1) El documento describe diferentes métodos de integración y diferenciación numérica como la regla del trapecio, la regla de Simpson, la diferenciación numérica de dos y tres puntos, y la interpolación polinomial. 2) También explica las fórmulas de Newton-Cotes como la regla del trapecio, la regla de Simpson 1/3, la regla de Simpson 3/8 y la regla de Boole, las cuales usan polinomios de diferentes grados para aproximar integrales. 3) Finalmente, introduce la regla del punto medio como un

1. UNIVERSIDAD FERMIN TORO
VICE RECTORADO ACADEMICO
FACULTAD DE INGENIERIA
ESCUELA DE INGENIERA MECANICA
ALUMNO: ENRIQUE GODOY
CI: 27760881
CABUDARE, MARZO 2020

2. INTRODUCCION
En las aplicaciones prácticas, a menudo sucede que tenemos valores de la variación de una
función en algunos puntos sin tener su expresión analítica, y queremos inferir de ellos la
función derivada en algún otro punto. De la misma forma, podemos necesitar la integral
definida de esa función de la que sólo sabemos sus valores en algunos puntos; en el caso de
la integral además, puede darse el caso de que, incluso teniendo la expresión analítica de la
función a integrar, y siendo la función integrable, no exista la función primitiva. En estos
casos la solución pasa por aproximar la derivada y la integral usando los métodos del cálculo
numérico.

3. En análisis numérico, la integración numérica constituye una amplia gama de algoritmos para
calcular el valor numérico de una integral definida y, por extensión, el término se usa a veces
para describir algoritmos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales.
Hay varias razones para llevar a cabo la integración numérica. La principal puede ser la
imposibilidad de realizar la integración de forma analítica. Es decir, integrales que
requerirían un gran conocimiento y manejo de matemática avanzada pueden ser resueltas de
una manera más sencilla mediante métodos numéricos. Incluso existen funciones integrables
pero cuya primitiva no puede ser calculada, siendo la integración numérica de vital
importancia.
La solución analítica de una integral nos arrojaría una solución exacta mientras que la
solución numérica nos daría una solución aproximada.
La integración numérica es una técnica que se puede usar para aproximar el valor de la
integral de una función que no sea posible anti diferenciar (integrar).Con el objeto de integrar
numéricamente la integral comprendida en el intervalo cerrado [a, b], lo podemos hacer a
través de dos métodos de integración numérica: la Regla del trapecio y la Regla de Simpson.
Diferenciación numérica es una técnica de análisis numérico para producir una estimación
del derivado de a función matemática o función subprograma usando valores de la función y
quizás del otro conocimiento sobre la función. Una valoración simple del dos-punto es
computar la cuesta de un próximo línea secante a través de los puntos (x,f (x)) y (x+h,f (x+h)).
Elegir un número pequeño h, h representa un cambio pequeño adentro x, y puede ser positivo
o negativa. La cuesta de esta línea secante diferencia de la cuesta de la línea de la tangente
por una cantidad a la cual sea aproximadamente proporcional h. Como h los acercamientos
ponen a cero, la cuesta de la línea secante acercamientos la cuesta de la línea de la tangente.
Por lo tanto, el verdad derivado de f en x es el límite del valor del cociente de la diferencia
mientras que las líneas secantes consiguen cada vez más cerca de ser una línea de la tangente:
Desde inmediatamente el sustituir 0 para h resultados adentro división por cero.
Una valoración simple del tres-punto es computar la cuesta de una línea secante próxima a
través de los puntos (x-h,f (x-h)) y (x+h,f (x+h)). La cuesta de esta línea es más generalmente,
la valoración del tres-punto utiliza la línea secante a través de los puntos (x − h1,f(x − h1))
y(x + h2,f(x + h2)). La cuesta de estas líneas secantes diferencia de la cuesta de la línea de la
tangente por una cantidad a la cual sea aproximadamente proporcional h2 de modo que la
valoración del tres-punto sea una aproximación más exacta a la línea de la tangente que la
valoración del dos-punto cuando h es pequeño. A la ecuación se le conoce con el nombre
especial en el análisis numérico, se le llama diferencias divididas finitas
Se puede representar generalmente como:

4. O Donde al diferencial se le conoce como la primera diferencia hacia adelante y a h se le
llama tamaño del paso, esto es, la longitud del intervalo sobre el cual se hace la aproximación.
Se le llama diferencia "hacia adelante" ya que usa los datos(i) e (i+1) para estimar la derivada.
Al termino completo (o sea, la diferencial entre h ) se le conoce como primera diferencia
dividida finita. Esta diferencia dividida hacia adelante no es sino una de tantas que se pueden
desarrollar mediante la serie de Taylor para la aproximación de derivadas numéricas.
Integración interpolación polinomial
Una estrategia muy útil para calcular el valor numérico de la integral dada por la ecuación
(74) consiste en reemplazar f por otra función g, fácil de integrar, que aproxima a f de forma
adecuada. Si , se deduce que
Los polinomios son buenos candidatos para el papel de g. De hecho, g puede ser un polinomio
que interpola a f en cierto conjunto de nodos
Supongamos que deseamos calcular la integral (74). Podemos elegir una serie de nudos, en
el intervalo [a, b] e iniciar un proceso de interpolación de Lagrange. El polinomio de grado
menor o igual a n que interpola a f en los nudos es:

5. Interpolación de Richardson
Existen muchas variantes para hacer la derivación numérica de una función, utilizando
órdenes más altos de los polinomios interpolantes, y combinándolos en forma diferente. Dado
que la bibliografía es muy abundante para estos casos, sólo veremos una forma de producir
mejores resultados utilizando expansiones de orden bajo.
Si bien este método fue publicado en 1927, se supone que la idea básica es muy anterior,
remontándose a Arquímedes (200 a.c.).
Supongamos que tenemos una fórmula de aproximación N(h) que nos da como resultado un
valor
M = N(h) + K1 h2
Si en lugar de calcular el valor buscado M con un paso h, lo hiciésemos con un paso h/2
tendríamos:
M = N(h/2) + K1 h2/4
La segunda aproximación se supone que es mas precisa, pero aún podemos hacer un mejor
trabajo, aprovechando estos dos cálculos. Multiplicamos la segunda ecuación por 4 y
restamos a la primera, obteniendo:
3M = 4N(h/2) - N(h)
de donde tenemos un nuevo valor de M
4N(h/2) - N(h)
M = ----------------
3
Del mismo modo, podemos continuar dividiendo h/2 una vez más por 2, y nos quedaría:
4j-1Nj-1(h/2) - Nj-1(h)
M = Nj = --------------------------
4j-1 – 1

6. Fórmulas de Newton–Cotes
En análisis numérico las fórmulas de Newton-Cotes (nombradas así por Isaac Newton y
Roger Cotes) son un grupo de fórmulas de integración numérica de tipo interpolatorio, en
las cuales se evalúa la función en puntos equidistantes, para así hallar un valor aproximado
de la integral. Cuantos más intervalos se divida la función más precisa será el resultado.
Este método es eficiente si se conocen los valores de la función en puntos igualmente
separados. Si se pueden cambiar los puntos en los cuales la función es evaluada otros
métodos como la cuadratura de Gauss son probablemente más eficientes.
Las fórmulas de Newton - Cotes son los tipos de integración numérica más comunes. Se
basan en la estrategia de reemplazar una función complicada o datos tabulados por un
polinomio de aproximación que es fácil de integrar:
Donde fn(x) es un polinomio de la forma
Donde n es el grado del polinomio. Por ejemplo, en la Figura 1 se utiliza un polinomio de
primer grado como una aproximación, mientras que en la Figura 2, se emplea una parábola
con el mismo propósito.
La integral también se puede aproximar usando un conjunto de polinomios aplicados
por pedazos a la función o datos, sobre segmentos de longitud constante. Así, en la Figura 3,
se usan tres segmentos de línea recta para aproximar la integral.

7. Existen formas cerradas y abiertas de las fórmulas de Newton - Cotes. En esta sección
sólo se analizarán las formas cerradas. En ellas, se conocen los datos al inicio y al final de
los límites de integración.
Regla del trapecio
La regla del trapecio es uno de los métodos más utilizados para calcular aproximaciones
numéricas de integrales definidas. Es la primera de las fórmulas cerradas de integración de
Newton – Cotes, para el caso cuando el polinomio interpolante es de grado uno.
Para el polinomio interpolante de primer grado se tiene:
A=∫baf(x)dx≅∫baf1(x)dx, donde
f1(x)=f(a)+f(b)−f(a)b−a(x−a)
Precisamente el área bajo la recta es una aproximación de la integral ∫baf(x)dx,
A=∫ba[f(a)+f(b)−f(a)b−a(x−a)]dx.
Luego se tiene que la regla del trapecio viene dada por la fórmula
A=∫baf(x)dx≈(b−a)[f(a)+f(b)2]
El nombre regla del trapecio se debe a la interpretación geométrica que se hace de la
fórmula. Cuando el polinomio interpolante es de grado uno, su gráfica representa una línea
recta en el intervalo [a, b] que es el área del trapecio que se forma, como se muestra en la
figura.

