulta = 0; y = 0 lo que genera una indeterminación del tipo
Sin embargo, como ; si x ¹ 3, resulta que la función coincide con
la función (x + 3) salvo en x = 3. Como interesa analizar el comportamiento de la función para
valores de x próximos a 3 (por izquierda y por derecha), es posible determinar el comportamiento
de analizando el de la función (x + 3).
Por lo tanto puede decirse que = = 6
Indeterminación ∞ / ∞.
Se aplica la regla de L’Hôpital, como se aplica a la forma indeterminada 0 / 0. Si f(x)→±∞ y
g(x)→± ∞, cuando x → a, entonces:
=