1) El documento discute los conceptos de tasa de interés nominal y efectiva, y cómo calcular tasas efectivas para diferentes períodos de capitalización. 2) Explica que la tasa efectiva toma en cuenta la capitalización de intereses, a diferencia de la tasa nominal. 3) Proporciona fórmulas para calcular tasas efectivas anuales y para cualquier período cuando la tasa y el período de capitalización son dados.

1. TASA NOMINAL Y
EFECTIVA
Por: Rosan Rondón CI: 23.701.416

2. INTRUDUCCIÓN
Estamos de acuerdo en la importancia del conocimiento en
ingeniería económica, para el futuro ingeniero civil. En este
sentido en la presente se responderán preguntas tales como: ¿Qué
es la Tasa de interés nominal y efectiva?, ¿Qué es Tasa de interés
efectivas para cualquier periodo?, ¿Cuáles son las Relaciones de
equivalencias: comparación entre la duración del periodo de
capitalización (PP versus PC)?, ¿Cuáles son las Relaciones de
equivalencias: pagos únicos con PP=PC? Y ¿Relaciones de
equivalencias: series con PP=PC?

3. ■ Capitalización:
Operación para calcular valores futuros de cantidades de
dinero. Consiste en invertir o prestar un capital,
produciéndonos intereses durante el tiempo que dura la
inversión o el préstamo.
Se divide en:
• Simple
• Compuesta

4. Tasa de
interés
Nominal y
Efectiva

5. Interés simple:
los intereses siempre se calculan sobre el monto inicial.
Las tasas 'de interés nominales y efectivas tienen
la misma relación que entre sí guardan el interés
simple y el compuesto.
Interés compuesto

6. • Tasa de Interés Nominal
Se conoce como tasa de interés nominal o tasa nominal al interés
que capitaliza más de una vez al año.
La tasa de interés nominal, r, es una tasa de interés que NO
considera la capitalización de intereses.

7. EL ÍNTERES COMPUESTO O LA CAPITALIZACION DE INTERESES
Mes Tasa de interés Saldo inicial Intereses Saldo final
1 2.50% 100,000 2,500 102,500
2 2.50% 102,500 2,563 105,063
3 2.50% 105,063 2,627 107,689
4 2.50% 107,689 2,692 110,381
5 2.50% 110,381 2,760 113,141
6 2.50% 113,141 2,829 115,969
7 2.50% 115,969 2,899 118,869
8 2.50% 118,869 2,972 121,840
9 2.50% 121,840 3,046 124,886
10 2.50% 124,886 3,122 128,008
11 2.50% 128,008 3,200 131,209
12 2.50% 131,209 3,280 134,489
Tasa anual 30.00%

8. (I) (2)
Tasas de interés Interpretación
<3)
Comentario
i = 12% anual i = 1%
mensual i = 37;%
trimestral
Í = 8% anual, compuesto
mensualmente
/ = 4% trimestral, compuesto
mensualmente
i = 14° o anual., compuesto
semestral mente
i = 10% efectivo anual.
compuesto mensualmente i =
6% efectivo tnmestral i = 1%
i = 12% efectivo anual,
compuesto anualmente
i = 1% efectiv o mensual,
compuesto mensualmente
i ;= 37;% efectivo trimestral
compuesto trimestralmente
Cuando no se especifica un
periodo de capitalización, b
tasa de interés es una tasa
efectiva, suponiendo que el
periodo de capitalización es
igual al penodo de tiempo
especificado.
i = 8% nominal anual
compuesto nvensualmente
I = 4% nominal trimestral
compuesto mensualmente
/ = 14% nominal anual
compuesto semestralmente
I = 10% efectivo anual,
compuesto mensualmente
/ = 6% efectivo trimestral
compuesto trimestralmente
• i A/ r *• a
Cuando se especifica el penodo de
capitalización sin determinar si la tasa
de. interés es nominal 0 efectiva, se
supone que ésta es nominal El periodo
de capitalización 2s como el expre-
Si la tasa de interés se expresa como
una tasa efectiva, entonces es una
tasa efectiva. Si el periodo de
capitalización no está dado, se supone
que este

9. • Tasa de Interés Efectiva
La tasa de interés efectiva es la tasa real aplicable de tiempo
establecido. La tasa de interés efectiva toma en cuenta la
acumulación del interés durante el periodo de la tasa
nominal correspondiente. Se expresa como tasa anual
efectiva ia, pero puede ser otro periodo de base.
TPA
• Tasa Porcentual Anual

10. • Tasa de Interés Nominal RPA
• Rendimiento Porcentual Anual
• Tasa de Interés Efectiva
• La frecuencia de los pagos o ingresos se conoce como
el periodo de pago (PP).

