Matematicas III. SAIA

1. REPUBLICABOLIVARIANADE VENEZUELA
INSTITUTOPOLITECNICO“SANTIAGOMARIÑO”
EXTENSION BARCELONA
ESCUELA:SISTEMAS (47)
ASIGNATURA:MATEMATICASIII
PROFESOR:
PEDRO BELTRAN
BACHILLER:
JOSE PEREIRA
C.I. 28.095.315
BARCELONA,MARZO 2019

3. Al igual que lasfunciones de una variable (intervalo en una línearecta), se analiza
el comportamiento de una función de variasvariables en un disco abierto
Es así que se define el disco abierto:
DEFINICION DE LIMITE
f(x,y)una función definida en un
disco abierto con centro en (xo, yo),
excepto posiblemente en (xo, yo).
Y, L es un número real. Entonces

4. Para que exista la posibilidadde calcular el límite debemos tener presente varias
cosas:
El valor(x0,y0)no tiene porqué
pertenecer aldominiodef(x,y), perolos
valoresalrededordeél sí. Es decir,los
valoresde (x,y) mediantelos que
definimosel acercamientoa (x0,y0).
El límite deuna función enun punto, si
existe, es único. A esta proposiciónse le
conocecon el nombre deteorema de
existenciay unicidad.
En el casode funciones dedosvariables,
f:R2→R,lasopciones de acercamiento
son infinitas,puesto queen el plano XY
dondese defineel dominiodeestas
funciones se pueden definirinfinitas
trayectoriaslineales paradesplazarun
punto genérico(x,y) al punto del límite
(x0,y0).Parapoderafirmarqueel límite
dela función existe en (x0,y0)los
cálculos realizadospor lasinfinitas
trayectoriasde acercamientodeben
existiry ser iguales

5. TEOREMAS

6. EJERCICIOS
Calcular el limite:
Usando las propiedades
de suma y producto
Como el límite de un cociente es el cociente de los límites
(si estos existen y el denominador no tiene límitecero)
Calcular el limite:
Por propiedades del producto: Como la función es continua en , entonces:

7. EJERCICIOS
Calcular, si existe, el limite: En este caso, cuando , el numerador tiendea 5 y el denominador tiende a
cero. En consecuencia el cociente tomará números muy grandes y positivos y se
puede afirmar que:
Calcular, siexiste, el limite:
Para decidir sobre el carácterdel límite, procedemos a acercarnosal mediantedistintos
caminos y vemos que ocurre con el comportamiento de la función
** Si nos acercamos a (0,0) a través deleje X, los puntos perteneceránal conjunto:
** Si por otra partenos acercamos
a (0,0) a través deleje Y, los
puntos perteneceránalconjunto:
**Nos acercamos a (0,0)a través
de larecta y=z , los puntos
perteneceránalconjunto:
al conjunto:
Podemos afirmar

8. Para poder afirmar que el límite de la
función existe en (x0,y0)loscálculos
realizadospor las infinitas
trayectoriasde acercamientodeben
existiry ser iguales. Existen
trayectoriasde acercamientode
interés especial
Acercamientopor los ejes, quellamamos límitesparcialeso
límites iterados.
Acercamientomedianterectas,o límite por rectas.
Acercamientopor parábolas,o límite por parábolas.
Acercamientomediantecoordenadaspolares.

9. LÍMITES PARCIALES O LÍMITES ITERADOS
Estos limites no deben interpretarsecomo limitesdobles (en dondelas variablestendían
simultáneamente),sino como su nombre lo indica,limites quese suceden o se iteran.
Loslimites iteradossonlos siguientes:
EJEMPLO:
Dadala función z = f (x, y ) = (x . y)
/ (x +y) hallar los limites iterados
en el punto P decoordenadas
(1,2)

10. LÍMITES POR RECTAS
EJEMPLO:
d

11. LÍMITES POR PARÁBOLAS

12. LÍMITES POR COORDENADAS POLARES
Consisteen calcular aplicando el cambioa coordenadaspolares.
Parasimplificarel proceso se acostumbrapreviamentea efectuarla traslación
Luego
y aplicandoel cambio
Quedaría

13. LÍMITES POR COORDENADAS POLARES
EJERCICIO Calcular medianteel cambioa coordenadaspolares el límite
Donde

14. CONTINUIDAD
CONTINUIDADEN UN PUNTO
Una función es continua en
unpunto interior si:
CONTINUIDADEN UNA REGIÓN
f es continua en una región Rsi es
continua
TEOREMAS SOBRE
CONTINUIDAD
Si f y g sonfunciones continuas
en un punto (a,b), entonces
f +g escontinua (a,b)
f -g escontinua (a,b)
f *g es continua (a,b)
f /g escontinua (a,b)
Una función polinomial es
continua en cadapunto de
Una función racionales continua
en cadapunto de su dominio.

