1. [Escribir texto]
INTERÉS COMPUESTO
“OBJETIVO
El objetivo de este capítulo es enseñar el manejo de los factores que intervienen en el
cálculo de interés compuesto junto con los análisis matemáticos que conducen al
desarrollo de las fórmulas para el cálculo de montos, tasas y tiempo” i
.
INTRODUCCIÓN
En los problemas de interés simple, el capital que genera los intereses permanece
constante todo el tiempo de duración del préstamo. Si en cada intervalo de tiempo
convenido en una obligación se agregan los intereses al capital, formando un monto sobre
el cual se calcularán los intereses en el siguiente intervalo o período de tiempo, y así
sucesivamente, se dice que los intereses se capitalizan y que la operación financiera es a
interés compuestoii
.
En una operación financiera a interés compuesto, el capital aumenta en cada final de
periodo, por adición a los intereses vencidos a la tasa convenida.
FUNCIÓN DEL TIEMPO
El crecimiento natural es una variación proporcional a la cantidad presente en todo
instante. En la capitalización a interés compuesto, también se produce el crecimiento
continuo.
En el crecimiento de un capital a interés compuesto, los intereses ganados se
agregan al capital en intervalos de tiempo que se estipulan contractualmente; bajo
estas condiciones, el monto es función discreta del tiempo.
PERIODO DE CAPITALIZACIÓN
Es el intervalo convenido en la obligación, para capitalizar los interesesiii
.
TASA DE INTERÉS COMPUESTO
Es el interés fijado por periodo de capitalización.
VALOR FUTURO DE UN CAPITAL A INTERÉS COMPUESTO O MONTO COMPUESTO
Es el valor del capital final, o capital acumulado, después de sucesivas adiciones de los
intereses.
EJEMPLO:
Se conviene una deuda de $1000 a 5 años de plazo al interés del 10% con
capitalización anual. Esto significa que al final de cada año los intereses deben
capitalizarse. A continuación se muestra en el cuadro de desarrollo de la deuda,
el capital acumulado al final de cada periodo, que en este caso es anual.

2. [Escribir texto]
Y
1000
$1.100 $ 1.210 $1.331 $1.464 $ 1.611
0 1 2 3 4 5 X periodos
NÚMERO DE
PERIODOS
CAPITAL A
PRINCIPIO DE
PERIODO
INTERESES EN
EL PERIODO
CAPITAL MÁS
INTERESES A FINAL DE
CADA PERIODO
1 $ 1000,00 $ 100 $ 1.100,00
2 $ 1.100,00 $ 110,00 $ 1.210,00
3 $ 1.210,00 $ 121,00 $ 1.331,00
4 $ 1.331,00 $ 133,10 $ 1.464,10
5 $ 1.464,10 $ 146,41 $ 1.610,51
 Si el préstamo fuese a interés simple, su monto al final de los 5 años sería:

MONTO O VALOR FUTURO A INTERÉS COMPUESTO
Sea el capital puesto al interés por periodo de capitalización ( es el tanto por ciento
en el periodo). Calcular el valor futuro al final de n periodos de capitalización.

3. [Escribir texto]
Los valores del factor de acumulación pueden hallarse utilizando calculadora,
logaritmos o mediante el desarrollo del teorema del binomio. En la práctica se utilizan
calculadoras o tablas financieras en las que los valores de están calculados
hasta con diez decimales, para las tasas más utilizadas y para valores de desde 1 hasta
150 periodos.
NOTA. PARA TRABAJAR CON TABLAS, TEXTO “MATEMÁTICAS FINANCIERAS”
AUTOR “LINCOYAN PORTUS GOVINDEN” CUARTA EDICIÓN, PÁG. 402-430.
EJEMPLO
 Un banco ofrece la tasa del 10% para los depósitos en cuenta de ahorros.
Calcular el monto de un depósito de $ 1000 al cabo de 10años utilizando: a)
calculadora b) logaritmos c) tablas.
b) Utilizando logaritmos:
= 3,413930
c) Utilizando tablas: En la Tabla I, se busca la intersección de la columna del 10% con la
fila , y se encuentra el valor 2,59374246

