Este documento describe el método de interpolación del polinomio de Newton. Explica cómo calcular las diferencias divididas de un conjunto de datos y usarlas para construir un polinomio de interpolación. También muestra cómo evaluar este polinomio en un punto dado y estimar el error de interpolación usando el término de resto. Finalmente, resuelve un ejemplo numérico completo que ilustra los pasos del método.
Este documento presenta un resumen de los temas de interpolación polinomial e interpolación segmentaria. Explica que la interpolación involucra encontrar una función que aproxime valores dentro de un intervalo de datos conocidos. Luego describe dos métodos de interpolación polinomial: el polinomio de interpolación de Newton que usa diferencias divididas finitas, y el polinomio de interpolación de Lagrange.
Este documento introduce los conceptos de interpolación polinomial e interpolación por splines. Explica que la interpolación implica encontrar una función que aproxime valores dentro de un intervalo de datos y que extrapole valores fuera de ese intervalo. Luego describe dos métodos de interpolación polinomial: el polinomio de interpolación de Newton basado en diferencias divididas finitas y el polinomio de interpolación de Lagrange.
La primitiva de una función f(x) es cualquier función F(x) cuya derivada sea igual a f(x). La integral indefinida de f(x) representa el conjunto de todas las primitivas de f(x) y se denota como ∫f(x)dx. El área delimitada entre dos funciones f(x) y g(x) en un intervalo [a,b] se calcula como la integral definida de la diferencia f(x)-g(x) entre a y b.
El documento resume los conceptos fundamentales de la derivada, incluyendo: 1) la tasa de variación media y cómo calcular la derivada de una función en un punto; 2) las reglas básicas para derivar funciones como polinomios, exponenciales, logaritmos y funciones compuestas; y 3) cómo derivar sumas, productos, cocientes y funciones potenciales. Explica estos conceptos a través de varios ejemplos numéricos.
Este documento presenta conceptos fundamentales sobre derivadas, incluyendo la definición de derivada, reglas de derivación, derivadas laterales, derivadas de funciones compuestas, diferenciación implícita y ecuaciones de rectas tangente y normal.
Este documento presenta conceptos básicos sobre derivadas de funciones. En 3 oraciones o menos:
1) Define la derivada de una función como el límite de la razón de cambio de la función cuando el cambio en la variable independiente tiende a cero. 2) Presenta las derivadas de funciones elementales como polinomios, exponenciales y logaritmos. 3) Explica las reglas para calcular derivadas de sumas, diferencias, productos y cuocientes de funciones.
Este documento describe el método de Neville para la interpolación polinómica. Explica cómo construir una tabla (llamada tabla de Neville) que permite aproximar el valor de una función en un punto dado, a partir de los valores conocidos de la función en otros puntos. La tabla se construye de manera recursiva utilizando polinomios de Lagrange. El documento incluye un ejemplo numérico para ilustrar el método.
Este documento describe el polinomio de Lagrange y la interpolación polinómica. Explica cómo encontrar el polinomio interpolador dado un conjunto de puntos mediante el uso de diferencias divididas y la fórmula de Newton. También incluye ejemplos para ilustrar estos conceptos.
Este documento presenta un resumen de los temas de interpolación polinomial e interpolación segmentaria. Explica que la interpolación involucra encontrar una función que aproxime valores dentro de un intervalo de datos conocidos. Luego describe dos métodos de interpolación polinomial: el polinomio de interpolación de Newton que usa diferencias divididas finitas, y el polinomio de interpolación de Lagrange.
Este documento introduce los conceptos de interpolación polinomial e interpolación por splines. Explica que la interpolación implica encontrar una función que aproxime valores dentro de un intervalo de datos y que extrapole valores fuera de ese intervalo. Luego describe dos métodos de interpolación polinomial: el polinomio de interpolación de Newton basado en diferencias divididas finitas y el polinomio de interpolación de Lagrange.
La primitiva de una función f(x) es cualquier función F(x) cuya derivada sea igual a f(x). La integral indefinida de f(x) representa el conjunto de todas las primitivas de f(x) y se denota como ∫f(x)dx. El área delimitada entre dos funciones f(x) y g(x) en un intervalo [a,b] se calcula como la integral definida de la diferencia f(x)-g(x) entre a y b.
El documento resume los conceptos fundamentales de la derivada, incluyendo: 1) la tasa de variación media y cómo calcular la derivada de una función en un punto; 2) las reglas básicas para derivar funciones como polinomios, exponenciales, logaritmos y funciones compuestas; y 3) cómo derivar sumas, productos, cocientes y funciones potenciales. Explica estos conceptos a través de varios ejemplos numéricos.
Este documento presenta conceptos fundamentales sobre derivadas, incluyendo la definición de derivada, reglas de derivación, derivadas laterales, derivadas de funciones compuestas, diferenciación implícita y ecuaciones de rectas tangente y normal.
Este documento presenta conceptos básicos sobre derivadas de funciones. En 3 oraciones o menos:
1) Define la derivada de una función como el límite de la razón de cambio de la función cuando el cambio en la variable independiente tiende a cero. 2) Presenta las derivadas de funciones elementales como polinomios, exponenciales y logaritmos. 3) Explica las reglas para calcular derivadas de sumas, diferencias, productos y cuocientes de funciones.
