Este documento trata sobre los límites de funciones reales. Explica la noción intuitiva de límites, la notación de límites y algunos límites básicos. Luego cubre propiedades de límites como el cálculo de límites determinados e indeterminados, así como límites laterales. Finalmente, presenta ejemplos para calcular diferentes tipos de límites.

1. MATEMÁTICA
BÁSICA
Límites
de
Funciones
Reales
1
CCESA

2. CONTENIDOS
2
Noción Intuitiva
Notación de Límite
Límites Básicos
Propiedades
Cálculo de Límites
Determinados
Indeterminados
Límites Laterales

3. NOCIÓN INTUITIVA
3
1
1
)(
3



x
x
xf
1
3
• Tabulemos y grafiquemos la función en cercanías de
x = 1
1
1
)(
3



x
x
xf
1x
1x
x
x
)(xf
)(xf
2.1 1.1 05.1 01.1
64.3 31.3 1525.3 0301.3
8.0 9.0 95.0 99.0
44.2 71.2 8525.2 9701.2

4. NOTACIÓN DE LÍMITE
El límite de cuando tiende al
punto , es , cuya notación es:
Siempre que esté arbitrariamente cerca
a para todo lo suficientemente cerca de
NOTA.-
Si no existe tal número , se dice que el límite no existe.
4
)(xf x
a L
LxfLim
ax


)(
x
.aL
L

5. ALGUNOS LÍMITES BASICOS
5
kkLim
ax


axLim
ax


nn
ax
axLim 

55
3

x
Lim
3
3


xLim
x
83
2


xLim
x
88
3

x
Lim
9
9


xLim
x
14
1


xLim
x

6. PROPIEDADES
kLxfLimkxkfLim
axax


)()(
  MLxgLimxfLimxgxfLim
axaxax


)()()()(
MLxgLimxfLimxgxfLim
axaxax
.)().()().( 

0,
1
)(
1
)(
1



M
MxgLimxg
Lim
ax
ax
Sean dos funciones tales que
y k una constante, entonces
MxgLimyLxfLim
axax


)()(gyf
6

7.     nLxfLimxfLim nn
ax
n
ax
,)()( 

n
n
ax
n
ax
LxfLimxfLim 

)()(
LxfLimxfLim
axax


)()(
    )()(
)()(
xgLim
ax
xg
ax
axxfLimxfLim 


0,
)(
)(
)(
)(




M
M
L
xgLim
xfLim
xg
xf
Lim
ax
ax
ax
7
PROPIEDADES

8. 8
CÁLCULO DE LÍMITES
El calcular se realiza de la siguiente manera:
1°.- Reemplazamos x=a en la función f(x).
2°.- Si obtenemos una forma indeterminada:
tratamos de salvar el límite, para lo cual factorizamos
o racionalizamos, luego simplificamos y volvemos a
aplicar el paso 1°.
3°.- Si a pesar de aplicar el paso 2°, seguimos obteniendo
una forma indeterminada, concluimos que dicho límite NO
EXISTE.
00
100
0
0


 
,,.,,,
)(xfLim
ax

9. Calcule los siguientes límites:



 13
42
1 x
x
Lim
x



 x
x
Lim
x 2
5
1

 x-x
4x-
24x
Lim
0
0



1)1(3
4)1(2



12
15

4-)4(
4-4
2



 12
4
24 xx
x
Lim
x

124-)4(
4-4
2
9
1
2
2


2
1
4

0
12
0


10. 10



 12
4
24 xx
x
Lim
x
  



 34
4
4 xx
x
Lim
x
  



 34
4
4 xx
x
Lim
x
  7
1
3
1
4

 x
Lim
x
7
1
12
4
24



 xx
x
Lim
x
Calcule:

11. 43
209
2
2
4 

 xx
xx
Lim
x
4
)1)(4(
)4)(5(
4 

 xx
xx
Lim
x
1
5
4 

 x
x
Lim
x 5
1

43
209
2
2
4 

 xx
xx
Lim
x 5
1

0
0

11
Calcule:

12. 6
xx
xxx
Límx
23
24
2
23
0



0
0

2
1

x2+x3
x+x2-x4
2
23
0x
Lim
2
1

12
Calcule:
 
 23
124 2
0



xx
xxx
Límx
 
 23
124 2
0



x
xx
Límx

13. 0
0

3
2

xxx
x
Lim
x 2
4
23
2
2 


  
 



 )1(2
22
2 xxx
xx
Lim
x
)1(
2
2 

 xx
x
Lim
x



 xxx
x
Lim
x 2
4
23
2
2 3
2
13
Calcule:

14. 9
0
0

2
22
2 

 x
x
Lim
x
2
22
2 

 x
x
Lim
x
)22)(2(
42
2 

 xx
x
Lim
x
)22)(2(
2
2 

 xx
x
Lim
x
)22(
1
2  x
Lim
x 4
1

)22(
)22(


x
x
2
22
2 

 x
x
Lim
x 4
1

14
Calcule:

15. 10
0
0

3
4

4-16x+
3-9x+
0x
Lim
4-16x+
3-9x+
0x
Lim
3)9x+(
3)9x+(


3)9x+)(16-16(
4)16x+)(9-9(
0 

 x
x
Lim
x
39x+
416x+
0 

x
Lim
4-16x+
3-9x+
0x
Lim
3
4

15
Calcule:
4)16x+(
4)16x+(


3)9x+4)(16x+4)(-16x+(
4)16x+3)(9x+3)(-9x+(
0 

x
Lim

16. LÍMITES LATERALES
2-3
-1
4
6
)(xf


)(
2
xfLim
x


)(
2
xfLim
x


)(
3
xfLim
x


)(
3
xfLim
x
4
4
1
6
No
existe
)(
3
xfLim
x 
4)(
2


xfLim
x
DERECHA +DERECHA +IZQUIERDA - IZQUIERDA -
LxfLimxfLimLxfLim
axaxax
 

)()()(
16

17. Verificar si existen los siguientes límites






1,4
1,5
)(
2
xx
xx
xf













2,
2
333
2,
4
8
)(
2
3
xsi
x
x
xsi
x
x
xf
)())())()
111
xfLimcxfLimbxfLima
xxx  
)())())()
222
xfLimcxfLimbxfLima
xxx  













2,84
21,23
1,
1
)(
23
xaxbx
xaxbx
x
x
xx
xf
Determinar el valor de a y b, si se sabe
que existen
)()(
21
xfLimyxfLim
xx 
17

18. Dada la gráfica de la función
Calcular los siguientes límites
)(xf
1 3-2
-3
12
7
3

 
)())())() xfLimcxfLimbxfLima
xxx 222

 
)())())() xfLimfxfLimexfLimd
xxx 111
)())())()
333
xfLimixfLimhxfLimg
xxx 
 
3 7 NO EXISTE
12 -3 NO EXISTE
0 0 = 0
18