4. [Escribir texto]
TASA NOMINAL, TASA EFECTIVA Y TASAS EQUIVALENTES
La tasa convenida para una operación financiera es su tasa nominal. Tasa efectiva de
interés, es la que realmente actúa sobre el capital de la operación financiera. La tasa
nominal puede ser igual o distinta de la tasa efectiva y esto sólo depende de las
condiciones convenidas para la operación. Por ejemplo, si se presta un capital al 8% con
capitalización trimestral, el 8% es la tasa nominal anual, la tasa efectiva queda expresada
por los intereses que corresponden a $100 en un año, en las condiciones del préstamo.
Para el monto, se tiene entonces:
n=4; P =100, = 2% de tasa efectiva en el periodo; i = 0,02
F = = = 100
F = $ 108, 24321
$100 ganan $8,24321 en un año o sea tasa efectiva = 8,24321%
Tasas equivalentes: Son aquellas que, en condiciones diferentes, producen la misma
tasa efectiva anual. En el texto se utilizarán los siguientes símbolos para las diferentes
tasas, expresadas en tanto por ciento:
i = efectiva anual (distribución % según # de periodo=Tasa de capitalización del periodo)
j = nominal anual (“Tasa Nominal Anual”)
m= número de capitalizaciones en el año
En la tabla I, las columnas se refieren a las tasas en el periodo de capitalización. Así, para
12% con capitalización trimestral se tiene m para 12% con capitalización trimestral se
tiene m para 12% con capitalización trimestral se tiene m = 4; j = 12, = 3%.
El símbolo i en las tablas se refiere al tanto por uno, en el periodo.
Relación entre la tasa nominal y efectiva El monto de 1 al i efectivo anual es 1 + i. El
monto de 1 a la tasa j por uno con m capitalizaciones en el año es
; la ecuación de equivalencia entre estos dos montos es

5. [Escribir texto]
Notación estándar
La formación permite calcular la tasa efectiva equivalente a una tasa nominal
capitalizable veces en el año.
Despejando en la fórmula se tiene:
Notación estándar
Introduciendo los nuevos símbolos, la fórmula del valor futuro compuesto en = años
para la tasa capitalizable veces en el año, queda así:
Número de periodo de capitalización en el año = ; número de años = ; número total de
Periodos = ; tasa en el periodo = = .
Notación estándar
Para expresar la tasa nominal y el número del periodo de capitalización, se utiliza el
símbolo (m) que indica la tasa nominal con capitalizaciones en el año.
Ejemplo: Calcular el valor futuro de un capital de $6.000 a interés compuesto en 8 años a
la tasa del 10% capitalizable semestralmente.

6. [Escribir texto]
Estándar
Algebraica
En la tabla I, para el 5% en 16 periodos se encuentra el valor 2,18287459
Solución con calculadora con función
CALCULAR DEL VALOR FUTURO PARA MAYOR QUE 50
En los problemas suele ocurrir que el número de periodos resulta mayor que 50, el
máximo de la tabla utilizada en este texto. Afortunadamente en estos casos se pueden
aprovechar las propiedades de los productos de potencias; de esta forma el exponente
del factor de acumulación se descompone en sumandos, utilizando tantos sumandos de
50 unidades como sea necesario y, así, se calcula el factor de acumulación por productos
de factores cuyos valores figuran en la tabla.
Ejemplo: Calcular el valor al cabo de 20 años para una deuda de $4.000, al 9% de
interés, con capitalización bimensual.
120 = 50 + 50 + 20

7. [Escribir texto]
En la tabla I se encuentra los valores de la columna de 1 ½% para:
Con una calculadora que tenga la función xy
, se halla:
4.000 ”
VALOR FUTURO COMPUESTO CON PERIODOS DE CAPITALIZACIÓN
FRACCIONARIOS
Las condiciones convenidas, en una operación financiera a interés compuesto, fijan el
periodo de capitalización con el supuesto de que sean periodos enteros. Cuando se
presentan fracciones de periodos, comercialmente se acostumbra calcular el monto
compuesto para los periodos enteros de capitalización, y el interés simple se utiliza para
las fracciones de periodos. Teóricamente, el interés simple en las fracciones de periodo
es mayor que el compuesto a la misma tasa, ya que significa capitalizar los intereses en
un periodo menor que el convenido y, como consecuencia, la tasa efectiva resulta mayor.
La tabla contiene los valores de que es el valor futuro de
1 a interés compuesto para fracciones de periodo.
Ejemplo: una deuda de $100.000 convenida al 6% con capitalización anual se paga a los
2 años 4 meses. La costumbre o regla comercial indica cobrar los intereses compuestos
para los 2 periodos completos y simples, para los 4 meses.
P = 100.000; periodos completos =2; fracción de periodo =
Valor futuro en 2 periodos = 1 = 100.000
El monto F1 gana interés simple en los 4 meses y su valor futuro es:
F +112.360
F =$ 114.607,20