Este documento describe el método de Neville para la interpolación polinómica. Explica cómo construir una tabla (llamada tabla de Neville) que permite aproximar el valor de una función en un punto dado, a partir de los valores conocidos de la función en otros puntos. La tabla se construye de manera recursiva utilizando polinomios de Lagrange. El documento incluye un ejemplo numérico para ilustrar el método.
Este documento describe el polinomio de Lagrange y la interpolación polinómica. Explica cómo encontrar el polinomio interpolador dado un conjunto de puntos mediante el uso de diferencias divididas y la fórmula de Newton. También incluye ejemplos para ilustrar estos conceptos.
I've made this document with IPython Notebook. It contains the Newton and Neville's algorithms written with Python 3 using Matplotlib, Sympy and Numpy.
1. El documento habla sobre el cálculo diferencial y la derivada. Explica conceptos como la recta tangente, la pendiente de una curva en un punto, y cómo calcular la derivada de una función.
2. También cubre reglas para calcular derivadas como la derivada de funciones constantes, polinómicas, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas.
3. Finalmente, presenta conceptos como valores críticos y cómo usar derivadas para encontrar máximos y mínimos relativos.
1) Se describen funciones reales de varias variables cuyo dominio es un subconjunto de Rn y cuya imagen son números reales. Se definen el dominio, imagen y gráfica de estas funciones.
2) Se presentan ejemplos de funciones de dos variables donde se calcula el dominio de definición e imagen.
3) Se define la noción de curvas de nivel como el conjunto de puntos donde la función toma un valor constante c.
Este documento muestra cómo calcular la derivada de la función f(x) = x2 − x + 1, y evaluarla en los puntos -1, 0 y 1. La derivada de f(x) es 2x - 1, y los valores de la derivada en esos puntos son -3, -1 y 1 respectivamente.
1) El documento presenta conceptos básicos sobre derivadas, incluyendo definiciones formales e intuitivas de continuidad, tipos de discontinuidad, cálculo de derivadas, reglas para derivar funciones compuestas y derivadas de orden superior. 2) También explica conceptos como convexidad, puntos críticos, rectas tangente y normal, y puntos de inflexión. 3) Finalmente, proporciona enlaces a recursos adicionales sobre cálculo diferencial.
La interpolación lineal implica aproximar valores intermedios entre puntos conocidos usando polinomios. Existen dos tipos principales: interpolación con espacios equidistantes y no equidistantes. La interpolación de Newton con espacios equidistantes usa diferencias progresivas para derivar un polinomio que aproxima los valores.
1. La función describe las condiciones de curvatura y signo de la segunda derivada en diferentes intervalos. Es convexa cuando f''<0 y cóncava cuando f''>0.
2. Se pide dibujar una función que pase por tres puntos dados y cumpla ciertas condiciones de curvatura en diferentes intervalos.
3. Se calculan las rectas tangentes a una función en diferentes puntos.
Elaborados durante el verano de 1997 para el alumnado de 5º de Formación Profesional del IES Bajo Guadalquivir de Lebrija.
Realizados con Ami Pro, programa de procesamiento de texto de Lotus.
1) El documento presenta la definición formal de derivada y algunos ejemplos de cálculo de derivadas.
2) Explica conceptos como derivadas laterales y la regla de la cadena para derivar funciones compuestas.
3) Finalmente, provee fórmulas para derivar funciones especiales como polinomios, funciones exponenciales, trigonométricas y logarítmicas.
El documento resume las principales reglas para derivar funciones, incluyendo reglas para constantes, potencias, productos, cocientes, logaritmos, exponenciales y funciones trigonométricas. Proporciona ejemplos para ilustrar cada regla. Al final, propone ejercicios para aplicar las reglas de derivación.
El documento presenta los conceptos fundamentales de la derivación, incluyendo la definición de tangente y pendiente, las reglas para calcular derivadas como la derivada de funciones algebraicas, trigonométricas y exponenciales, y ejemplos de problemas de derivación.
El documento describe los pasos para resolver un sistema de 4 ecuaciones con 4 variables desconocidas utilizando matrices en Excel. Primero se combinan las ecuaciones para formar un sistema de 3 ecuaciones con 3 variables. Luego se reduce a un sistema de 2 ecuaciones con 2 variables. Finalmente, se sustituyen los valores encontrados hasta determinar los valores de las 4 variables originales.
El documento describe diferentes métodos de interpolación para obtener un polinomio que aproxime los valores de una función en varios puntos: el método de Lagrange, el método de Newton y el método de los mínimos cuadrados. Explica cómo calcular el polinomio de interpolación de Lagrange usando los "multiplicadores de Lagrange" y cómo el método de Newton obtiene el mismo polinomio de forma más eficiente. Finalmente, detalla cómo el método de los mínimos cuadrados minimiza el error al ajustar una curva polinómica a los datos
Este documento presenta un capítulo sobre funciones de varias variables. Introduce conceptos como funciones vectoriales, escalares y curvas. Explica cómo graficar funciones de dos variables y define el dominio de una función escalar. Proporciona ejemplos de funciones de dos variables y cómo determinar su dominio natural analizando la regla de correspondencia y la forma de su gráfico. El objetivo es conceptualizar estas funciones, describir conjuntos de niveles, establecer límites, continuidad y derivadas.
