1. 1 UNIDAD DIDÁCTICA 4: LA CAPITALIZACIÓN COMPUESTA

2. INTRODUCCIÓN 2 El interés compuesto Son productivos, es decir, se acumulan al capital para producir nuevos intereses. Por cada período, es el resultado de capitalizar el capital del período anterior por el tipo de interés. Este régimen financiero es propio de operaciones a largo plazo (más de un año). Y el que se suele utilizar en la práctica habitual bancaria

3. LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA 3 Definición: la ley financiera según la cual los intereses producidos por un capital en cada período se agregan al capital para calcular los intereses del período siguiente, y así sucesivamente, hasta el momento de cierre de la operación financiera. Denominaremos: Capital inicial: C0 Tipo de interés de la operación (expresado en tantos por uno): i  cantidad de dinero que se obtiene anualmente (periódicamente) por cada euro invertido. Duración de la operación: n  número de períodos Interés que produce la operación en el período s: IS Intereses totales: It suma de los intereses de cada período. Montante del año s, o capital final en el año s: CS Capital final o montante: Cn suma del capital inicial más los intereses.

4. LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA (II) 4 Veamos cómo varía el cálculo de los intereses con un tanto de interés simple y con uno compuesto. Sea un capital de 4.000 €, invertido durante 3 años al 10% de interés.

5. LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA(III) 5 Para calcular Cn , tendremos que partir de C0 y considerar que se ha invertido durante n períodos, generado un tipo de interés determinado  Tendremos que calcular los montantes de cada período. Primer período  C1 = C0 + I1 = C0 + C0 x i = C0 (1+i) SegundoC2 = C1 + I2 = C0 (1+i) + C1 x i = C0 (1+i) + C0 (1+i)·i  C2 = C0 (1+i)2 Tercero C3 = C2 + I3 = C0 (1+i)2 + C2 x i = C0 (1+i)2 + C0 (1+i)2·i  C3 = C0 (1+i)3 (…) Al final del período  Cn= Cn-1 + In = C0 · (1+ i)n factor de capitalización compuesto(traslada capitales)

6. LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA(IV) 6 Para calcular los intereses totales, podemos partir de la fórmula genérica siguiente: It = Cn - C0 = C0 · (1+ i)n - C0 = C0 ·((1+ i)n- 1) Para calcular el tipo de interés, partimos de la fórmula fundamental siguiente: Cn= C0 · (1+ i)n  Cn / C0 = (1+ i)n (Cn / C0 )1/n= (1+i)  i = (Cn / C0 )1/n– 1

7. LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA(V) 7 Para calcular el tiempo (n), partiremos de la fórmula general: Cn= C0 · (1+ i)n Debemos tomar logaritmos  log Cn= log C0 + n· log (1+ i) n = (log Cn– log C0 )/ log (1+i)

8. TANTOS EQUIVALENTES EN CAPITALIZACIÓN COMPUESTA 8 El tiempo y el tipo de interés deben estar expresados en la misma unidad. Ejemplo: si el interés es anual, el tiempo en años. Si el interés es mensual, el tiempo en meses  hay dos opciones: Convertir el tiempo a la unidad en que está expresado el tipo de interés. Adaptar el interés a una determinada unidad temporal  cálculo del tipo de interés equivalente. Se denominan tantos equivalentes a aquellos tipos de interés que, al ser aplicados a un mismo capital producen idénticos resultados en el mismo período de tiempo  i = tipo de interés anual im ó ik = tipo de interés equivalente correspondiente al período fraccionado. m ó k = frecuencia de fraccionamiento.

9. TANTOS EQUIVALENTES EN CAPITALIZACIÓN COMPUESTA(II) 9 ¿Cómo obtenemos la equivalencia entre los tipos de interés? Recordemos que en capitalización simple, los tantos equivalentes eran proporcionales, es decir, i = m x im im= i/m Imaginemos que n = 1 año y C0 = 1 Para i  C1 = 1· (1+ i) Para im  C’1 = 1· (1+ im)m Si C1 = C’1  (1+ i) = (1+ im)m  im = (1+i) 1/m – 1  i= (1+ im)m - 1 Como sabemos, los fraccionamientos del año más frecuentes serán: Años  m = 1 Semestres  m= 2 Trimestres  m = 4 Meses  m = 12 Semanas  m = 52 Días  m = 365 (año civil o natural) ó 360 (año comercial)

10. EL TANTO NOMINAL 10 Es exclusivo de la capitalización compuesta. Se denota por Jm.Se define como un múltiplo del tanto m-esimal Jm= k · im En estos casos, los intereses se calculan en función de esos períodos de tiempo (capitalizable por semestres, trimestres, etc., es decir, por períodos de tiempo inferiores al año) y se añaden al capital principal para que a su vez generen nuevos intereses. Así pues, en compuesta, los tantos de interés pueden ser tantos efectivos (i o ik) o nominales (Jm), teniendo en cuenta que el tanto nominal no es un tanto que realmente se emplee para operar, sino que a partir de él se obtienen tantos efectivos con los que sí se harán los cálculos necesarios. Se puede nombrar de diferentes maneras: Tanto nominal capitalizable por m-ésimos. Tanto nominal reembolsable por m-ésimos. Tanto nominal liquidable por m-ésimos. Tanto nominal acumulable por m-ésimos. Es normal que se evite la palabra “nominal” y que aparezca la palabra “anual”. Ejemplo: 6% anual acumulable por trimestre. En el ámbito bancario, al tanto Jmse le conoce como tanto contractual.