11. • Periodo de tiempo (t), es la unidad fundamental del
tiempo de la tasa de interés (la más común es 1 año).
• Periodo de composición o de capitalización (PC) es la
unidad de tiempo utilizada para determinar el efecto del
interés.
• Frecuencia de composición o de capitalización (m), es
decir, el número de veces que se lleva a cabo la composición
durante el periodo (t).

12. • Por ejemplo, si una compañía depositó dinero
mensualmente en una cuenta que paga una tasa de interés
nominal del 14% anual compuesto semestralmente, el
periodo de pago sería 1 mes mientras que el periodo de
capitalización sería 6 meses y la frecuencia de la
composición sería de 2.
• Tasa efectiva por Periodo de Capitalización
Se acostumbra expresar la tasa efectiva sobre la misma base
de tiempo de composición. La tasa efectiva correspondiente
por PC se determina mediante la fórmula:

13. r % por periodo de tiempo r
m periodos de composición por t m • Ejemplos
l.Tasas de préstamo bancario para dos proyectos
distintos de equipos de generación de electricidad. Determine la
tasa efectiva considerando el PC. a) 9% anual, compuesto
trimestralmente
b) 9% anual, compuesto mensualmente

14. a) r = 9% anual x trimestre ; m= 9/4
tasa efectiva por PC = 2.25%
b) r= 9% anual x mes; m= 9/12
tasa efectiva por PC = 0.75%

15. • Tasa De Interés Efectiva Anual
La deducción de una fórmula para la tasa de interés efectiva
es semejante a la lógica que se sigue para establecer la
relación del valor futuro F=P (1+i)n
.
El valor futuro F al final de 1 año es el principal P más los
intereses acumulados P (i) durante el año. Puesto que el
interés se puede capitalizar varias veces durante el año, se
reemplaza i con la tasa anual efectiva ia. Ahora escribamos
la fórmula para F al final de 1 año.

16. • F = P + Pia = P (1+ia)
Tasa de interés efectiva anual:
ia = (1+i)m
-1
Sirve para calcular la tasa de interés anual efectiva para
cualquier número de periodos de composición cuando i es la
tasa para un periodo de composición.

17. r = tasa de interés nominal anual m = núm. de
periodos de capitalización x año
i = tasa de interés efectiva por PC
ia = tasa de interés efectiva anual
Ejemplo:
Jacky obtuvo una nueva tarjeta de crédito con un banco nacional
(MBNA), con una tasa establecida de 18% anual y

18. un periodo de composición mensual. Para un saldo de $1000 al
principio del año, calcule la tasa anual efectiva y el adeudo total
al blanco MBNA después de un año, tomando en cuenta el
hecho de que no se efectúa ningún pago durante el año.
Solución
Hay 12 periodos de composición por un año. Por lo tanto, m=12 e
i=18%/12= 1.5% mensual. Si el saldo de $1000 no se reduce durante
el año se aplica la ecuación,
/a=(1+0m
- 1 ;
Y enseguida la ecuación para el valor futuro,
F=P+Pia= P(1 + ia)

19. Za=(1+0.015)12
- 1= 1.9562 - 1= 0.19562 (19.5%)
F= $ 1 000 (1.19562)= $ 1 195.62
Jacki pagará 19.562%, o $195.62 más los $1 000 del saldo,
por la utilización del dinero del banco durante el año
$1196.62
1. La señora Jones planea colocar dinero en un
certificado de depósito JUMBO que paga 18% anual

20. compuesto diariamente. ¿Qué tasa efectiva recibirá ella
a) anualmente r= 0.18 y m= 365,
i anual = (1 + 0.18/365)365
- 1 = 0.19716 (19.716%)
Es decir, la señora Jones obtendrá un 19.716% efectivo sobre
su depósito.
b) semestralmente
b) r= 0.09 durante 6 meses y m= 182 días: i por 6 meses =
0.09415 (9.415%)

21. • Tasa de Interés Efectivas Para Cualquier
Periodo
Para entender la diferencia entre un periodo de pago (PP) y el
periodo de composición podemos decir que una compañía
deposita dinero cada mes en una cuenta que da rendimientos
con una tasa de interés nominal de 14% anual, con un
periodo de composición semestral, es periodo de pago es un
mes, mientras que el periodo de composición es de 6 meses.

