Este documento describe el método del punto fijo, un método abierto para encontrar raíces de funciones. Explica que el método del punto fijo involucra transformar el problema en una función x = g(x) y luego calcular sucesivamente nuevos valores xi+1 = g(xi) hasta que se alcance la tolerancia requerida. A continuación, presenta un ejemplo numérico para ilustrar cómo aplicar el método del punto fijo para resolver la ecuación cosx - 3x = 0.

1. Métodos abiertos
PUNTO FIJO
CLASE 5

2. Métodos Abiertos
 Emplean una aproximación funcional para obtener el nuevo valor estimado de la
raíz (línea recta, cuadrática, polinomio)
 Métodos:
 PUNTO-FIJO (sustitución sucesiva o directa)
 NEWTON-RAPHSON (línea recta empleando información del gradiente)
 SECANTE (línea recta empleando dos puntos)

3. Métodos Abiertos
 Problema 𝒇 𝒙 = 𝟎
1. Transformar a 𝑥 = 𝑔(𝑥)
2. Seleccionar un punto inicial 𝑥0
3. Calcular nuevo valor 𝑥𝑖+1 = 𝑔(𝑥𝑖)
4. Repetir hasta llegar a la tolerancia requerida
 Si:
 𝑔′(𝑥) < 1 El algoritmo converge linealmente
 𝑔′(𝑥) ≥ 1 El algoritmo diverge
𝑦 = 𝑥
𝑦 = 𝑔(𝑥)
𝑅𝑎í𝑧
𝑥2 𝑥1 𝑥0 𝑥
𝑦 𝑓 𝑥 < 𝑇𝑜𝑙𝑒𝑟𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 = 𝜀

4. Método del Punto Fijo
 Ejemplo
 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 3𝑥, 𝜀 = 0.001
 A) 𝑔 𝑥 =
cos(𝑥)
3
Converge B) 𝑔 𝑥 = cos 𝑥 − 2𝑥 Diverge
 𝑥0 =
𝜋
8

5. Método del Punto Fijo
𝑥
3𝑥
cos(𝑥)

6. Método del Punto Fijo
 1 iteración
 𝑥0 = 𝜋/8 ⟹ 𝑔 𝑥0 = (𝑐𝑜𝑠 𝑥0 )/3
 𝑔 𝜋/8 = (𝑐𝑜𝑠 𝜋/8 )/3
 𝑔 𝜋/8 = 0.30796
 𝑓 𝜋/8 = 0.25422
 Nuevo valor de 𝑥0 es 𝑥0 = 𝑔 𝜋/8 = 0.30796

7. Método del Punto Fijo
 2 iteración
 𝑥0 = 0.30796 ⟹ 𝑔 𝑥0 = (𝑐𝑜𝑠 𝑥0 )/3
 𝑔 0.30796 = (𝑐𝑜𝑠 0.30796 )/3
 𝑔 0.30796 = 0.31765
 𝑓 0.31765 = 0.02907
 Nuevo valor de 𝑥0 es 𝑥0 = 𝑔 0.30796 = 0.31765

8. Método del Punto Fijo
 Hasta 𝑓 𝑥 < 𝜀