8. La regla de Simpson reemplaza la suma de áreas de los trapecios por la suma de las áreas
situadas por debajo de las parábolas para aproximar la integral en un intervalo definido.
Al igual que en la regla de los trapecios dividimos el intervalo [a , b] en n intervalos de
igual longitud ( n deberá ser un numero para).
Usualmente este método da una mayor precisión que la de los trapecios.
Fórmula:
Ejercicio use la Regla de Simpson, con el valor de n indicado para estimar las integrales
definidas.

9. Regla de Simpson 1/3
Los ingenieros encuentran con frecuencia el problema de integrar funciones que están
definidas en forma tabular o en forma gráfica y no como funciones explícitas, se pueden
utilizar métodos gráficos, pero los métodos numéricos son mucho más precisos.
La integración numérica consiste en encontrar una buena aproximación al área bajo la
curva que representa una función f(x), que ha sido determinada a partir de datos
experimentales o a partir de una expresión matemática.
Las formulas de cuadratura de Newton-Cotes son los procedimientos más comunes de
integración numérica, se basan en la estrategia de reemplazar una función complicada o
datos tabulados con una función aproximada que sea fácil de integrar, estas son:
- La regla de integración Trapezoidal.
- La regla de Simpson.
Estas reglas están diseñadas para casos en los que los datos a integrarse están espaciados de
manera uniforme.
A continuación se describe la regla de integración de Simpson 1/3 para la “integración
cerrada” es decir, para cuando los valores de la función en los extremos de los límites de
integración son conocidos.

10. Además de aplicar la regla trapezoidal con segmentación más fina, otra forma de obtener
una estimación mas exacta de una integral es con el uso de polinomios de orden superior
para conectar los puntos (en lugar de utilizar líneas para conectarlos).
Las reglas de Simpson son las fórmulas que resultan al tomar las integrales bajo los
polinomios que conectan a los puntos.
El método de Integración Simpson 1/3 consiste en tomar el área bajo una parábola que
conecta tres puntos, como se muestra en la siguiente gráfica:
Dada una función tabular con espaciamientos constantes, de la forma:
La fórmula de integración de Simpson 1/3 es la siguiente:

11. Regla de Simpson 3/8
De la misma manera como se hizo en la regla de trapecio, la regla de Simpson se puede
ampliar si se subdivide el intervalo [a, b] en n subintervalos, todos de la misma
longitud h=b−an. Cuando el número de subdivisiones que se haga sea igual a tres, entonces
el método recibe el nombre de la Regla de Simpson 3/8. Se le da ese nombre debido al
factor 38h que aparece en la fórmula.
Suponga que se tiene la función f(x) y los siguientes datos:
a xm xn b
f(a) f(xm) f(xn) f(b)
Donde xm, xn son los puntos que dividen en tres partes iguales al intervalo [a, b].
En la gráfica se muestra una parábola que aproxima a una función real. Observe que se
calcula el área o la integral bajo la parábola que pasa por los cuatro puntos.
Para calcular el área bajo la curva aplicando la regla de Simpson 3/8 se utiliza la siguiente
fórmula:
∫baf(x)dx≈38h[f(a)+3f(xm)+3f(xn)+f(b)], con h=b−a3
Es importante señalar que para la regla de Simpson 3/8 compuesta, el número de
subintervalos solo puede ser un múltiplo de 3, en caso contrario no es posible aplicar la
regla.
El error estimado viene dado por la fórmula:

12. Ex=−3h580f(4)(ξ)
Regla de Boole
La regla de Boole (llamada así debido a George Boole) utiliza cinco puntos consecutivos
igualmente separados para calcular la integral aproximada de la función utilizando un
polinomio de cuarto grado.
∫baf(x)dx
la reglade Boole consiste en aproximar la función mediante un polinomio de grado cuatro,
considerando cinco valores de la misma equiespaciados en [a,b].
Entonces llamando:
fi=f(a+hi),h=b−a
4
tienes:
∫baf(x)dx≈2h45(7f0+32f1+12f2+32f3+7f4)
La regla es compuesta si divides tu intervalo de integración en varios subintervalos en los
cuáles aplicas el método anterior.
En tu caso, como h=0.01h=0.01 tomamos intervalos de longitud 4h=0.044h=0.04. Por
tanto [−1,1][−1,1] queda dividio en intervalos:
[aj,aj+0.04][aj,aj+0.04] con aj=−1+0.04j,j=0,1,…,49
∑j=0492h45(7fj,0+32fj,1+12fj,2+32fj,3+7fj,4)
fj,i=f(aj+i0.01), h=0.01, f(x)=1
1+x2

13. Regla del punto medio
En este método se divide la función en rectángulos, los cuales deben tener una altura igual
al valor de la función en el punto medio. Así se calcularía la integral aproximada mediante
un polinomio de grado cero.
Escribir la función punto_medio_comp(f,a,b,n) que tiene como argumentos de entrada la
función f a integrar, los extremos del intervalo de integración a y b, y el número de
subintervalos que vamos a usar en la fórmula compuesta n y devuelve el valor aproximado
utilizando la Regla del Trapecio compuesta.
Calcular, con n = 5 subintervalos, la integral
∫30exdx∫03exdx
Escribir el valor exacto y el valor aproximado.
El valor aproximado es 18.802232
El valor exacto es 19.085537

14. Las fórmulas de Newton-Cotes aumentan su precisión si se aumenta el número de
intervalos en que se divida la función, dicho de otra forma mientras los intervalos sean cada
vez más pequeños. Como el intervalo generalmente es grande hay métodos que
subdividen este intervalo en subintervalos más pequeños y a estos se les aplica las
Fórmulas de Newton-Cotes, a la suma de estos subintervalos se le conoce como reglas
compuestas. Cabe anotar que la precisión aumenta pero a costa de disminuir la eficiencia
del método en cuanto al tiempo de duración y a posibles errores de redondeo.
Regla del Trapecio Compuesta
Escribir la función trapecio_comp(f,a,b,n) que tiene como argumentos de entrada la
función f a integrar, los extremos del intervalo de integración a y b y el número de
subintervalos que vamos a usar en la fórmula compuesta n y devuelve el valor aproximado
utilizando la Regla del Trapecio compuesta.
Calcular, con n = 4 subintervalos, la integral
∫30exdx∫03exdx
Escribir el valor exacto y el valor aproximado.
El valor aproximado es 19.971895
El valor exacto es 19.085537

15. Metodo de Romberg
Al utilizar la regla del trapecio de segmentos múltiples y la regla de Simpson de segmentos
múltiples, se pudo observar que a medida que aumentaba el número de segmentos, 𝑛, el err
or disminuía; pero para valores muy grandes de 𝑛, el error por redondeo empezaba a crecer
y el esfuerzo computacional se volvía grande.El método de integración de Romberg esta dis
eñado para evitar estos inconvenientes y esta basado en la regla del trapecio, pero solo se p
uede usar en casos en los que se conoce la función 𝑓(𝑥).
uiente:
Solución Se trabajara inicialmente con la regla del Trapecio, para generar los datos del nive
l 𝑗 = 1, calculando la integral con distintos números de segmentos, los cuales deben irse dup
licando hasta que la variación de las integrales sea mínima.
Método de Romberg
Solución Se comienzan los cálculos con los valores mostrados en la Tabla 1, los cuales se o
btuvieron para los diferentes tamaños de paso indicados.

18. CUADRATURA DE GAUSS
El método de cuadratura de Gauss es un excelente método numérico para evaluar integrales
definidas de funciones, por medio de sumatorias simples y fáciles de implementar. Por otra
parte, es una aplicación bastante interesante de los polinomios ortogonales. Las cuadraturas
de Gauss - Legendre es el nombre de una clase de técnicas que aplica tal estrategia para obt
ener una aproximación más precisa de la integral. El objetivo de la cuadratura de Gauss - L
egendre es determinar las abscisas x1 y x2 y dos coeficientes w1 y w2 de manera que la fór
mula: