Este documento explica el concepto de interés compuesto, donde el capital aumenta periódicamente al agregarse los intereses generados. Define tasas efectivas y nominales, y presenta ejemplos numéricos para calcular el monto y el interés compuesto para diferentes escenarios de inversión a plazos fijos.

1. Interés Compuesto Matemáticas Karla Viviana Aguilar

2. 2 “El interés compuesto es la operación financiera en la cual el capital aumenta al final de cada período por adición de los intereses vencidos.” [Vidaurri,1997]. En otras palabras, si a un capital le agregamos los intereses que ha obtenido en un determinado período, y a este nuevo capital e intereses le pagamos un nuevo interés en un período siguiente, entonces, el interés pagado ha sido compuesto.

3. 3 El interés compuesto se usa principalmente para operar los depósitos en los bancos y en las asociaciones de préstamos y ahorros. Cuando se deposita el dinero en un banco, el depositante está prestando su dinero al banco por un tiempo definido con el fin de ganar intereses, es decir, está invirtiendo su dinero.

4. 4 Es importante observar en esta acumulación (capital más los intereses del período), que los intereses de cada período no son pagados sino al finalizar el plazo establecido para la inversión. El interés compuesto será la diferencia entre el monto o importe compuesto y el principal original (o capital), si no se han realizado depósitos adicionales durante el período de inversión. IC = Monto Compuesto - Capital

5. 5 El período convenido para convertir el interés en capital se llama período de capitalización o período de conversión. La expresión: “período de capitalización semestral”, significa que el interés gene- rado se capitaliza; es decir, se suma al capital, al término de cada 6 meses.

6. 6 Al igual que en el interés simple, la tasa de interés dada en un problema de interés compuesto será una tasa anual, excepto que se diga lo contrario.

7. 7 Matemáticamente: Primer semestre (C + Ci) Segundo semestre (C+Ci) + (C+Ci) i factorizando (C+Ci) (1+i) = C (1+i) (1+i)= C(1+i)2 Es decir, el monto compuesto para el período n será por lo tanto: MC = C(1+i)n interés del período

8. 8 Tasa de interés nominal y efectiva La tasa de interés anual aplicable a una inversión o a un préstamo a interés compuesto se llama tasa de interés nominal o simplemente tasa nominal. La tasa nominal es la tasa de interés convenida en la operación financiera. La tasa efectiva por período es la tasa de interés que efectivamente se aplica en cada período de capitalización. Esta tasa se obtiene al dividir la tasa nominal anual entre el número de períodos de capitalización que hay en un año.

10. 10 Solución al primer problema Capital:$1,000 Interés:9% Capitalización: mensual Tasa efectiva: 9%/12 = 0.0075 % Períodos: 12 MC = C(1+i)n MC=1,000(1+0.0075)12 MC = 1,000(1.093806) = $1,093.81 Interés Compuesto = MC – Capital Interés Compuesto = 1,093.81 – 1,000 = $93.81

11. 11 Solución al segundo problema Capital:$3,000 Interés:8% Capitalización: trimestral Tasa efectiva: 8%/4 = 2 % Períodos: 48 MC = C(1+i)n MC =3,000(1+0.02)48 MC = 3,000(2.587070) = $7,761.21 Interés Compuesto = MC – Capital Interés Compuesto = 7,761.21 – 3,000 = $4,761.21

12. 12 Problema con cambio de tasa durante el período de inversión Se invirtieron $5,000 en un banco de ahorro por 6 años. Cuando se realizó el depósito, el banco estaba pagando 8% capitalizable en forma trimestral. Después de dos años y medio, la tasa cambió al 8% capitalizable en forma mensual. Determínese el interés y el monto compuesto al finalizar los 6 años.

13. 13 Solución utilizando una escala de tiempo1 MC1 C MC2 …….. 42 Meses 10 1 Trimestres 1 Escala de tiempo: es un método gráfico que permite visualizar el flujo previsto de efectivo resultante de una inversión propuesta. [Taylor,1977]

14. 14 MC1 C MC2 …….. 42 Meses 10 1 Trimestres MC1 = C (1+ 0.02)10 MC1 = 5000 (1.218994) MC1 = $6,094.97 MC2 = 6,094.97 (1 + 0.006666)42 MC2 = 6,094.97 (1.3219) MC2 = $8,056.94

15. 15 El monto compuesto al final del sexto año es: $8,056.94 El interés compuesto generado por la inversión es de: IC = MC2 – C IC = 8,056.94 – 5,000 = $3,056.94

16. 16 Tasa de interés efectiva(ie) También conocida como tasa efectiva, se define como la tasa de interés simple que produciría el mismo interés en un año que la tasa nominal capitalizada “m” períodos al año. Matemáticamente: ie = (1 + i/m)m -1 donde, ie= tasa efectiva i = tasa nominal m = número de períodos de capitalización en un año