Este documento presenta la teoría de la transformada de Laplace. Introduce la definición de la transformada de Laplace y las condiciones para su existencia. Explica que la transformada convierte ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas más simples de resolver. Finalmente, describe propiedades clave como la linealidad y los teoremas de traslación, los cuales relacionan cómo funciones transformadas se ven afectadas por cambios en la variable.

1. INTRODUCION
3.1TEORIA PRELIMINAR
3.1.1 DEFINICION DE LA TRANSFORMADA DE LAPLECE
3.1.2 CONDICIONES SUFICIENTES DE EXISTENCIA PARATRANSFORMADAS
DE LA PLECE
3.2TRANSFORMADA DIRECTA
3.3TRANSFORMADA INVERSA
3.4PROPIEDADES
3.4.1 TRANSFORMADA DE LA PLECE DE FUNCIONES DEFINIDAS POR
TRAMOS
3.4.2 FUNCION ESCALON UNITARIO
3.4.3 PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLECE

2. INTRODUCCION
La transformada de Laplace es una herramienta de gran alcance formulada para solucionar
una variedad amplia de problemas de la inicial-valor. La estrategia es transformar las
ecuaciones diferenciales difíciles en los problemas simples de la álgebra donde las
soluciones pueden ser obtenidas fácilmente. Entonces se aplica La transformada inversa
de Laplace para recuperar las soluciones de los problemas originales.
Es un procedimiento desarrollado por el matemático y astrónomo francés Pierre Simón
Marques de Laplace (1749 - 1827) que permite cambiar funciones de la variable del tiempo
t a una función de la variable compleja s.
Las características fundamentales de la transformada de Laplace son:
 Es un método operacional que puede usarse para resolver ecuaciones diferenciales
lineales.
 Las funciones senoidales, senoidales amortiguadas y exponenciales se pueden
convertir en funciones algebraicas lineales en la variable S.
 Sirve para reemplazar operaciones como derivación e integración, por operaciones
algebraicas en el plano complejo de la variable S.
 Este método permite usar técnicas gráficas para predecir el funcionamiento de un
sistema sin necesidad de resolver el sistema de ecuaciones diferenciales
correspondiente.
3.1 TEORIA PRELIMINAR
La transformada de Laplace recibe su nombre en honor del matemático francés Pierre-
Simon Laplace, que la presentó dentro de su teoría de la probabilidad. En
1744, Leonhard Eulerhabía investigado un conjunto de integrales de la forma:

3. Como soluciones de ecuaciones diferenciales, pero no profundizó en ellas y pronto
abandonó su investigación. Joseph Louis Lagrange, admirador de Euler, también
investigó ese tipo de integrales, y las ligó a la teoría de la probabilidad en un trabajo
sobre funciones de densidad de probabilidad de la forma:
Que algunos historiadores interpretan como auténticas transformadas de Laplace.
Este tipo de integrales atrajeron la atención de Laplace cuando, en 1782, y siguiendo la
idea de Euler, trató de emplear estas integrales como soluciones de ecuaciones
diferenciales. Parece serque en 1785 dio un paso más allá, y reenfocó el problema para
en vez de usar las integrales como soluciones, aplicarlas a las ecuaciones dando lugar
a las transformadas de Laplace tal y como hoy en día se entienden. Usó una integral de
la forma:
Análoga a la transformada de Mellin, con la que transformó una ecuación diferencial en
una ecuación algebraica de la que buscó su solución. Planteó alguna de las principales
propiedades de su transformada, y de alguna forma reconoció que el método de Joseph
Fourier para resolver por medio de series de Fourier la ecuación de difusión podría
relacionarse con su transformada integral para un espacio finito con soluciones
periódicas.
Pese al logro, las transformadas de Laplace pronto cayeron en un relativo olvido, al
haber sido presentadas en el campo de la probabilidad –ajeno a su moderna aplicación
en la física y la ingeniería–, y ser tratadas sobre todo como objetos matemáticos
meramente teóricos.
La moderna aplicación de las transformadas de Laplace y toda su teoría subyaciente
surge en realidad en la segunda mitad del siglo XIX. Al tratar de resolver ecuaciones
diferenciales relacionadas con la teoría de vibraciones, el ingeniero inglés Oliver
Heaviside (1850-1925) descubrió que los operadores diferenciales podían tratarse
analíticamente como variables algebraicas. De acuerdo con el "cálculo operacional", si
se tiene una ecuación diferencial de la forma:

