Este documento presenta conceptos estadísticos sobre intervalos de confianza. Explica cómo calcular intervalos de confianza para la media cuando la desviación poblacional es conocida o desconocida, así como para la proporción poblacional. Incluye ejemplos y ejercicios resueltos sobre cómo estimar parámetros poblacionales a partir de muestras aleatorias con diferentes niveles de confianza.

1. ESTADÍSTICA II
Mg. Villena Andrade, Tomas Dali
Facultad de Ciencias Empresariales

2. INTERVALOS DE CONFIANZA

3. Qué porcentaje encierra los valores simétricos de z
Nivel de confianza

6. Hallar un intervalo de confianza para el 95%
Paso 1 debemos graficar e identificar el alfa

7. Hallar un intervalo de confianza para el 95%
Paso 2 debemos buscar en la tabla de distribución normal el valor que encierre al 97,5%

8. Paso 3 debemos ubicar en la tabla el valor de 97,5% que sería igual a 0,9750

9. Paso 4 ubicamos el valor en remplazo de los 𝑧 ൗ
𝛼
2

10. La duración en kilómetros de los neumáticos de una cierta marca se ajusta a una distribución
normal N(48000, 3000). Con un 80% de confianza se puede afirmar que………? Calcule el
intervalo de confianza del 80%

11. ¿Qué se puede afirmar?

12. Intervalo de confianza para la media

21. El tiempo diario que los adultos de una determinada ciudad dedican a actividades deportivas, expresado
en minutos, se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal, de desviación típica
poblacional de 20 minutos (σ = 20)
Para una muestra aleatoria simple de 250 habitantes de esta ciudad se ha obtenido un tiempo medio de
dedicación a actividades deportivas de 90 minutos diarios. Calcúlese un intervalo de confianza al 90% para
la media poblacional (µ)
SOLUCIÓN

23. Remplazando datos

24. El peso las baterías para carro marca ACME sigue una distribución normal con una una desviación
estándar de 1,5 Kg. Se saca una muestra de 140 baterías de las cuales se obtiene que la media es de 17
Kg ¿determine con un nivel de confianza del 80% la media estimada para de baterías?

25. La estatura de las mujeres adultas en la ciudad de Huánuco tiene una distribución muestral con una
desviación estándar poblacional de 0.80 mts. Se saca una muestra de 300 mujeres a las cuales se les
mide y se ha obtenido una media de 1.58 mts ¿cuál será la estatura promedio de las mujeres adultas en
la ciudad de Huánuco?

26. La cantidad de fruta, medida en gramos que contienen los botes de mermelada en una cooperativa se
puede aproximar mediante una variable aleatoria con distribución normal, de desviación típica
poblacional de 10 gramos (σ = 10)
Se seleccionó al azar una muestra de 150 botes de mermelada, y la cantidad total de fruta que contenían
fue de 16 gramos. Determine un intervalo de confianza al 95% para la medida µ
SOLUCIÓN

27. La cantidad de fruta, medida en gramos que contienen los botes de mermelada en una cooperativa se
puede aproximar mediante una variable aleatoria con distribución normal, de desviación típica
poblacional de 12 gramos (σ = 12)
A partir de una muestra aleatoria de 64 botes de mermelada se ha obtenido un intervalo de confianza
para la media µ con un error de estimación de 2,35 gramos. Determinar el nivel de confianza utilizado
para construir el intervalo
SOLUCIÓN

28. De acuerdo a la federación nacional de atletismo del Perú, el tiempo que demoran los atletas peruanos en
recorrer los 800 metros planos siguen una N(μ, σ ) donde el valor de σ es de 4,3 segundos. Si medimos los
tiempos a 20 atletas nacionales de los cuales se obtiene que el ҧ
𝑥 es 55 segundos ¿en cuánto se estima el valor de
la media poblacional?

29. El peso en gramos de los bebes recién nacidos en el hospital Regional Hermilio Valdizan sigue una
distribución normal con N(μ ,60), si sacamos una muestra de 49 bebes y obtenemos que el promedio de
peso es de 550 gramos ¿cuánto deberá ser el nivel de confianza para que nuestro intervalo de confianza
tenga una amplitud de 10 gramos ?