8. [Escribir texto]
Desde el punto de vista teórico, el monto debe calcularse a interés compuesto para el
total de periodos, incluida la fracción.
P =100.000,
F=100.000
Tablas
F =100.000
F = $114.563,69
Solución con calculadora que tenga tecla de fracciones y función xx
.
F = 100.000
CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS COMPUESTO
En la fórmula del monto a interés compuesto, si se conoce el valor presente p, el valor
futuro F y el tiempo , queda determinado el valor de En la práctica, el cálculo
aproximado de se hace utilizando la tabla El cálculo matemático se efectúa con
logaritmos. En el ejemplo que sigue, se ilustran ambos procedimientos.
Ejemplo: Al morir, alguien deja a su hija – de 7 años de edad – un legado de $100.000
para que con sus intereses compuestos le sean entregados cuando cumpla los 18. Si ella
al cumplir la edad fijada recibe $190.071,20, ¿Qué interés con capitalización anual ganó la
herencia?
(a) Cálculo utilizando la tabla Se busca en esta tabla, en la fija que corresponde
a 11, los valores, por exceso y por defecto, más próximos al que resulte
de despeje en la fórmula del futuro:
F = P
190.071,20 = 100.000000

9. [Escribir texto]
Este valor se encuentra entre 1,89829856 que corresponde al 6% y 1,99915140 que
corresponde al 6 %. El interés buscado es mayor que el 6 % y menor que el 6 su
valor aproximado se encuentra por interpolación lineal.
a 0,065 corresponde 1,99915140 a 0,06 + x corresponde 1,90071200
a 0,06 corresponde 1,89829856 a 0,06 corresponde 1,89829856
0,005 es a 0,10085284 como x es a
0,00241344
Tasa de interés =6,012%
1,99915140
1,900712
1,89829856
0,06 X 0,065
(b) Cálculo con logaritmo:
190.071,20 = 100.000
Log 190.071,20= log100.000+11log
Log
log190.071,20 =5,278916
log100.000 =5,000000
Log
1+

10. [Escribir texto]
Tasa de interés = 6,012 %
(c) Cálculo mediante radicales:
190.071,20 = 100.000
Despejando
1,90071
1,060122443 =1+
1,060122443
Tasa de interés = 6,012 %
(d)
190.071. = 100
Respuesta
“CÁLCULO DEL TIEMPO: En forma análoga, el cálculo de , el tiempo, o sea el valor
de puede calcularse utilizando la tabla o mediante la aplicación de logaritmos.
Ejemplo: ¿En qué tiempo un depósito de $ 1.000 se convertirá en $ 1.500 al 6 % con
capitalización semestral?

11. [Escribir texto]
1.500
En la tabla se buscan en la columna del 3 %, los valores por exceso y por detecto
más próximos a 1,5 Este valor se encuentra entre 1,46853371 que corresponde a 13
periodos y 1,51258972 que corresponde a 14 periodos. Interpolando como en el caso
anterior, se tiene:
a 14 corresponde 1,51258972 a 13 + x corresponde 1,5000000
a 13 corresponde 1,46853371 a 13 corresponde 1,46853371
es a 0,04405601 como x es a 0,03146629
Mediante calculadora con función logaritmo:

12. [Escribir texto]
En estos problemas, la respuesta es aproximada, por tanto, es correcto decir que tiempo
aproximado es de 7 años y que el valor futuro será literalmente superior al esperado. Si la
capitalización es por periodos completos y la fracción se calcula a interés simple, el
procedimiento consiste en calcular el monto en el número de periodos inmediatamente
inferior y, para la diferencia, se calcula el tiempo a interés simple. En el ejemplo citado, se
calcula así:
Diferencia con el monto propuesto = 1.500- 1.468,53 =31,47
Para $ 31,47 se calcula el tiempo a interés simple sobre $1.468,53
31,47 = 1.468,53
En este caso, la respuesta seria 6 años 10 meses 9 días” iv
.
TASA DE INTERÉS:
1. TASA NOMINAL: Es la tasa que expresada para un periodo determinado
(generalmente un año) es liquidable en forma fraccionada durante periodos
iguales. Como su nombre lo indica, la tasa nominal es una tasa de referencia que
existe solo de nombre, porque no nos dice sobre la verdadera tasa que se cobra
en una operación financiera ; simplemente, expresa la tasa anual y que parte de
ella se cobra en cada periodo. Por ejemplo, una tasa del 32% trimestre vencido,
indica que de la tasa anual del 32% se cobra la cuarta parte cada trimestre.
Las instituciones financieras en Colombia suelen utilizar la tasa nominal para referenciar
las tasas de interés en sus operaciones de ahorro y crédito. Esto es, expresan la tasa de
interés en forma anual e indican cada cuánto tiempo menor de un año se hacen las
liquidaciones de los intereses. Esta forma de expresar las tasas de interés y de liquidar
los intereses en periodos menores a un año es común en los países donde el nivel de la
inflación es alto.

13. [Escribir texto]
1.1 FORMAS DE EXPRESAR LA TASA NOMINAL
Para bancos comerciales, compañías de financiamiento comercial y corporaciones
financieras:
24% nominal con capitalización trimestral.
24% anual capitalizable trimestralmente.
24% trimestral vencido. (24%TV)
Las expresiones anteriores son equivalentes, a saber: indudablemente, la primera
información es la más completa, no obstante que en el lenguaje financiero se acude
muchas veces a las simplificaciones como se muestra en las otras tres expresiones. En la
segunda se eliminó el término nominal porque se entiende que si la tasa es capitalizable
se trata de una nominal ya que las efectivas no se capitalizan sino que resultan de
capitalizar las nominales. En la tercera expresión se eliminó el término anual, porque si no
se dice lo contrario se asume que la tasa es anual. La cuarta expresión es la más
simplificada y corresponde a la forma más usada en el sistema financiero colombiano.
Estas cuatro expresiones equivalentes indican que la operación financiera, que puede ser
de ahorro o de crédito, se realiza a una tasa de interés anual del 24% pero los intereses
se van a liquidar cada trimestre.
La tasa nominal expresada de esta forma, comprende:
1. Valor anual de la tasa
2. Frecuencia de liquidación de los intereses (día, mes, trimestre, etc.)
3. Modalidad de liquidación de intereses (vencidos o anticipados).
Ejemplo: Un prestamista desea ganar el 8% efectivo anual sobre un préstamo, con
intereses capitalizables trimestralmente. Hallar la tasa nominal que debe cobrar:
(Fórmulas ).
(21a)
(21b)

14. [Escribir texto]
Tabla o calculadora
Ejemplo: ¿Qué tasa nominal capitalizable mensualmente convertirá a $ 350.000 de
hoy en $486.000 dentro de 2 años?
486.000
? 2 años
350.000
F = P
486.000 = 350.000
Aplicando radicales, se tiene:
1.178377 = 1+i
1.178377 – 1 = i
0.178377 =i
I = 17.84% efectiva anual

15. [Escribir texto]
2. TASA EFECTIVA
Es la tasa que mide el costo efectivo de un crédito o la rentabilidad efectiva de una
inversión, y resulta de capitalizar la tasa nomial2
. Cuando se habla de tasa efectiva se
involucra el concepto del interés compuesto, porque refleja la reinversión de intereses.
Hasta el nacimiento del sistema UPAC (1972), en el sistema financiero colombiano sólo
se utilizaban las tasas nominales de interés. Las tasas efectivas sólo eran una curiosidad
de los estudiosos de las Matemáticas Financieras.
i
La mayor parte de este documento es tomado del sitio web
http://matefinancierasuni.files.wordpress.com/2010/02/matematicasfinancieras.pdf
ii
Aparte tomado de http://www.geocities.ws/gyb_torreon/Valor_Dinero_TT.pdf
iii
Aparte tomado de http://www.buenastareas.com/ensayos/Matematicas/5987155.html
iv
Tomado de http://matefinancierasuni.files.wordpress.com/2010/02/matematicasfinancieras.pdf