Este documento trata sobre los límites de funciones y la continuidad. Explica qué son los límites laterales izquierdo y derecho, y cómo calcular el límite de una función en un punto. También cubre los diferentes tipos de discontinuidades como las discontinuidades evitables y no evitables de salto finito e infinito. Por último, explica cómo calcular límites cuando x tiende a infinito y las asíntotas horizontales, verticales y oblicuas de una función.

1. LÍMITES DE FUNCIONES
CONTINUIDAD
Aurora Domenech

2. FUNCIÓN CONVERGENTE
f ( x) = x 2 − 2 x + 3
lim( x 2 − 2 x + 3) = 2
x →1
Es convergente a 2
cuando x tiende a 1

3. Función no convergente
• Cuando existe algún
punto donde la
función no converge:
• Función:
x −1 x < 0
f ( x) = 
x + 1 x ≥ 0
∃L− = lim− f ( x) = lim( x − 1) = −1
x →0
x →0
∃L+ = lim+ f ( x) = lim( x + 1) = +1
x →0
L− ≠ L+
x →0

4. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
(EN UN PUNTO)
• LÍMITE LATERAL
POR LA DERECHA
+
L = lim+ f ( x) = k1
x → x0
−
L = lim− f ( x) = k 2
• LÍMITE LATERAL
POR LA IZQUIERDA
• LÍMITE
+
x → x0
−
L = L = lim f ( x) = k
x → x0

5. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
EN UN PUNTO
• Si f(x) es una función habitual dada por su
expresión analítica , y f(x) es continua en su
dominio y c pertenece al dominio , entonces
para hallar:
lim f ( x)
x→c
• Calcularemos sencillamente: f(c)

6. EJEMPLOS DE CÁLCULO
DE LÍMITES EN UN PUNTO
a) lim( x ) = 3 = 9
2
x →3
2
f(x)=x2 es polinómica y por lo tanto continua en R, por
lo tanto como x=3 está en el dominio,sustituimos en la
función.
5x
5·2
10
10
b) lim(
)=
=
=−
x→2 x − 5
2−5 −3
3
La función es continua en todos
los reales menos en x=5, pero
en x=2 no hay discontinuidad,
por lo tanto sustituimos
directamente en la función.
c) lim 4 x + 9 = − 4 + 9 = 5
x → −1
La función es continua para valores
mayores o iguales que -9/4, por lo tanto
el x=-1 entra dentro de su dominio.
Sustituimos en la función.

7. CÁLCULO DE LÍMITES DE FUNCIONES
DEFINIDAS A TROZOS
 f1 ( x ) x < c
f ( x) = 
 f 2 ( x) x ≥ c
C es el “punto de ruptura”
a es cualquier otro punto del dominio

8. • Cálculo del límite en
el punto de ruptura
x=c
Calculamos límites
laterales
lim− f ( x) = lim f1 ( x) = f1 (c)
x→ c
x→ c
lim+ f ( x) = lim f 2 ( x) = f 2 (c)
• Cálculo del límite en
otro punto del
dominio x=a (a≠c)
si
si
a>c
x→a
x→ c
a<c
lim f ( x) = lim f1 ( x) = f1 (a )
x→a
lim f ( x) = lim f 2 ( x) = f 2 (a )
x→a
x→ c
x→a

9. COCIENTE DE DOS POLINOMIOS
EL DENOMINADOR
NO SE ANULA
EN x=c
El denominador se
anula en x=c, pero no
el numerador
P ( x ) P (c )
=
x →c Q ( x )
Q (c )
lim
P( x)
lim
= ±∞
x →c Q ( x )
Estudiar
límites laterales
Se anulan tanto
Numerador como
Denominador
En x=c
0
0
INDETERMINACIÓN
Descomponer plonimomios,
simplificar y recalcular

10. CONTINUIDAD EN UN PUNTO
• Deben cumplirse:
∃
– Existe el valor de la
función en el punto
– Existen los límites
laterales en dicho
punto
– Todos los valores
calculados coinciden
∃
f (c)
lim f ( x) = L
x →c
f(c)=L