Este documento describe cómo usar el paquete pst-solides3d de PSTricks para crear gráficos 3D. Explica cómo incluir objetos 3D como cubos, cilindros, esferas y más. También cubre cómo manipular los objetos 3D mediante traslaciones, rotaciones y otras transformaciones. El objetivo es proporcionar una guía de la sintaxis de PSTricks para crear gráficos 3D.
Este documento describe los métodos de interpolación y aproximación polinomial. Explica cómo encontrar un polinomio único que interpola una función en diferentes puntos de datos mediante la resolución de un sistema de ecuaciones lineales. También presenta la forma de Lagrange para representar polinomios interpoladores, donde cada coeficiente depende de los puntos de datos originales. Contiene varios ejemplos y ejercicios para ilustrar estos conceptos.
1) El documento presenta un examen de matemáticas aplicadas a las ciencias sociales con 4 cuestiones y 2 problemas. 2) Se pide responder a 3 de las 4 cuestiones y resolver 1 de los 2 problemas. 3) La primera cuestión involucra dibujar la región de soluciones de un sistema de inecuaciones y encontrar el máximo de una función en dicha región.
1. Resume el documento en 3 oraciones o menos:
El documento presenta 5 problemas de integrales y sus respectivas soluciones. Cada problema involucra distribuir el diferencial, aplicar propiedades de exponentes, y realizar sustituciones para resolver las integrales de funciones trigonométricas y exponenciales. Las respuestas proporcionan los pasos detallados para llegar a la solución de cada integral planteada.
Este documento describe cómo generar gráficos 3D en MATLAB, incluidas líneas, superficies y la modificación de la apariencia de los gráficos. Explica funciones como plot3, surf, mesh para crear líneas y superficies 3D. También cubre temas como colorear superficies, agregar cajas y ejes, y combinar diferentes tipos de gráficos 3D en una figura.
Ejercicios detallados del obj 4 mat ii (178 179Jonathan Mejías
Este documento presenta la solución de tres ejercicios relacionados con el cálculo de derivadas de funciones. En el primer ejercicio, se calcula la derivada de una función compuesta aplicando la regla de la cadena. En el segundo ejercicio, se calcula la derivada de una función que es el producto de dos funciones aplicando la fórmula de derivada de un producto. Finalmente, en el tercer ejercicio se verifica si una función cumple las hipótesis del teorema de Rolle para un intervalo dado.
Este documento describe diferentes métodos de interpolación polinómica, incluyendo la interpolación de Lagrange, Newton-Gregory y Gauss. La interpolación consiste en construir una función polinómica que pase por valores conocidos de una función para aproximarla cuando sólo se conocen algunos de sus valores.
I've made this document with IPython Notebook. It contains the Newton and Neville's algorithms written with Python 3 using Matplotlib, Sympy and Numpy.
1. El documento habla sobre el cálculo diferencial y la derivada. Explica conceptos como la recta tangente, la pendiente de una curva en un punto, y cómo calcular la derivada de una función.
2. También cubre reglas para calcular derivadas como la derivada de funciones constantes, polinómicas, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas.
3. Finalmente, presenta conceptos como valores críticos y cómo usar derivadas para encontrar máximos y mínimos relativos.
1) Se describen funciones reales de varias variables cuyo dominio es un subconjunto de Rn y cuya imagen son números reales. Se definen el dominio, imagen y gráfica de estas funciones.
2) Se presentan ejemplos de funciones de dos variables donde se calcula el dominio de definición e imagen.
3) Se define la noción de curvas de nivel como el conjunto de puntos donde la función toma un valor constante c.
Este documento muestra cómo calcular la derivada de la función f(x) = x2 − x + 1, y evaluarla en los puntos -1, 0 y 1. La derivada de f(x) es 2x - 1, y los valores de la derivada en esos puntos son -3, -1 y 1 respectivamente.
1) El documento presenta conceptos básicos sobre derivadas, incluyendo definiciones formales e intuitivas de continuidad, tipos de discontinuidad, cálculo de derivadas, reglas para derivar funciones compuestas y derivadas de orden superior. 2) También explica conceptos como convexidad, puntos críticos, rectas tangente y normal, y puntos de inflexión. 3) Finalmente, proporciona enlaces a recursos adicionales sobre cálculo diferencial.
La interpolación lineal implica aproximar valores intermedios entre puntos conocidos usando polinomios. Existen dos tipos principales: interpolación con espacios equidistantes y no equidistantes. La interpolación de Newton con espacios equidistantes usa diferencias progresivas para derivar un polinomio que aproxima los valores.
1. La función describe las condiciones de curvatura y signo de la segunda derivada en diferentes intervalos. Es convexa cuando f''<0 y cóncava cuando f''>0.
2. Se pide dibujar una función que pase por tres puntos dados y cumpla ciertas condiciones de curvatura en diferentes intervalos.
3. Se calculan las rectas tangentes a una función en diferentes puntos.
Elaborados durante el verano de 1997 para el alumnado de 5º de Formación Profesional del IES Bajo Guadalquivir de Lebrija.
Realizados con Ami Pro, programa de procesamiento de texto de Lotus.
1) El documento presenta la definición formal de derivada y algunos ejemplos de cálculo de derivadas.
2) Explica conceptos como derivadas laterales y la regla de la cadena para derivar funciones compuestas.
3) Finalmente, provee fórmulas para derivar funciones especiales como polinomios, funciones exponenciales, trigonométricas y logarítmicas.
El documento resume las principales reglas para derivar funciones, incluyendo reglas para constantes, potencias, productos, cocientes, logaritmos, exponenciales y funciones trigonométricas. Proporciona ejemplos para ilustrar cada regla. Al final, propone ejercicios para aplicar las reglas de derivación.
El documento presenta los conceptos fundamentales de la derivación, incluyendo la definición de tangente y pendiente, las reglas para calcular derivadas como la derivada de funciones algebraicas, trigonométricas y exponenciales, y ejemplos de problemas de derivación.
El documento describe los pasos para resolver un sistema de 4 ecuaciones con 4 variables desconocidas utilizando matrices en Excel. Primero se combinan las ecuaciones para formar un sistema de 3 ecuaciones con 3 variables. Luego se reduce a un sistema de 2 ecuaciones con 2 variables. Finalmente, se sustituyen los valores encontrados hasta determinar los valores de las 4 variables originales.
El documento describe diferentes métodos de interpolación para obtener un polinomio que aproxime los valores de una función en varios puntos: el método de Lagrange, el método de Newton y el método de los mínimos cuadrados. Explica cómo calcular el polinomio de interpolación de Lagrange usando los "multiplicadores de Lagrange" y cómo el método de Newton obtiene el mismo polinomio de forma más eficiente. Finalmente, detalla cómo el método de los mínimos cuadrados minimiza el error al ajustar una curva polinómica a los datos
Este documento presenta un capítulo sobre funciones de varias variables. Introduce conceptos como funciones vectoriales, escalares y curvas. Explica cómo graficar funciones de dos variables y define el dominio de una función escalar. Proporciona ejemplos de funciones de dos variables y cómo determinar su dominio natural analizando la regla de correspondencia y la forma de su gráfico. El objetivo es conceptualizar estas funciones, describir conjuntos de niveles, establecer límites, continuidad y derivadas.
Este documento describe cómo usar el paquete pst-solides3d de PSTricks para crear gráficos 3D. Explica cómo incluir objetos 3D como cubos, cilindros, esferas y más. También cubre cómo manipular los objetos 3D mediante traslaciones, rotaciones y otras transformaciones. El objetivo es proporcionar una guía de la sintaxis de PSTricks para crear gráficos 3D.
Este documento describe los métodos de interpolación y aproximación polinomial. Explica cómo encontrar un polinomio único que interpola una función en diferentes puntos de datos mediante la resolución de un sistema de ecuaciones lineales. También presenta la forma de Lagrange para representar polinomios interpoladores, donde cada coeficiente depende de los puntos de datos originales. Contiene varios ejemplos y ejercicios para ilustrar estos conceptos.
1) El documento presenta un examen de matemáticas aplicadas a las ciencias sociales con 4 cuestiones y 2 problemas. 2) Se pide responder a 3 de las 4 cuestiones y resolver 1 de los 2 problemas. 3) La primera cuestión involucra dibujar la región de soluciones de un sistema de inecuaciones y encontrar el máximo de una función en dicha región.
1. Resume el documento en 3 oraciones o menos:
El documento presenta 5 problemas de integrales y sus respectivas soluciones. Cada problema involucra distribuir el diferencial, aplicar propiedades de exponentes, y realizar sustituciones para resolver las integrales de funciones trigonométricas y exponenciales. Las respuestas proporcionan los pasos detallados para llegar a la solución de cada integral planteada.
Este documento describe cómo generar gráficos 3D en MATLAB, incluidas líneas, superficies y la modificación de la apariencia de los gráficos. Explica funciones como plot3, surf, mesh para crear líneas y superficies 3D. También cubre temas como colorear superficies, agregar cajas y ejes, y combinar diferentes tipos de gráficos 3D en una figura.
Ejercicios detallados del obj 4 mat ii (178 179Jonathan Mejías
Este documento presenta la solución de tres ejercicios relacionados con el cálculo de derivadas de funciones. En el primer ejercicio, se calcula la derivada de una función compuesta aplicando la regla de la cadena. En el segundo ejercicio, se calcula la derivada de una función que es el producto de dos funciones aplicando la fórmula de derivada de un producto. Finalmente, en el tercer ejercicio se verifica si una función cumple las hipótesis del teorema de Rolle para un intervalo dado.
Este documento describe diferentes métodos de interpolación polinómica, incluyendo la interpolación de Lagrange, Newton-Gregory y Gauss. La interpolación consiste en construir una función polinómica que pase por valores conocidos de una función para aproximarla cuando sólo se conocen algunos de sus valores.
El documento describe el proceso de hallar polinomios de interpolación de Newton de grado 1, 2 y 3 a partir de cuatro puntos de datos. Se presentan las fórmulas para polinomios de cada grado y se calculan los coeficientes b0, b1, b2 y b3 para cada caso. Finalmente, se escriben las expresiones de los tres polinomios.