15. CONTINUIDAD
PROPIEDADES
Una función es continua en
un conjunto cuando lo es en
todos y cada uno de los
puntos del conjunto.
Sea f : ,
siendo Y = f(x), que es
continua en x,Entonces , es
xes cerrado y acotado,
también Y = f(x)es cerrado
y acotado.
Teoremade Weierstrass
Sea f: continua en
X, siendoX un conjunto cerradoy
acotado. Entonces el conjunto
posee un máximo y un mínimo,
es decir, existen dos puntos x1 y
x2 pertenecientesa X tales que

16. EJERCICIOS Análisis decontinuidaddeuna función
“Lafunción escontinua en todos los puntos”.
“La función es continua para
“La función es continua para
“Lafunción escontinua para

17. DERIVADAS PARCIALES
Sea f unafunción dedosvariablesindependientesx e y.
Se definela derivadaparcialde f con respectoa x:
Análogamente,se definela derivadaparcialde f conrespecto a y:
Paraindicarquesetratade una
derivadaparcialen lugar deuna
derivadaordinaria(la defunciones de
una variable)se utiliza el símbolo
El concepto dederivadaparcialen variasvariableses similaral derivadaen
una variable

18. DERIVADAS PARCIALES
PROCEDIMIENTO PARA LA OBTENCION
DE LASDERIVADASPARCIALESDE
PRIMER ORDEN:
Cuandoqueremosobtener la derivada
parcialdeprimerordendeuna
función con respecto a x, lo que
tenemos que hacer es, simplemente,
derivarla función como sila única
variablefuera x, considerandoy como
una constante.
De maneraanálogaprocederíamos
parala obtención dela derivada
parcialdeprimerordenconrespecto a
y
SIGNIFICADOE INTERPRETACI´ONDE
LASDERIVADASPARCIALESDE
PRIMER ORDEN:
es similaral delas derivadasdefunciones deuna variable.
Así,por ejemplo, la derivadaparcialdeprimer orden dela
función con respectoa x representala velocidad
devariacióndela variableZ conrespecto a X
(manteniendo fijala variableY ).En particular,cuando
es positivasignificaque Z aumentaal aumentar X
(permaneciendoYconstante); cuando esnegativa,
significaqueZ disminuyeal aumentarX(permaneciendoY
constante).

19. DERIVADAS PARCIALES EJEMPLOS DERIVADAS PARCIALES DE PRIMER ORDEN
Consideramos la función Sus derivadasparcialesde primerorden son las siguientes:
Consideramos la función
Sus derivadasparcialesde primer orden son las siguientes:
Consideramos la función
Sus derivadasparcialesde primer orden son las siguientes:

20. DERIVADAS PARCIALES EJEMPLOS DERIVADAS PARCIALES DE PRIMER ORDEN

21. DERIVADAS PARCIALES EJEMPLOS DERIVADAS PARCIALES DE PRIMER ORDEN

22. DERIVADAS PARCIALES
DE ORDEN SUPERIOR
Como en el caso de las funciones de una variable, es
posible definir derivadas de orden superior. Por
ejemplo, la derivada parcial con respecto de
Se escribe
(También se puede escribir fxx). Análogamente
En la mayoríadelos casos
(pero no siempre)se verifica
quelas derivadascruzadas
son idénticas

23. DERIVADAS PARCIALES
DE ORDEN SUPERIOR
EJEMPLOS DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR

24. DERIVADAS PARCIALES
DE ORDEN SUPERIOR
EJEMPLOS DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR

25. REGLA DE LA CADENA PARA FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
LaRegla dela Cadena,queya se conoce parafunciones deuna variable,se puede
extendera funciones de másde una variable.
Consideremos la función Supongamosque x e y son funciones
que, a su vez, dependen de una tercera variable t . Entonces, z también
dependerá de t :

26. REGLA DE LA CADENA PARA FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

27. REGLA DE LA CADENA PARA FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
EJEMPLOS

28. REGLA DE LA CADENA PARA FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
EJEMPLOS

30. • Allan Avelladano (s.f). Función Varias Variables: Límite y Continuidad. Recuperado de: https://www.geogebra.org/m/dPBnB92y
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polares-2/
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• Ing. Pablo J. García (2017) Límite de funciones de varias variable. Recuperado de: http://www.frlp.utn.edu.ar/materias/analisis2/TP3.pdf
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• CALCULODIFERENCIALE INTEGRAL II (s.f). Recuperado de: http://exa.unne.edu.ar/investigacion/calculo2/public_html/anamat1_doc/tema2.pdf
• Límite direccional. (s.f). Recuperado de: http://www.ub.edu/glossarimateco/content/l%C3%ADmite-direccional-o-l%C3%ADmite-
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• Guillermo Sánchez (s.f)Funciones de varias variables. Derivación. Optimización. Recuperado de:
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• Limites y Continuidad de Funciones de Varias Variables (s.f). Recuperado de:
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• https://temasdecalculo.com/2017/12/04/4-2-limites-y-continuidad-calculo-vectorial/
• https://personales.unican.es/gila/varias_variables.pdf