Este documento presenta 24 problemas de álgebra lineal relacionados con rectas y planos. Los problemas cubren temas como ecuaciones de rectas y planos en diferentes coordenadas, determinación de puntos y vectores normales a planos, cálculo de ángulos entre planos y distancias a planos y rectas. El objetivo es que el estudiante practique conceptos básicos de álgebra lineal aplicados a problemas geométricos en el espacio tridimensional.

1. UNIVERSIDAD DISTRITAL
Facultad de Ingenier´ıa
Algebra Lineal Rectas y planos
Nombre: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C´odigo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Problema para pensar: Tres hombres po-
seen una sola pila de monedas, y sus par-
tes son 1
2
, 1
3
y 1
6
, cada uno toma algo de
dinero de la pila hasta que no queda na-
da. El primero regresa 1
2
de lo que tom´o,
el segundo 1
3
y el tercero 1
6
. cuando el to-
tal reintegrado se divide por los tres, se
descubre que cada uno posee lo que le co-
rresponde. ¿cu´anto dinero hab´ıa en la pila
original, y cu´anto tom´o cada uno de esa
pila?
1. Defina y escriba la ecuaci´on lineal en
el plano XY
2. Escriba la ecuaci´on lineal en el plano
XYZ. que representa dicha ecuaci´on?,
Qu´e nombre recibe?
3. Escriba una ecuaci´on lineal en n varia-
bles, puede describir que representa?
4. Qu´e se entiende por la soluci´on de una
ecuaci´on lineal?
5. Qu´e significa resolver una ecuaci´on li-
neal?
6. Encuentre las ecuaciones param´etricas
para la linea que contenga a (-4,1,7) y
sea perpendicular al plano −7x + 2y +
3z = 1
7. Determine cuales de los siguientes pla-
nos son perpendiculares a la l´ınea x =
4 − 6t, y = 1 + 9t, z = 2 + 3t
a) 4x + y + 2z = 1
b) 10x − 15y − 5z = 2
c) 2x − 3y + z = 4
d) −4x + 6y + 2z = 9
8. Encuentre una ecuaci´on del plano que
contenga a la l´ınea y sea ortogonal al
plano indicado x = 4 + 3t, y = −t, z =
1 + 5t; x + y + z = 7
9. Encuentre la ecuaci´on del plano que sa-
tisfaga las condiciones dadas
a) Que contenga a (2,3,-5) y sea para-
lelo al x + y − 4z = 1
b) que contenga las l´ıneas x−1
2
= y+1
−1
=
z+5
6
, x = t + 1, y = t − 1, z = −3t + 5
10. Hallar la ecuaci´on del plano que pasa
por (-1,2,3) y perpendicular al vector
NNN = (2. − 1, 2). Determine otro punto
del plano.
11. Determine las ecuaciones param´etricas
de la recta intersecci´on de los planos
x + y + z − 2 = 0 y 2x + y − z + 1 = 0
12. Calcule el ´angulo que forman los pla-
nos 6x + y + z − 1 = 0 y x + y − z + 1 = 0
13. Deduzca una f´ormula para determi-
nar la distancia m´as corta del punto
(x0, y0, z0) al plano π : ax+by +cz +d = 0,
luego ´usela para calcular la distancia
del punto P(-1,3,-2) al plano 2x − 3y +
z − 1 = 0
14. Para las siguientes preguntas complete
a) Sean P(2,-1,5), Q(-1,-2,3), y R(1,-
1,1) tres puntos de 3
; la ecuaci´on
del plano que pasa por los puntos
P, Q, y R es:
b) Las ecuaciones param´etricas de la
recta que pasan por los puntos
P(2, −1, 5), Q(−1, −2, 3), yR(1, −1, 1)
son

2. 15. Calcular el volumen del tetraedro cu-
yos v´ertices son el origen y los puntos
en los que los ejes coordenados cortan
al plano x + 2y + 3z = 6
16. Determinar la ecuaci´on de la recta que
contiene al punto (1,2,3) y es paralela
a cada uno de los planos x + 2y + 3z = 4
y 2x + 3y + 4z = 5
17. Determine la ecuaci´on del plano que
pasa por (2, 5, 5), (1, 5, 7), (−1, 6, 8)
18. Determine un vector paralelo a la recta
intersecci´on de los planos 3x−6y −2z =
15 y 2x + y − 2z = 5, encuentre la ecua-
ci´on de la recta
19. Dos barcos maniobran tratando de de-
terminar el curso de un submarino pa-
ra preparar un ataque a´ereo. el bar-
co A est´a en (4, 0, 0), mientras el bar-
co B se encuentra en (0, 5, 0). Todas las
coordenadas est´an dadas en miles de
pies. El barco A localiza el submarino
en la direcci´on del vector 2i + 3j − 1
3
k
y el barco B lo localiza en la direcci´on
del vector 18i − 6j − k. Cuatro minu-
tos antes, el submarino se encontraba
en (2, −1, −1
3
). El tanque estar´a prepa-
rado en 20 minutos. Si el submarino
se mueve en linea recta con velocidad
constante, ¿ hacia qu´e posici´on deben
dirigir los barcos el ataque?
20. Hallar la ecuaci´on cartesiana del plano
que pasa por (1, 1, 1) si un vector nor-
mal N forma los ´angulos 1
3
π, 1
4
π 1
3
π,
con i, j, k, respectivamente
21. Hallar todos los vectores ai+bj+ck que
satisfacen la relaci´on
(ai + bj + ck) · k × (6i + 3j + 4k) = 3
22. Determine la distancia del punto a la
recta (2, 1, 3); x = 2 + 2t, y = 1 + 6t, z = 3
23. Dos insectos se arrastran a lo largo de
dos rectas diferentes en el espacio. En
el instante t en minutos, el primer in-
secto est´a en el punto (x, y, z) sobre la
recta x = 6 + t, y = 8 − t, z = 3 + t. Tam-
bi´en en el instante t, el segundo insecto
est´a en el punto (x, y, z) sobre la recta
x = 1 + t, y = 2 + t, z = 2t. Suponer que
las distancias se dan en pulgadas.
a) Hallar la distancia entre los dos in-
sectos
b) Los dos insectos se cruzar´an? por
qu´e si, o por qu´e no
24. Hallar la ecuaci´on cartesiana del plano
que pasa por (1, 1, 1) si un vector nor-
mal N forma los ´angulos 1
3
π, 1
4
π 1
3
π,
con i, j, k, respectivamente
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