Para aproximar la raíz de una función, se puede dibujar una tangente desde el punto (xi, f(xi)) en la curva. El punto donde esta tangente cruza el eje x proporciona una mejor aproximación a la raíz, llamada xi+1, que se calcula como xi - f(xi)/f'(xi).
El documento explica los errores de truncamiento y la serie de Taylor. La serie de Taylor proporciona una forma de aproximar funciones mediante polinomios. Expresando una función como una serie de potencias de la distancia desde un punto, cada término adicional mejora la aproximación. El error de truncamiento depende del orden del último término y disminuye al agregar más términos, siempre que el incremento entre puntos sea pequeño.
Este documento presenta información sobre métodos de interpolación polinómica, incluyendo diferencias divididas de Newton y interpolación de Lagrange. Explica que la interpolación polinómica construye un polinomio que pasa por puntos de datos conocidos. Describe cómo los métodos de Newton y Lagrange calculan coeficientes polinómicos usando tablas de diferencias divididas o funciones de Lagrange, respectivamente. También incluye ejemplos numéricos para ilustrar los métodos.
1) El documento habla sobre ecuaciones diferenciales de segundo orden y cómo reducirlas a ecuaciones de primer orden. 2) Explica un método llamado reducción de orden que involucra sustituir una solución conocida de la ecuación de segundo orden para encontrar otra solución. 3) Presenta dos ejercicios como ejemplos de aplicar este método para resolver ecuaciones diferenciales de segundo orden.
Coeficientes indeterminados enfoque de superposiciónTensor
Este documento describe el método de coeficientes indeterminados para resolver ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de primer y segundo orden con coeficientes constantes. Explica cómo encontrar una solución particular al igual que la solución general, la cual es la suma de la solución complementaria y la solución particular. También incluye ejemplos ilustrativos y dos problemas resueltos paso a paso usando este método.
Este documento presenta los métodos numéricos de LU, Cholesky, Chebyshev, Hermite e interpolación de Newton. Explica cada método con su teoría, algoritmo y resuelve ejemplos numéricos para ilustrarlos. También incluye código fuente en lenguaje de programación para implementar cada método numérico.
Este documento describe el método de interpolación por diferencias divididas de Newton. Explica cómo construir un polinomio de interpolación de grado n que pasa por n+1 puntos de datos no colineales utilizando las diferencias divididas de Newton. Luego, muestra un ejemplo completo de cómo aplicar el método para construir un polinomio cúbico de interpolación y estimar el valor de una función en un punto dado.
Este documento trata sobre la interpolación polinómica de Newton. Explica que la interpolación es el cálculo de valores para una función tabulada que no aparecen en la tabla. Describe dos tipos de interpolación polinómica, la interpolación de Lagrange e interpolación de Newton, y cómo la interpolación de Newton proporciona una aproximación más exacta. También incluye ejemplos del algoritmo de interpolación polinómica de Newton implementado en Matlab.
El documento resume el uso de la serie de Taylor para aproximar la función cos(x) en x=π/3. Se usan los términos de la serie hasta n=6, sustituyendo los valores de las derivadas de cos(x) en π/4 y calculando la aproximación de F(π/3). Finalmente, se obtiene un valor aproximado de 1/2 para F(π/3).
El documento habla sobre las series de Taylor. Explica que una serie de Taylor es una representación o aproximación de una función como una suma de términos calculados de los valores de sus derivadas en un punto. También define las series de Maclaurin como casos particulares de las series de Taylor evaluadas en cero y analiza la convergencia de estas series para funciones elementales como seno y coseno.
Este documento presenta dos ejercicios relacionados con series de Taylor y Mclaurin. En el primer ejercicio, se pide determinar el polinomio de Taylor de cuarto orden centrado en c=1 para dos funciones. En el segundo ejercicio, se pide escribir el polinomio de Mclaurin de tercer orden para la función arcsen(x) y compararlo numéricamente con los valores reales. También se pide graficar ambas funciones. Finalmente, se pide confirmar una desigualdad numéricamente usando la aproximación de Taylor
O documento discute séries de Taylor e de Maclaurin. Apresenta a fórmula para os coeficientes das séries e exemplos de como encontrar as séries de funções como exponencial, seno, cosseno e outras. Explica as condições para uma função ser igual à soma de sua série de Taylor.
Este documento describe diferentes métodos numéricos para aproximar la derivada de una función, conocidos como diferencias finitas. Explica que la derivada puede aproximarse como la primera diferencia dividida hacia adelante, hacia atrás o central, con diferentes órdenes de error. También presenta un ejemplo numérico para ilustrar cómo aplicar estos métodos y calcular el error de las aproximaciones usando diferentes tamaños de paso.
APUNTES Y EJERCICIOS RESUELTOS DE ANALISIS NUMERICOJulio Ruano
Este documento presenta apuntes y ejercicios resueltos de Análisis Numérico. Incluye introducciones y ejemplos de métodos para resolver ecuaciones no lineales, sistemas de ecuaciones lineales y no lineales, interpolación polinómica, diferenciación e integración numérica, ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales. El objetivo es servir como material de apoyo para el estudio de esta asignatura.