30. El tiempo diario que los adultos de una determinada ciudad dedican a actividades deportivas, expresado
en minutos, se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal, de desviación típica
poblacional de 20 minutos (σ = 20)
Que tamaño mínimo debe de tener una muestra aleatoria para que el error máximo cometido en la
estimación de la media poblacional por la media muestral sea menor o igual que 2 minutos con un nivel
de confianza del 90%

31. En el distrito de Huánuco el gasto promedio realizado por las estudiantes de la UDH durante un semestre
se puede aproximar a una distribución normal N(S/.2700 , S/. 320)
Cuál debería ser el tamaño de la muestra para que la probabilidad de que la media poblacional sea un
68.27%
SOLUCIÓN

32. En el distrito de Huánuco el gasto promedio realizado por las estudiantes de la UDH durante un semestre
se puede aproximar a una distribución normal N(u, S/. 320)
Cuál debería ser el tamaño de la muestra mínimo de la muestra para que el error máximo cometido en la
estimación de la media poblacional sea menor o igual que 80, con un nivel de confianza del 70%
SOLUCIÓN

33. Ejercicios para resolver

36. El peso las baterías para carro marca ACME sigue una distribución normal con una media de 23 KG y
una desviación estándar de 1,5 Kg. ¿determine el porcentaje de baterías cuyo peso es mayor a 2 Kg?
Los precios de la ivermectina en las diversas farmacias de Huánuco se distribuyen en forma normal con
una media de S/ 20 y desviación estándar de S/4 ¿cuál es la probabilidad de que el precio de la
ivermectina esté entre 17 y 20 soles?
La estatura de las mujeres adultas en la ciudad de Huánuco tiene una distribución muestral de 1.60 mts
y una desviación estándar de 0.20 mts. ¿qué porcentaje de mujeres de esta región tiene una estatura
entre 1.56 y 1.65 mts?
Con respecto al problema anterior. ¿Qué porcentaje de mujeres tiene una estatura igual a 1.56 mts?
Dada la variable aleatoria continua X, cuya distribución de probabilidad es N(µ, σ), en la que el 10% del
área está a la izquierda de x1 = 60, y el 5,05% del área está a la derecha x2 = 90, hallar los valores de µ, σ

39. La tasa de remuneración media por hora para administrativos financieros en una determinada
región es S/.32.62 y la desviación estándar es S/2.32 (Ministerio del trabajo, septiembre de
2020). Suponga que estas tasas de remuneración están distribuidas normalmente.
1. a. ¿Cuál es la probabilidad de que un directivo financiero tenga una remuneración entre
S/.30 y S/35 por hora?
2. ¿Qué tan alta debe ser la remuneración por hora para que un directivo financiero tenga un
pago 10% superior?
3. ¿Cuál es la probabilidad de que la remuneración por hora de un directivo financiero sea
menos de S/.28 por hora?

40. El Myrtle Beach hotel tiene 120 habitaciones. En los meses de primavera se estima que su
ocupación promedio es de 75%. Con una desviación del 25%
• ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos la mitad de las habitaciones estén ocupadas
en los meses de primavera?
• ¿De que 100 o más de las habitaciones estén ocupadas en los meses de primavera?
• ¿De que 80 o menos de las habitaciones estén ocupadas en los meses de primavera?

41. Suponga que las puntuaciones obtenidas en el examen de admisión a una universidad están
distribuidas en forma normal con una media de 450 y una desviación estándar de 100.
• a. ¿Qué porcentaje de las personas que hacen el examen tendrá una puntuación entre 400 y
500?
• b. Si la puntuación que obtiene un estudiante es 630. ¿Qué porcentaje de los estudiantes que
hacen el examen tendrá una puntuación mayor? ¿Qué porcentaje tendrá una puntuación
menor?
• c. Si la universidad no admite estudiantes que obtengan una puntuación menor a 480, ¿qué
• porcentaje de los estudiantes que hacen el examen podrá ser aceptado?

