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Teoremas Fundamentales del Cálculo Curso: Cálculo Integral CB131U Prof: Peña Quiñones, Celestina FIIS - UNI
TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CALCULO Teorema del valor intermedio.-  Si  f  es una función continua sobre [a, b], entonces para cualquier número real  A,  tal que  , existe por lo menos un  tal que  f ( c ) =  A .  Supuesto que  ,  Corolario.-   Si  M ,  m   son de signo opuesto, entonces existe  tal que  f ( c ) = 0
Teorema del valor medio para Integrales.-   Si  f  es una función continua  sobre [a, b], entonces existe  tal que  Valor medio o promedio de una función.-  Si  f  es una función continua sobre el intervalo [a, b], el valor medio o promedio de  f  sobre [a, b] es  f ( c ),  tal que  Aplicaciones.-  Como  , entonces  ó  Si  entonces  sustituyendo en la conclusión del T.V.M para integrales tenemos  tomando el límite obtenemos b)  Si  , procediendo como en (a)  tenemos c)  Como  , se concluye que
Ejemplos.-  Evaluar los siguientes límites 1.   ,  donde  f  es continua sobre [a, b]  y  2.  , donde  f  es continua sobre [a, b]  3.  4.  5.  6.  7.  8.
1er. Teorema Fundamental del Cálculo. Si  es una función continua sobre [a, b] y si para todo , entonces  G  es derivable sobre [a, b]  y  G ’( x ) =  f ( x ) Corolario.-   Si  es derivable sobre  A  = [a, b] y  continua sobre  B   entonces, si  ; En general,  si  h ,  g  son funciones derivables  y  f  una función continua tal las composiciones existen, entonces
Ejemplos.-   Hallar  G ’(1) si  Si  es tal que  hallar H’’(0) Si  demostrar que  G es una función constante 4.  Si  , demostrar que  Si  hallar  Hallar
2do. Teorema fundamental del Cálculo.- Sea  una función continua sobre [a, b] y sea  F  una función derivable sobre [a, b] tal que  entonces Ejemplos Hallar el valor medio de las siguientes funciones a) b)  Demostrar que  Hallar el valor de las siguientes integrales
Cambio de variable en Integral definida Teorema.-  Sea  una función continua sobre  tal que,  y sea  Una función integrable sobre  Entonces si  NOTA.-  Es importante notar, que el cambio de variable en una integral definida requiere que se cumpla la condición que con el fin de no alterar el resultado de la integral, también es necesario verificar que
Integral definida y  sustitución trigonométrica Si el integrando contiene factores de la forma  Es conveniente efectuar una sustitución trigonométrica  a) b) c)
Integral definida y sustitución recíproca Si el dominio de la función integrando no contiene al cero es conveniente la sustitución  Integral definida e integración por partes En muchas integrales definidas es útil la integración por partes
Ejemplos.-   Hallar el valor de las siguientes integrales definidas, explicando el método utilizado y sus condiciones.
, ,
Ejemplos.- Evaluar las siguientes integrales:
 
Hallar el valor medio y el punto ó puntos donde ocurre dicho valor para las siguientes funciones y en los intervalos indicados

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Teoremas Fundamentales del Calculo

  • 1. Teoremas Fundamentales del Cálculo Curso: Cálculo Integral CB131U Prof: Peña Quiñones, Celestina FIIS - UNI
  • 2. TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CALCULO Teorema del valor intermedio.- Si f es una función continua sobre [a, b], entonces para cualquier número real A, tal que , existe por lo menos un tal que f ( c ) = A . Supuesto que , Corolario.- Si M , m son de signo opuesto, entonces existe tal que f ( c ) = 0
  • 3. Teorema del valor medio para Integrales.- Si f es una función continua sobre [a, b], entonces existe tal que Valor medio o promedio de una función.- Si f es una función continua sobre el intervalo [a, b], el valor medio o promedio de f sobre [a, b] es f ( c ), tal que Aplicaciones.- Como , entonces ó Si entonces sustituyendo en la conclusión del T.V.M para integrales tenemos tomando el límite obtenemos b) Si , procediendo como en (a) tenemos c) Como , se concluye que
  • 4. Ejemplos.- Evaluar los siguientes límites 1. , donde f es continua sobre [a, b] y 2. , donde f es continua sobre [a, b] 3. 4. 5. 6. 7. 8.
  • 5. 1er. Teorema Fundamental del Cálculo. Si es una función continua sobre [a, b] y si para todo , entonces G es derivable sobre [a, b] y G ’( x ) = f ( x ) Corolario.- Si es derivable sobre A = [a, b] y continua sobre B entonces, si ; En general, si h , g son funciones derivables y f una función continua tal las composiciones existen, entonces
  • 6. Ejemplos.- Hallar G ’(1) si Si es tal que hallar H’’(0) Si demostrar que G es una función constante 4. Si , demostrar que Si hallar Hallar
  • 7. 2do. Teorema fundamental del Cálculo.- Sea una función continua sobre [a, b] y sea F una función derivable sobre [a, b] tal que entonces Ejemplos Hallar el valor medio de las siguientes funciones a) b) Demostrar que Hallar el valor de las siguientes integrales
  • 8. Cambio de variable en Integral definida Teorema.- Sea una función continua sobre tal que, y sea Una función integrable sobre Entonces si NOTA.- Es importante notar, que el cambio de variable en una integral definida requiere que se cumpla la condición que con el fin de no alterar el resultado de la integral, también es necesario verificar que
  • 9. Integral definida y sustitución trigonométrica Si el integrando contiene factores de la forma Es conveniente efectuar una sustitución trigonométrica a) b) c)
  • 10. Integral definida y sustitución recíproca Si el dominio de la función integrando no contiene al cero es conveniente la sustitución Integral definida e integración por partes En muchas integrales definidas es útil la integración por partes
  • 11. Ejemplos.- Hallar el valor de las siguientes integrales definidas, explicando el método utilizado y sus condiciones.
  • 12. , ,
  • 13. Ejemplos.- Evaluar las siguientes integrales:
  • 14.  
  • 15. Hallar el valor medio y el punto ó puntos donde ocurre dicho valor para las siguientes funciones y en los intervalos indicados