4. Donde D es el operador diferencial, esto es, D = d / dx, entonces la solución general a
dicha ecuación es de la forma:
.
Heaviside observó que si se trataba al operador D como una variable algebraica, era
posible alcanzar igualmente la solución de toda ecuación pareja a la de arriba. En
efecto, según la solución general, se cumple que:
Entonces, si seconsidera una ecuación diferencial de segundo orden comola siguiente:
Esta puede reescribirse en para resaltar el operador D como:
Heaviside propuso despejar y y tratar a D algebraicamente, en cuyo caso se tendría
que:
Sustituyendo las fracciones en D por la expresión integral de las mismas arriba
presentada, se llega a la solución de la ecuación diferencial:
Heaviside publicó sus resultados, cuya utilidad a la hora de resolver ecuaciones de la
física y la ingeniería hizo que pronto se extendieran. Sin embargo, el trabajo de
Heaviside, formal y poco riguroso, atrajo las críticas de algunos matemáticos puristas
que los rechazaron argumentando que los resultados de Heaviside no podían surgir de
tal forma. No obstante, el éxito del método hizo que pronto fuera adoptado por
ingenieros y físicos de todo el mundo, de manera que al final atrajo la atención de cierto
número de matemáticos tratando de justificar el método de manera rigurosa. Tras varias
décadas de intentos, se descubrió que la Transformada descubierta por Laplace hacía
un siglo no sólo ofrecía un fundamento teórico al método de cálculo operacional de
Heaviside, sino que además ofrecía una alternativa mucho más sistemática a tales
métodos.

5. Hacia principios del siglo XX, la transformada de Laplace se convirtió en una
herramienta común de la teoría de vibraciones y de la teoría de circuitos, dos de los
campos donde ha sido aplicada conmás éxito. En general, la transformadaes adecuada
para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con condiciones iniciales en
el origen. Una de sus ventajas más significativas radica en que
la integración y derivación se convierten en multiplicación y división. Esto transforma las
ecuaciones diferenciales e integrales en ecuaciones polinómicas, mucho más fáciles de
resolver.
3.1.1 DEFINICION DE LA TRANSFORMADA DE LA PLECE
La transformada de La place de una función f(t) definida (en matemáticas y, en
particular, en análisis funcional) para todos los números positivos t ≥ 0, es la
función F(s), definida por:
Siempre y cuando la integral esté definida. Cuando f(t) no es una función, sino
una distribución con una singularidad en 0, la definición es

6. Cuando se habla de la transformada de La place, generalmente se refiere a la versión
unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como
sigue:
La transformada de La place F(s) típicamente existe para todos los números
reales s > a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento
de f(t).
3.1.2 CONDICIONES SUFICIENTES DE EXISTENCIA PARA LA
TRANSFORMADA DE LA PLECE
Condiciones suficientes para la existencia de la transformada de Laplace
para de una función cualquiera:
Estar definida y ser continua a pedazos en el intervalo
Ser de orden exponencial
3.3 TRANSFORMADA INVERSA

7. La Transformada inversa de una función en s, digamos F(s) es una función de t cuya
transformada es precisamente F(s), es decir si es que
acaso
Esta definición obliga a que se cumpla:
y
PROPIEDADES
En las siguientes propiedades se asume que las funciones f(t) y g(t) con funciones que
poseen transformada de Laplace.
Las demostraciones pueden ser obtenidas en el libro de Zill: A first course in Diferencial
Equations with modelling applications
Linealidad
Idea
La transformada de Laplace se distribuye sobre las sumas o restas y saca constantes
que multiplican.
Versión para la inversa:
Primer Teorema de Traslación
donde
Idea
La transformada de Laplace se convierte un factor exponencial en una traslación en la
variable s.
Versión para la inversa:

8. Teorema de la transformada de la derivada
Idea
La transformada de Laplace cancela la derivada multiplicando por la variable s.
Teorema de la transformada de la integral
Teorema de la integral de la transformada
Siempre y cuando exista
Teorema de la derivada de la transformada
Transformada de la función escalón
Si representa la función escalón unitario entonces
Segundo teorema de Traslación )
Transformada de una función periódica
Si f(t) es una función periódica con período T:

9. 3.4.1 TRANSFORMADA DE LA PLECE DE FUNCIONES DEFINIDAS
POR TRAMOS
Decimos que una función es continua a trozos si:
está definida y es continua en todo , salvo en un número
finito de puntos , para
Para cada los límites :

10. existen. Note que, solamente uno de estos límites es pertinente si es uno de los
extremos de .
En general, el requisito de que estos límites sean finitos en todos los puntos implica
que las únicas discontinuidades de son discontinuidades de salto, del tipo que
aparecen en la figura
Intuitivamente podríamos pensar que las funciones continuas a trozos
son casi contínuas o que no son demasiado discontinuas.
Otra de las ideas importantes en el estudio de la existencia de la transformada de
Laplace es que entendemos porqué una función no crezca demasiado rápido.
3.4.2 FUNCION ESCALON UNITARIO
En ingeniería es común encontrar funciones que corresponden a estados de sí o no, o
bienactivo o inactivo. Por ejemplo, una fuerza externa que actúa sobre un sistema
mecánico o una tensión eléctrica aplicada a un circuito, puede tener que suspenderse
después de cierto tiempo. Para tratar de formaefectiva con estas funciones discontinuas
conviene introducir una función especial llamada función escalón unitario.
La función escalón unitario o función de Heaviside1.2 se define
como

11. Observación: la función de heaviside se definio sobre el intervalo , pues esto
es suficiente para la transformada de Laplace. En un sentido más
general para .
3.4.3 Propiedadesde la transformadade Laplace (linealidad,
teoremasde traslación)
propiedad de linealidad de que la transformada de una combinación
lineal de funciones es una combinaciónlineal de las transformadas.
Para a (alfa) y b (beta) constantes.
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA LA
TRASLACIÓNDE FUNCIONES EN EL EJE S
PRIMER TEOREMA DE TRASLACIÓN.

12. Este primer teoremade traslación se conoce también con el nombre
de primer teorema de desplazamiento
Si se consideraa s una variable real, entonces la gráfica de F (s –
a) es la gráfica deF(s)desplazada en el eje s por la cantidad |a| , tal
como se muestra en la figúra7.11.
Para dar énfasis a esta traslación en el eje s, a veces es útil usar el
simbolismo siguiente:
Donde S flecha S- a significaque la transformada de
Laplace F(s) de f(t) el símbolosse remplaza por s-a siempre que
aparezca.
USO DEL PRIMER TEOREMA DE TRASLACIÓN
EJEMPLO 1: Utilizando el primer teorema de traslación evalúe la
siguiente transformada de Laplace.

13. SOLUCIÓN:Utilizando la fórmula 2 de la tabla 4.2 se tiene lo
siguiente:
EJEMPLO 2: Utilizando el primer teorema de traslación evalúe la
siguiente transformada de Laplace.
SOLUCIÓN:Utilizando la fórmula 5 de la tabla 4.2 se tiene lo
siguiente:
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA LA
TRASLACIÓNDE FUNCIONES EN EL EJE t
SEGUNDO TEOREMA DE TRASLACIÓN.
Este segundo teoremade traslación se conoce también con el nombre
de segundo teorema de desplazamiento

14. En el teoremaanterior se puede observar que un múltiplo exponencial
de f(t) da como resultado una traslación de la transformada F(s) en el
eje s. Como una consecuenciadel segundo teoremase nota que
siempre que F(s) se multiplique por una función
exponencial , la transformada inversa del
producto es la función f desplazadaa lo
largo del ejet, tal como se muestra en la figura 7.16 (b)
FORMA ALTERNATIVADEL SEGUNDO TEOREMA DE
TRASLACIÓN.
Usando la definiciónde la transformada de Laplace y haciendo la
sustitución u = t – a , se obtiene la fórmula siguiente:
EJEMPLO 3: Utilizando la forma alternativa del segundo teorema de
traslación evalúe la siguiente transformada de Laplace.
SOLUCIÓN:Con g(t) = cos t y a = Pi , entonces fórmula de adición
de la función coseno.