45. Con objeto de estimar la cantidad media que gasta un cliente en una comida en un importante
restaurante, se recogieron los datos de una muestra de 49 clientes. Suponga que la
desviación estándar de la población es S/.5.
a. ¿Cuál es el margen de error para 95% de confianza?
b. Si la media poblacional es S/.24.80, ¿cuál es el intervalo de confianza de 95% para la
media poblacional?

46. Intervalos de confianza cuando la varianza o
desviación poblacional es conocida
ത
𝑋 ± 𝑍 Τ
∝ 2
𝛿
𝑛
Para población finita
Para población infinita
ത
𝑋 ± 𝑍 Τ
∝ 2
𝛿
𝑛
𝑁 − 𝑛
𝑁 − 1
𝑛
𝑁
≥ 0.05
Intervalos con poblaciones finitas
Todos los cálculos anteriores se refieren a muestras obtenidas de
poblaciones infinitas. En algunas ocasiones nos enfrentamos a situaciones
con muestras que resultan de poblaciones finitas. En el caso de poblaciones
finitas se debe utilizar un factor de corrección en el cálculo del margen de
error:

47. Intervalos de confianza cuando la varianza o
desviación poblacional no es conocida
ത
𝑋 ± 𝑍 Τ
∝ 2
𝑆
𝑛
Para población finita
Para población infinita
ത
𝑋 ± 𝑍 Τ
∝ 2
𝑆
𝑛
𝑁 − 𝑛
𝑁 − 1
𝑛
𝑁
≥ 0.05
a) Cuando n ≥ 30 Población
b) Cuando n < 30
Para población infinita Para población finita
ത
𝑋 ± 𝑡 Τ
∝ 2
𝑆
𝑛
ത
𝑋 ± 𝑡 Τ
∝ 2
𝑆
𝑛
𝑁 − 𝑛
𝑁 − 1
𝑛
𝑁
≥ 0.05
Una población
es finita si

48. 2
/
2
/ 
  t
n
s
x
t
n
s
x +


−
ത
𝑋 − 𝑍 Τ
∝ 2
𝛿
𝑛
< µ < ഥ
𝑋 + 𝑍 Τ
∝ 2
𝛿
𝑛
Formulas a tener en cuenta

49. Intervalo de confianza cuando se desconoce el valor de la desviación poblacional
2
/
2
/ 
  t
n
s
x
t
n
s
x +


−

50. Ejercicio:
Los siguientes datos (mostrados en la parte final) corresponden a las calificaciones obtenidas por un grupo
de estudiantes en el curso de Matemática Financiera. Considerando que durante los últimos años se ha
venido obtenido una varianza de 18 puntos. Llege a una conclusión altamente significativa (mas de 95%
confianza) acerca del verdadero valor promedio d.
71 75 65 69 73 68 74 70

51. Intervalos de confianza para la proporción
poblacional
Se trata de establecer un intervalo para estimar el valor de la proporción de una población en
función a una muestra
p ± 𝑍 Τ
∝ 2
𝑝∗𝑞
𝑛
Para población infinita Para población finita
p ± 𝑍 Τ
∝ 2
𝑝∗𝑞
𝑛
𝑁−𝑛
𝑁−1
p : éxito
q: fracaso

52. Ejercicio:
En estudios anteriores se sabe que la población de limeños hay personas que fuman y no fuman
Se obtiene una muestra aleatoria de 400 pobladores en la cual se contabilizan se contabilizan
310 fumadores. Desarrolle un intervalo de confianza al 90 % de confianza para la proporción de
la población.

53. Ejercicio:
En un estudio de 300 accidentes de automóvil en cierta ciudad, 60 tuvieron consecuencias fatales.
Con base en esta muestra, construir un intervalo del 90% de confianza para aproximar la
proporción de todos los accidentes automovilísticos que tienen consecuencias fatales en dicha
ciudad.

54. Ejercicio:
En una población de 2500 que se estima tienen una distribución normal, hay gente que tiene el habito de
fumar como otras no, se obtiene aleatoriamente una muestra de 100 personas. Si se sabe que en dicha
muestra se hallaron 40 fumadores y los de mas resultaron siendo no fumadores . Desarrolle un intervalo
de confianza al 80 % de confianza para estimar la proporción de fumadores para la población.

55. Intervalo de confianza para la diferencia de medias poblacionales