22. Para evaluar aquellos flujos de efectivo que se presentan con
mayor frecuencia que la anual, es decir, PP< 1 año, debe
utilizarse la tasa de interés efectiva durante el PP. La fórmula
de la tasa de interés anual efectiva se generaliza fácilmente
para cualquier tasa nominal:
i efectivo = (1 +_r
)m
-1
m
donde,

23. r = tasa de interés nominal por periodo de pago PP m = núm.
de periodos de composición por periodo de pago (PC por PP)
• Ejemplo:
Una tarjeta de crédito nacional tiene una tasa de interés del
2% mensual sobre el saldo no pagado.
a) Calcule la tasa efectiva por periodo semestral
b) Si la tasa de interés se expresa como 5% por trimestre,
encuentre las tasas efectivas por periodos semestrales y
anuales.

24. Solución
a) En esta parte del ejemplo, el periodo de capitalización es mensual.
Dado que se desea obtener la tasa de interés efectiva por periodo
semestral, la tasa nominal por 6 meses.
r = 2% mensual x 6 meses por periodo semestral r =
12% por periodo semestral
por cada 6 meses =1 +— 1
= 0.1262

25. b) Para una tasa de interés del 5% por trimestre, el periodo de
capitalización es trimestral. Por consiguiente, en un periodo
semestral, m=2 y r= 10%. En consecuencia:
2
0.10
i por cada 6 meses =1 +— 1
2
(= 0.2155 21.55%)

26. • Tasa De Interés Efectiva Que Varía Con El
Tiempo
Las tasas de interés reales para una corporación varían año
con año, dependiendo del estado financiero de la empresa,
de su sector den el mercado, de las economías nacional e
internacional, de las fuerzas de inflación y de muchos otros
factores.
Ejemplos:

27. * Las hipotecas de bienes inmuebles financiados mediante
un interés HTA (Hipoteca de Tasa Ajustable). La tasa de
hipoteca se ajusta ligeramente cada año para que refleje la
antigüedad del préstamo, el costo actual del dinero de la
hipoteca, etc.
* Los bonos protegidos contra la inflación (emitidos por el
gobierno de Estados Unidos y otras agencias.) La
tasa de dividendos que paga el bono permanece constante a lo
largo de su periodo de vida; sin embargo, a la cantidad
global que se debe al propietario del bono cuando alcanza
su madurez se le aplica un ajuste ascendente, de acuerdo
con el índice de inflación del

28. índice de precios al consumidor (IPC). Esto significa que la tasa
anual de rendimiento se incrementará cada año de acuerdo con la
inflación observada.

29. Tasas De Interés Efectivas Para Capitalización
Continua
A medida que el periodo de capitalización disminuye, el valor
de m, número de periodos de capitalización por periodo de
interés, aumenta.
Cuando el interés se capitaliza en forma continua, m se acerca
a infinito y la fórmula de tasa de interés efectiva en la
ecuación puede escribirse de una nueva forma.

30. definición de la base del logaritmo natural.
= e= 2.71828 +
A medida que m se acerca a infinito, el límite de la
formula de las tasa de interés efectiva se encuentra
utilizando r/m = lh, lo que hace m =hr

31. Ecuación que se utiliza para calcular la tasa de interés
efectiva continua.
• Ejemplo:
a) Para una tasa de interés del 18% anual compuesto en forma
continua, calcule la tasa de interés efectiva anual y mensual.
b) Sin un inversionista exige un retorno efectivo de por lo menos
el 15% sobre su dinero, ¿Cuál es la tasa mínima anual nominal
aceptable si tiene lugar una capitalización continua.

32. Solución:
a) La tasa de interés mensual r, es =1812 = 1.5 mensual. La tasa
i mensual = er
-1 = eo m
- 1
P . , =0.01511 (1.511%)
electiva mensual es:
En forma similar a la tasa efectiva anual utilizando r = 0.18 anual
es:
b) En este problema, es preciso resolver la ecuación de la tasa
de interés efectiva en sentido contrario puesto que se tiene i y
se desea r. por lo tanto para i=15% anual, debe resolverse para
r tomando el logaritmo natural.

33. Por consiguiente, una tasa del 13.976% anual compuesto en forma
continua generara una tasa de retorno efectiva anual del 15%.

34. • Ejemplo:
Si se depositan $2000 cada año durante 10 años a una tasa de
intereses del 10% anual, compare el valor presente para
capitalización (a) anual y (b) capitalización continua.
Solución
Para capitalización anual,
P = 2000(P/A,10%,10) = 2000(6.1446) = $12,289
(b) Para capitalización continua, ianual = 1
- 1 =
0.10517 o o (10.517%)
P= 2000(P/A,10.517%,10)

35. 2000(6.0104) =
$12,021

36. RELACIONES DE EQUIVALENCIA:
Comparación entre la duración del periodo de pago y del
periodo de capitalización (PP versus PC)
En los cálculos de equivalencia con porcentajes altos, la
frecuencia de los flujos de efectivo no es igual a la frecuencia de
la capitalización de los intereses.
Resulta esencial que se utilice el mismo periodo para el periodo
de capitalización y el periodo de pago, y en consecuencia la tasa
de interés se ajuste.

37. Cuando solo existen pagos únicos, no hay periodo de pago PP
definido en si por los flujos de efectivo. La duración del PP, por
lo tanto, queda definida por el periodo t del enunciado de la tasa
de interés.
• Ejemplo:
Suponga que los flujos de efectivo ocurren cada 6 meses (PP
semestral), y que el interés tiene un periodo de capacitación
trimestral (PC trimestral). Después de 3 meses no hay flujo de
efectivo ni es necesario determinar el efecto de la composición
trimestral. Sin embargo, en el mes 6 es

38. necesario considerar los intereses acumulados durante los dos
periodos de composición trimestrales anteriores.
RELACIONES DE EQUIVALENCIA:
Pagos únicos con PP>PC
Cuando se trata exclusivamente de flujos de efectivo de pago único,
hay dos formas igualmente correctas de determinar i y n para los
factores P/F y F/P.
Método 1:

39. Se determina la tasa de interés efectiva durante el periodo de composición PC, y se
iguala n al número de periodos de composición entre P y F. Las relaciones para
calcular P y F son:
P=F (P/F, i% efectiva por PC, número total de periodos n)
F=P (F/B, i% efectiva por PC, número total de periodos
n)
• Ejemplo:
Suponga que la tarjeta de crédito es una tasa efectiva de 15%
anual, compuesto mensualmente.

40. En este caso, PC es igual a un mes.
Para calcular el P o F a lo largo de un periodo de dos años, se
calcula la tasa mensual efectiva de 15% / 12= 1.25%
Y el total de meses de 2 (12)=24. Así, los valores 1.25% y 24 se
utiliza para el cálculo de los factores P/F y F/P.
Método 2:
Se determina la tasa de interés efectiva para el periodo t de la
tasa nominal, y sea n igual al número total de periodos

41. utilizados en el mismo periodo utilizando el mismo periodo.
Las formulas P y F son las mismas que las de las ecuaciones
antes mencionadas, salvo que el termino i% efectiva por t se
sustituye por la tasa de interés.
• Ejemplo:
En el caso de una tasa de tarjeta de crédito de 15% anual
compuesto mensualmente, el periodo t es 1 año. La tasa de
interés efectiva durante un año y los valores n son:

42. El factor P/F es el mismo por ambos métodos: (P/F,
1.25%,24)=0.7422, utilizando la tabla 5; y(P/F, 16.076%,
2)=0.7422 aplicando la fórmula del factor P/F.
• Ejemplo:
En el caso de una tasa de tarjeta de crédito de 15% anual
compuesto mensualmente, el periodo t es 1 año. La tasa de
interés efectiva durante un año y los valores n son:

43. i% efectiva anual = [ 1 + 12
-1=16.076
El factor
P/F es el
mismo por ambos métodos: (P/F, 1.25%,24)=0.7422,
utilizando la tabla 5; y(P/F, 16.076%, 2)=0.7422
aplicando la fórmula del factor P/F.