11. FUNCIONES CONTINUAS EN
TODOS SUS PUNTOS
x
f ( x) = 2
x +2
f ( x) = x 3 − 2 x 2 + x − 1
f ( x) = x − 2 x + x − 1
3
2

12. TIPOS DE DISCONTINUIDADES
• DISCONTINUIDA
D EVITABLE EN
UN PUNTO
∃ lim f ( x)
x →c
Pero…
No coincide con el valor de f(c)
ó
No existe el valor de f(c)

13. Discontinuidades evitables
 − x x <1
f ( x) = 
x − 2 x > 1
1
-1
•Existen los límites laterales
•Tienen el mismo valor
•F(x) no está definida para x=1

14. TIPOS DE DISCONTINUDADES II
• DISCONTINUIDAD
NO EVITABLE DE
SALTO FINITO
LOS LÍMITES LATERALES
EN EL PUNTO EXISTEN
PERO NO TOMAN
EL MISMO VALOR

15. TIPOS DE DISCONTINUDADES III
• DISCONTINUIDAD
NO EVITABLE DE
SALTO INFINITO
ALGUNO DE LOS LÍMITES
LATERALES
EN EL PUNTO
DIVERGEN AL
+∞ Ó
-∞

16. LÍMITES INFINITOS EN EL
INFINITO
(Comportamiento en los extremos)
lim f ( x) = +∞
x → −∞
lim f ( x ) = −
∞
x→ ∞
+

17. lim f ( x) = k
x → ±∞
Cuando para valores muy grandes de x la función se
mantiene cerca de un valor fijo.
ASÍNTOTA HORIZONTAL
Y =K
3
Y=3
Y= -2

18. Cálculo de límites cuando x
∞
•Funciones polinómicas: será + ∞
ó - ∞ dependiendo del coeficiente del
término de mayor grado.
lim ( 2 x + 3x − 5) ≈ lim( 2 x ) = ∞
3
3
x →∞
x →∞
lim ( − 2 x + 3 x − 5) ≈ lim ( − 2 x ) = −∞
3
x →∞
•Funciones inversas de
polinómicas: será cero
3
x →∞
1


 1 
lim 3
≈ lim 3  = 0

x →∞ 2 x + 3 x − 5

 x →∞ 2 x 
1


 1 
lim
 ≈ lim
=0
x →∞ − 2 x 3 + 3 x − 5
x →∞ − 2 x 3





19. Cálculo de límites cuando x
•Funciones racionales:
•Grado del numerador menor que el denominador, será cero
 2 x 3 + 3x − 5 
 2 x3 
 1 
lim
 4 x 5 − x 2  ≈ lim 4 x 5  ≈ lim 2 x 2  = 0
 x →∞
 x →∞
x →∞






•Grados iguales será el cocientes de los términos de mayor grado
 2 x 3 + 3x − 5 
 2x3  1
lim
 4 x 3 − x 2  ≈ lim 4 x 3  = 2
 x →∞

x →∞




•Grado del numerador mayor que el denominador, será +∞ ó -∞
dependiendo del coeficiente de mayor grado del numerador
 2 x 5 + 3x − 5 
 2 x5 
 x3 
lim
 4 x 2 − x 2  ≈ lim 4 x 2  ≈ lim 2  = +∞
 x →∞
 x →∞ 
x →∞




 
∞

20. ASÍNTOTAS DE UNA FUNCIÓN
Una asíntota es una recta hacia la cual
se dirige la gráfica de una
función .
OL
BIC
US
A
VERTICALES
HORIZONTALES

21. lim f ( x) = ±∞
x → x0
X = X0
ASÍNTOTA VERTICAL
X =0
X=2

22. lim f ( x) = k
x → ±∞
ASÍNTOTA horizontal
y=k

23. ASÍNTOTA OBLICUA
y = mx + n
Cálculo de m y n
f ( x)
m = lim
x →∞
x
n = lim[ f ( x) − m· x ]
x →∞
En el caso de las funciones racionales, solo
existen si el denom
inador es una grado m
enor
que el num
erador.