El documento describe la serie de Taylor, una serie infinita de potencias que representa de manera exacta el comportamiento de una función en la vecindad de un punto. Al ignorar todos los términos excepto unos cuantos, se obtiene un polinomio que aproxima la función. El error del método depende de la precisión con que el polinomio aproxima a la función verdadera. Se presentan ejemplos de cómo usar la serie de Taylor para aproximar funciones en puntos específicos.
Este documento describe métodos de aproximación de funciones mediante polinomios. Explica cómo construir un polinomio de interpolación utilizando diferencias finitas o diferencias divididas para aproximar una función tabulada en puntos discretos. También cubre conceptos como el error de interpolación y cómo estimar valores funcionales para argumentos arbitrarios utilizando el polinomio interpolante.
Este documento discute los polinomios de Taylor para funciones de una y dos variables. Explica cómo calcular los polinomios de Taylor de primer y segundo orden para aproximar funciones en vecindades de puntos. Proporciona ejemplos detallados de cómo calcular los polinomios de Taylor de primer y segundo orden para funciones específicas.
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El documento presenta ejercicios para graficar y analizar funciones. En el primer ejercicio, se pide graficar la función f(x)=1/4, para -2≤x≤2. En el segundo ejercicio, se grafica la función f(x)=-23x para -2≤x≤1. El tercer ejercicio contiene cálculos para determinar propiedades como variación, dominio, codominio, intersecciones con los ejes y más para dos funciones dadas.
1. El documento habla sobre el cálculo diferencial y la derivada. Explica conceptos como la recta tangente, la pendiente de una curva en un punto, y cómo calcular la derivada de una función.
2. También presenta fórmulas para calcular derivadas como la derivada de funciones polinómicas, exponenciales, logaritmos y trigonométricas.
3. Finalmente, cubre temas como valores críticos, máximos y mínimos relativos, y el procedimiento para resolver problemas de optimización.
Este documento presenta las reglas para calcular derivadas de operaciones con funciones derivables. Explica que la derivada de una suma es la suma de las derivadas individuales, la derivada de un producto por una constante es esa constante multiplicada por la derivada, y la derivada de un producto es la derivada de la primera función multiplicada por la segunda función más la primera función multiplicada por la derivada de la segunda. También presenta la regla de la cadena para derivar composiciones de funciones y una tabla con ejemplos comunes de funciones y sus derivadas respectivas.
Este documento presenta una serie de 20 problemas relacionados con funciones reales de una variable real. Los problemas cubren temas como derivadas, rectas tangentes y normales, puntos críticos, asintotas y áreas/volúmenes óptimos. El documento proporciona una guía práctica para aplicar conceptos de cálculo en una variedad de problemas matemáticos y de ingeniería.
Este documento resume las propiedades de la función f(x) = x3 - 3x + 2. El dominio es el conjunto de los números reales. Los puntos de corte con los ejes son (-2,0), (1,0) y (0,2). No hay asíntotas. Los puntos críticos son -1 y 1, siendo (-1,4) un máximo relativo y (1,0) un mínimo relativo. El punto de inflexión es (0,2).
La regla de Simpson proporciona una estimación más precisa de la integral de una función. La regla de Simpson 1/3 simple aproxima el área bajo una curva mediante el área bajo una parábola que une tres puntos. La regla de Simpson 1/3 compuesta divide el intervalo en subintervalos iguales y aplica la regla simple en cada uno para mejorar la precisión cuando el intervalo original es grande. Dividiendo en más subintervalos reduce aún más el error de la aproximación.
Este documento presenta varios problemas relacionados con límites y continuidad de funciones. Incluye preguntas sobre determinar el intervalo de continuidad para funciones específicas, las condiciones para que una función racional sea continua en un punto, inferencias sobre los valores de una función cuando otro valor es cero, cálculo de límites para una función racional cuando el valor tiende a cero o infinito, identificación de asíntotas, discontinuidades y su clasificación, y encontrar discontinuidades removibles para una función exponencial específica. También inclu
Este documento presenta una hoja de trabajo sobre funciones que incluye ejercicios para determinar el dominio y recorrido de diferentes funciones, identificar si son inyectivas, suprayectivas o biyectivas, componer funciones y expresar relaciones físicas reales como funciones matemáticas.
El documento resume las aplicaciones de la derivada, incluyendo la monotonía, extremos relativos, optimización y curvatura de funciones. Explica cómo usar la primera y segunda derivada para determinar si una función es creciente o decreciente, si tiene máximos o mínimos relativos, y si es cóncava hacia arriba o abajo. También proporciona ejemplos para ilustrar cómo aplicar estos conceptos para resolver problemas relacionados con la Prueba de Acceso a la Universidad.
El documento presenta los pasos para estudiar y representar gráficamente una función real de variable real. Estos pasos incluyen determinar el dominio, estudiar la continuidad y derivabilidad, identificar simetrías y períodos, calcular puntos de corte con los ejes, y analizar crecimiento, extremos, concavidad, así como puntos de inflexión y asíntotas. Se aplican estos pasos al ejemplo de la función f(x)=x3/(x-1)2 para ilustrar el proceso de análisis y representación gráfica.