44. RELACIONES DE EQUIVALENCIA: Series
con PP > PC
Si los flujos de efectivo son trimestrales, el PP es de un trimestre
y, por consiguiente, se necesita una tasa de interés efectiva
trimestral. El valor n es el número total de trimestres. Si PP es
igual a un trimestre, 5 años se traducen en un valor de n de 20
trimestres. Esto constituye una aplicación directa de la siguiente
directriz general:
Cuando los flujos de efectivo implican una serie (por ejemplo, A,
G, g) y el periodo de pago es igual o mayor que el periodo de
capitalización,

45. * Se calcula la tasa de interés efectiva i por periodo de
pago
* Se determina n como el número total de periodos de
pago.
La siguiente tabla muestra la formulación correcta de diversas
series de flujo de efectivo y tasa de interés.

46. TABLA 4.7 Ejemplos de valores de n e i. donde PP = PC o PP> PC
Serie de flujo De
efectivo
Tasa
De interés
Que encontrar;
Que esta dado
Notación estándar
S500 semestralmente 16% anual, Encontrar P.
Durante 5 años Compuesto
Mensualmente
Dado A P = 500(P/A, 8%, 10)
$75 mensualmente 24% anual, compuesto Encontrar F. F = 75(F/A. 2%. 36)
Durante 3 años semestralmente Dado A
$180 trimestralmente
Durante 15 años
5% trimestral Encontrar F. Dado A F = 180(F/A, 5%, 60)
Incremento de 1% mensual Encontrar P.
$25 mensualmente
Durante 4 años
Dado G P = 25(P/G, 1%, 48)
$5000 trimestralmente
Durante 6 años
1% mensual Encontrar A, Dado PA=5000(A/P,3.03%,24)

47. Observe que n siempre es igual al número total de periodos de
pago y que i es una tasa de interés efectiva que se expresa de
acuerdo con el mismo periodo que n.
RELACIONES DE EQUIVALENCIA:
Pagos únicos y series con PP < PC
• Ejemplos
Si un banco le cobra a una persona intereses el día 15 del mes
en sus pagos de tarjeta de crédito, y si la persona hace el pago
completo el día primero, ¿reduce la institución financiera los
intereses sobre la base de un pago anticipado? La respuesta
común es no.

48. Si una empresa grande hiciera pagos mensuales para cubrir un
préstamo bancario de $10 millones, con un interés compuesto
trimestral, el ejecutivo de finanzas de la empresa
probablemente insistiría en que el banco redujera la cantidad
de intereses, basándose en el pago anticipado.
El momento de ocurrencia de las transacciones de flujo de
efectivo entre puntos de capitalización implica la pregunta de
cómo manejar la capitalización inter-periódica.

49. Fundamentalmente existen dos políticas: los flujos de
efectivo entre periodos no ganan intereses o ganan un
interés compuesto.

50. CONCLUSIÓN
En muchas ocasiones se generan problemas al
no saber interpretar las tasas de interés y los tipos
de interés, más aun teniendo en cuenta las
muchas formas en las cuales se pueden encontrar
expresadas las tasas de interés nominales y
efectivas.

51. BIBLIOGRAFÍA
•Gómez, D. (s.f.). Tasa de Interés Efectiva y Nominal. Recuperado 18 septiembre, 2018, de
http://www.finanzasenlinea.net/2012/04/tasa-de-interes-efectiva-y-nominal.html.
•Tasas Nominales y Efectivas de Interés, Capitalización Continua e Inflación. (s.f.). Recuperado 18 septiembre, 2018,
de http://www.eumed.net/libros-gratis/2006b/cag3/2g.htm.
• Cálculo de la tasa de interés. Tasa nominal y tasa efectiva | Interés compuesto | Matemáticas Financieras |
solocontabilidad.com. (s.f.). Recuperado 18 septiembre, 2018, de https://www.solocontabilidad.com/interes-
compuesto/calculo-de-la-tasa-de-interes-tasa-nominal-y-tasa-efectiva.