Este documento presenta conceptos básicos sobre ecuaciones diferenciales, incluyendo su clasificación, orden y métodos para encontrar su solución. Explica cómo resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer y segundo orden, así como ecuaciones diferenciales exactas utilizando factores integrantes. Proporciona ejemplos para ilustrar los diferentes métodos.

1. JUAN EDUARDO PINEDA
ELABORADO POR
JUAN EDUARDO PINEDA BAUTISTA
DE LA CARRERA DE
TECNOLOGIAS DE LA PRODUCCION
ECUACIONES DIFERENCIALES
28 DE NOVIEMBRE DEL 2014

2. JUAN EDUARDO PINEDA
Ecuaciones diferenciales
Concepto
Es una expresión que involucra a una función desconocida y sus derivadas
por ejemplo:
Y+Ý=0 De Primer Orden
Clasificación de las ecuaciones diferenciales son 2 tipos ordinarios y
parciales.
ORDEN DE LA ECUACION DIFERENCIAL
Es el orden de la derivada máximo que apárese en la ecuación.
De segunda derivada Segundo orden
SOLUCION DE UNA ECUACION DIFERENCIAL
La solución de una ecuación diferencial en una función desconocida y la
variable independiente X definida en un intervalo I es una función y que
satisface la ecuación diferencial para todos los valores de X en el intervalo
dado.
Y´´+4Y=0
La solución es Y= sen 2x+cos 2x
Y´=2cos2x-2sen2x
Y´´=-4sen2x+4cos2x
Luego se sustituyen en el intervalo dado
El cuatro que aparece en el
intervalo multiplica los
valores de Y

3. JUAN EDUARDO PINEDA
-4sen2x+4cos2x+4sen2x+4cos2x=0
CONTINUANDO CON LOS EJEMPLOS
Y´´=4Y
Solución: Y=5sen2x+3cos2x
Y´=10cos2x-6sen2x
Y´´=-20sen2x-12cos2x
Sustitución
20sen2x-12cos2x
Estas soluciones se llaman soluciones particulares lo que se obtiene es la
solución general.
Solución general Y=C1 sen2x+C2 cos2x
Comprobar que Y=x2-1
Es solución de (Y´)4 +Y2=-1
Y´=2x sustitución (2x)4+(x2-1)2=-1
Y=e2x
Solución Y´´+Y´-6Y=0
Y´=2e2x
Y´´=4e2x
Sustitución 4e2x+2e2x-6e2x=0

4. En este caso restaremos los valores
que lleven las mismas constantes que
se puedan restar entre ellas
En esta parte los dos cuatros que
se encuentran en la solución
multiplican a la y prima como al y
normal
JUAN EDUARDO PINEDA
Y=e-2x+e3x
Solución Y´´-Y´-6Y=0
Y´=-2e-2x+3e3x
Y´´=4e-2x+9e3x
Sustitución
4e-2x+9e3x+2e-2x+3e3x-6e-2x+6e3x=0
Y=C1e2x+C2(Xe2X)
Solución Y´´-4Y´+4Y=0
Y´=2C1e2x+2C2xe2x+C2e2x
Y´´=4C1e2x+4C2xe2x+2C2e2x+2C2e2x
Sustitución 4C1e2x+2C2xe2x+2C2e2x+2C2e2x-
4(2C1e2x+2C2xe2x+C2e2x)+4(C1e2x+C2(Xe2X))
Que dando de la siguiente manera
4C1e2x+4C2xe2x+2C2e2x+2C2e2x-8C1e2x-8C2xe2x-4C2e2x+4 C1e2x+4C2xe2X=0

5. Ecuaciones diferenciales exactas
Tenemos la siguiente ecuación (5x+4y)dx+(4x-8y3)dy=0
Para empezar no podemos separar la ecuación para resolverla se utiliza la
fórmula de ecuaciones exactas que es la siguiente:
JUAN EDUARDO PINEDA
M(x, y)dx+N(x,y)dy=
dM
dY
=
dN
dx
M=5x+4y
dM
dY
=4
N=4x-8y3
dN
dx
=4
Siguiente ejemplo resulto por completo
Se tiene una ecuación (x2+y2+x)dx+xydy=0
M= x2+y2+x
dM
dY
=2y
N=xy
dN
dx
=y
Como la fórmula empleada funciono ya que
tanto la derivada de M y de N son iguales se
puede proseguir con la resolución del
problema.
Mismo problema las
variables no se pueden
separar ocasionando
utilizar la fórmula de
ecuaciones exactas.
No es exacta porque:
dM
dY
≠
dN
dx

6. A veces es posible encontrar un factor (que llamamos factor integrante) el
cual al multiplicarse por la ecuación diferencial la convierte en una exacta.
Para encontrar este factor integrante se utiliza la siguiente formula:
JUAN EDUARDO PINEDA
dM
dY
dN
−
dx
푁
=
2푦−푦
푥푦
=
푦
푥푦
=
1
푥
Ahora utilizamos este resultado para obtener el factor integrante por medio
de la siguiente expresión.
μ(푥) = 푒 ∫ 푔푥푑푥 = 푒 ∫
1
푥
푑푥 = 푒 ∫
푑푥
푥
= elogx= x
Ahora multiplicaremos la ecuacion diferencial original por el factor
integrante y el resultado de la multiplicación será una ecuación diferencial
exacta.
(x2+y2+x)dx+xydy=0 multiplicado por X = (x3+xy2+x2)dx+x2 ydy=0
Nuestra nueva ecuación será
(x3+xy2+x2)dx+x2 ydy=0
M= x3+xy2+x2
dM
dY
=2xy
N=x2 y
dN
dx
=2xy
Como vemos ahora nuestra
formula exacta es correcta.

7. A continuación simplemente se aplica las ecuaciones diferenciales
exactas.
Faltaría determinar el
valor de g(y)
JUAN EDUARDO PINEDA
Integramos (x3+xy2+x2)dx+x2 ydy=0
∫ 푥ᶟ푑푥 + 푦²∫ 푥푑푥∫ 푥²푑푥
푥4
4
+ 푦2
푥2
2 +
푥ᶟ
3
+ 푔(푦)
Para detrminar el valor de g(y) derivamos la función de f encontrada,
respecto a y.
푑푓
푑푦
푥²
2
= 2y
+ 푔´(푦) =
푑푓
푑푦
= x2y+푔´(푦)
x2y+푔´(푦)= x2y despejamos 푔´(푦) de esta forma 푔´(푦)= x2y- x2y=0
Por lo que 푔´(푦) = 0
Y la función buscada es =
푥4
4
+ 푦2
푥2
2 +
푥ᶟ
3
+ 푐₁
Y la función se obtendrá igualando esta función a una constante C2
푥 4
푥2
푥ᶟ
+ 푦2
2 +
+ 푐₁ = 푐₂
4
3
Simplificando:
푥4
4
+
푥²푦²
2
+
푥ᶟ
3
= 푐
Multiplicamos el resultado por 12 3x4+4x3+6x2y2=C