Este documento presenta ejercicios de derivadas e integrales. Incluye reglas básicas de derivación como la derivada de sumas, productos, cocientes, funciones compuestas y funciones trigonométricas. Luego, proporciona 18 ejercicios de derivación de funciones como x3, 1/x, x4 + 3x2 - 6 y raíces cuadradas que deben resolverse aplicando dichas reglas. El objetivo es practicar el cálculo de derivadas a través de ejemplos.
Este taller trata sobre el cálculo de límites y su aplicación en diferentes contextos. Se presentan ejercicios para calcular límites de funciones, determinar la continuidad de funciones en puntos dados, interpretar límites a partir de gráficas de funciones, y calcular límites que representan valores a largo plazo como la producción promedio de empleados o la población futura de una ciudad.
Este documento presenta ejercicios de derivadas e integrales con sus respectivas soluciones. Incluye reglas básicas de derivación de funciones como suma, producto, cociente, potencias y funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. También presenta ejemplos numéricos de derivación de funciones compuestas de varias variables.
Este documento presenta ejercicios de derivadas e integrales con sus respectivas soluciones. Incluye reglas básicas de derivación de funciones como suma, producto, cociente, potencias y funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. También presenta ejercicios prácticos de derivación de diferentes funciones compuestas.
Este documento presenta ejercicios de derivadas e integrales. Incluye reglas básicas para derivar funciones como sumas, productos, cocientes, funciones compuestas y funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. Luego, proporciona 18 ejercicios de derivación de funciones como x3, 1/x, x4 + 3x2 - 6 y raíces cuadradas compuestas. El objetivo es practicar el cálculo de derivadas a través de ejemplos.
Este documento presenta ejercicios de derivadas e integrales con sus respectivas soluciones. Incluye reglas básicas de derivación de funciones como suma, producto, cociente, potencias y funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. También presenta ejemplos de derivadas de funciones compuestas, racionales y trascendentes.
Este documento presenta ejercicios de derivadas e integrales con sus respectivas soluciones. Incluye reglas básicas de derivación de funciones como suma, producto, cociente, potencias y funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. También presenta ejercicios prácticos de derivación de diferentes funciones compuestas.
Este documento presenta ejercicios de derivadas e integrales con sus respectivas soluciones. Incluye reglas básicas de derivación de funciones como suma, producto, cociente, potencias y funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. También presenta ejercicios prácticos de derivación de diferentes funciones compuestas.
Similar a Interpolación del polinomio_de_newton (20)
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1. UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
“FRANCISCO DE MIRANDA “
DEPARTAMENTO DE FÍSICA Y MATEMÁTICA
ÁREA DE TECNOLOGÍA
Interpolación del Polinomio de Newton.
De la definición de derivada en un punto x = z se puede encontrar una aproximación para la pendiente
que pasa por los puntos (x, y(x)), (z, y(z)):
f ( x) f ( z ) f ( x) f ( z ) y ( x) y ( z )
f’(z)= lím f’(z) = f[z, x] con esta notación indicaremos la
x z xz xz xz
Primera Diferencia Dividida o diferencia dividida de primer orden(DD1).
Otra manera de relacionar la derivada y la diferencia dividida es mediante el teorema del valor medio:
Teorema de Valor Medio: Sea f una función definida y continua en el intervalo [a, b] y diferenciable
f (b) f (a)
en (a, b). Entonces existe al menos un punto c en el abierto (a, b) tal que f’(c) = ,b a.
ba
De esta manera, si x0 , x están en [a, b] en el que f es diferenciable se cumple:
f ( x) f ( x 0 )
f[x, x0] = = f’(c), para algún c en (x0, x).
x x0
Deducción del polinomio de interpolación de Lagrange.
Sea Pn el n-ésimo polinomio de Lagrange que coincide con la función f en los n +1 puntos: x0, x1,
xn. Obtendremos las diferencias divididas de f respecto a los n +1 puntos dados con f(x0) = y0, f(x1) =
y1, , f(xn) = yn; para expresar Pn(x) de la siguiente forma:
(*) Pn(x) = b0 + b1(x-x0) + b2(x-x0(x-x1 + +bn(x-x0)(x-x1) (x-xn-1), para constantes apropiadas:
b0, b1, , bn.
Para n = 0 b0 = P0(x0) = y0
n = 1 f(x1) = P1(x1) = b0 + b1(x1 – x0) b1 = [f(x1) – f(x0) ]/ (x1 – x0) = DD1 (diferencias
divididas de orden uno) Luego P1(x) = f(x0) + DD1 (x-x0) = f[x0] + f[x1, x0](x- x0).
f(xi) = f[xi] esta se denomina diferencia dividida de orden cero.
Con n = 2 se puede determinar b2 ya que se conocen b0 y b1: b2 = {f[x2, x1] – f[x1, x0]}/(x2 – x1)= DD2
observe que en el donominador va la diferencia de los puntos extremos: x2 y x0.
Luego P2(x) = f[x0] + f[x1, x0](x - x0) + f[x2, x1, x0](x-x0)(x –x1), y así sucesivamente se obtiene:
Pn(x) = f[x0] + f[x1, x0](x - x0) + f[x2, x1, x0](x-x0)(x –x1) + + f[xn, xn-1, , x1, x0](x-x0)(x –x1) (x – xn-1).
FÓRMULA DE INTERPOLACIÓN DE DIFERENCIAS DIVIDIDAS DE NEWTON
2. 2
ORDEN NOTACIÓN DEFINICIÓN O EXPRESIÓN
0 f[x0] = y0 f(x0)
1 f[x1, x0] f ( x1 ) f ( x 0 )
x1 x 0
2 f[x2, x1, x0] f x2 , x1 f x1 , x0
x2 x0
3 f[x3, x2, x1, x0] f x 3 , x 2 , x1 f x 2 , x1 , x 0
x3 x0
- - - - - - - -
- - - - - - - -
n f[xn , xn-1, , x1, x0] f xn , xn 1 , , x1 f xn 1, , x0
xn x0
Por ejemplo, para un polinomio de orden cuatro se tiene:
P4(x) = f[x0] + f[x1, x0](x - x0) + f[x2, x1, x0](x-x0)(x –x1) + f[x3, x2, x1, x0](x-x0)(x-x1)(x-x2)
+ f[x4 ,x3, x2, x1, x0](x-x0)(x-x1)(x-x2)(x-x3).
¿Cómo calcular las diferencias divididas?.
METODO DE LAS DIFERENCIAS DIVIDIDAS DE NEWTON
xi DD0 DD1 DD2 DD3
xo f(xo)
f ( x1 ) f ( x 0 ) =fx ,x
1 o
x1 x 0
x1 f(x1) f x2 , x1 f x1 , x0 =fx2, x1, xo
x2 x0
f ( x 2 ) f x1 f x3 , x 2 , x1 f x 2 , x1 , x 0
f x 2 , x1 f x3 , x 2 , x1 , x 0
x 2 x1 x3 x0
f x3 , x2 f x2 , x1
x2 f(x2) f x3 , x2 , x1
x3 x1
f x3 f x2 f x4 , x3 , x2 f x3 , x2 , x1
f x3 , x2 f x4 , x3 , x2 , x1
x3 x2 x4 x1
f x4 , x3 f x3 , x2
x3 f(x3) f x4 , x3 , x2
x4 x2
f x 4 f x 3
f x 4 , x 3
x 4 x3
x4 f(x4)
f x 4 , x 3 , x 2 , x1 f x 3 , x 2 , x1 , x 0
DD4 = f[x4, x3, x2, x1, x0] = .
x4 x0
El resto asociado a este polinomio:
Rn(x) f x, x n , x n 1 ,....., x1 , xo (x – xo)(x – x1)(x – x2) (x – xn-1)(x – xn).
3. 3
Siendo x un valor adicional para poder estimar el error.
Ejercicio resuelto: dada la siguiente tabla de valores:
i xi yi
0 0.1 0.99750
1 0.2 0.99002
2 0.4 0.96040
3 0.7 0.88120
4 1.0 0.76520
5 1.2 0.67113
6 1.3 0.62009
a) Elaborar una tabla de diferencia divididas
b) Escriba la fórmula de interpolación de Newton ajustada a la tabla de diferencias divididas.
c) Evalúe el polinomio resultante en x = 0.3
d) Estime el error en la interpolación.
Solución:
a) En primer término elaboramos la tabla de diferencias divididas:
i xi DDO DD1 DD2 DD3 DD4 DD5 DD6
0 0.1 0.99750
-0.07480
1 0.2 0.99002 -0.24433
-0.14810 0.02088
2 0.4 0.96040 -0.23180 0.01478
-0.26400 0.03418 -0.00236
3 0.7 0.88120 -0.20445 0.01218 0.00122
-0.38667 0.04636 -0.00090
4 1.0 0.76520 -0.16736 0.01119
-0.47035 0.05643
5 1.2 0.67113 -0.13350
-0.51040
6 1.3 0.62009
b) la fórmula de interpolación ajustada a los datos sería:
P6 ( x) 0.99750 0.07480( x 0.1) 0.24433( x 0.1)( x 0.2) 0.02088( x 0.1)( x 0.2)( x 0.4)
0.01478( x 0.1)( x 0.2)( x 0.4)( x 0.7) 0.00236( x 0.1)( x 0.2)( x 0.4)( x 0.7)( x 1)
0.00122( x 0.1)( x 0.2)( x 0.4)( x 0.7)( x 1)( x 1.2)
c) P6 (0.3) 0.97762
d) Para estimar la cota del error se debe aplicar la siguiente ecuación:
R6(x) f x, x6 , x5 , x 4 , x3 , x 2 , x1 , xo (x – xo)(x – x1)(x – x2) (x – x4)(x – x5)(x – x6).
4. 4
La diferencia dividida de la ecuación se obtiene calculando la diferencia dividida que involucra el
punto x = 0.3, ubicando éste al final de la tabla y recalculando todas las diferencias nuevamente hasta
llegar a la deseada.
R6(0.3) 0.00122 (0.3 – 0.1)(0.3 – 0.2)(0.3 – 0.4) (0.3 – 0.7)(0.3 – 1.0)(0.3 – 1.2) = 6.1488x10-7