Este documento discute las diferentes concepciones sobre la naturaleza de las matemáticas y su influencia en la enseñanza. Presenta tres escuelas principales - la logicista, la formalista y la constructivista - y cómo han evolucionado a lo largo de la historia. También argumenta que es importante estudiar la práctica del desarrollo de las matemáticas y cómo esto se relaciona con el aprendizaje de la disciplina.

1. Tomado deMathesis 9 (1993) 419-432
LA NATURALEZA DE LAS MATEMATICAS
Y SUS IMPLICACIONES DIDACTICAS
Luz Manuel Santos Trigo
Resumen
Los profesores de matemáticas enseñan esta disciplina de acuerdo a ciertas ideas que ellos tienen
acerca de las matemáticas y cómo estas deben ser aprendidas por los estudiantes. Por ejemplo,
un profesor puede pensar que el aspecto formal de las matemáticas es el ingrediente principal de
esta disciplina. Como consecuencia, en el contenido presentado a los estudiantes existe un gran
énfasis en las demostraciones. Otro profesor puede creer que las matemáticas finalmente se
reducen a un conjunto de fórmulas o algoritmos que el alumno tiene que aprender a aplicar en
varias situaciones. Aquí, el alumno resuelve diversos ejercicios que intentan darle cierta fluidez
en el uso de estos algoritmos. Las diversas ideas que tienen los profesores acerca de las
matemáticas poseen cierta relación con los fundamentos o naturaleza de esta disciplina y su
relación con el aprendizaje. En este artículo se revisan ideas generales de los fundamentos de las
matemáticas y su influencia en los contenidos curriculares y su aprendizaje. Se identifica a la
práctica de desarrollar matemáticas como un aspecto que puede ser importarle en la discusión de
cómo se hacen las matemáticas y su relación con la forma de aprender esta materia. Es decir, se
intenta relacionar los componentes del quehacer matemático con el aprendizaje de esta
disciplina.
Abstract
Mathematics instructors teach mathematics in accondance with what they think of this discipline
and its learning. Indeed, the problems they consider for class discussion and assigments, the type
of learning activities implemented during instruction, and the form of evaluation are aspects that
are shaped by their ideas about mathematics.
Introducción
En los últimos veinticinco años, las matemáticas han tenido un avance significativo tanto en su
propio desarrollo como en sus aplicaciones. Esto ha contribuido a que alguna gente se dedique
a examinar la naturaleza de las matemáticas y su importancia (Steen, 1978, 1988; Davis y Hersh,
1981; National Council of Teachers of Mathematics, 1989, 1990). Este interés ha identificado
un amplio mosaico de concepciones acerca de la naturaleza de las matemáticas incluyendo
aquellas que relacionan a las matemáticas con una estructura axiomática, con un conjunto de
heurísitcas para resolver problemas, o con un conjunto de fórmulas. Estas diversas
concepciones poseen una influencia directa en la forma en que las matemáticas son aceptadas en
la vida diaria y, por lo tanto, desempeñan un papel importante en el currículo matemático, la
forma de enseñanza y el tipo de investigaciones que se realizan en Educación Matemática.
Romberg (1992) argumenta que ha habido cambios dramáticos en la disciplina matemática en el
último cuarto de siglo. Nuevas tecnologías han puesto a discusión la importancia de realizar
1

2. manipulaciones rutinarias simbólicas con lápiz y papel. En contraste, el uso de la tecnología ha
contribuido a conceptualizar a las matemáticas como un medio para resolver problemas.
Tymosczko (1986) afirma que el uso de métodos de prueba o demostración, basados en la
computadora, no permite que el matemático revise paso a paso el desarrollo de la demostración.
Así, los criterios de validación deben considerar la existencia de estos métodos y reconocer que
éstos son importantes en la práctica de desarrollar matemáticas.
El estudio de la naturaleza de las matemáticas se torna importante para el profesor de
matemáticas cuando se examina la preparación que éste recibe. Por ejemplo, la formación
profesional de un profesor a nivel de bachillerato o de universidad pocas veces incluye cursos
mas allá del estudio de los contenidos matemáticos. Es decir, durante el período de su
formación le dedica casi todo el tiempo al estudio de álgebra, geometría, cálculo, análisis,
probabilidad y estadística, y pocas veces se incluyen en su formación aspectos relacionados con
la historia y la filosofía, o aspectos que analicen el propio desarrollo de las matemáticas.
Implícitamente se piensa que el solo estudio de las propias matemáticas le proporcionará los
elementos para enseñar esta disciplina. Como resultado, en la práctica de enseñar matemáticas
generalmente el profesor adopta un modelo de enseñanza que recoge elementos de su propia
experiencia como estudiante. Con este modelo se acompañan ideas respecto al papel del
profesor (generalmente un expositor ante el pizarrón), a los tipos de problemas de clase y de la
tarea, al tipo de evaluación del estudiante, al uso de un libro de texto y al papel del estudiante en
el salón de clases.
En realidad, cada profesor posee un modelo o una caracterización de lo que son las matemáticas
y cómo estas pueden ser aprendidas por el estudiante. Su experiencia como estudiante se vuelve
determinante en las ideas que él tenga acerca de esta disciplina. Este modelo influye en las
decisiones diarias que tiene que tomar respecto a cómo presentar el contenido en el salón de
clases. De aquí que sea importante identificar algunas conceptualizaciones acerca de qué son las
matemáticas y de su desarrollo, así como, sus relaciones con la enseñanza. Esta discusión
permitirá ubicar las diferentes propuestas relacionadas con el aprendizaje de las matemáticas y
analizar algunas ventajas y limitaciones a ser consideradas en la práctica de la enseñanza. En este
artículo se presentan diversas posiciones acerca de la naturaleza de las matemáticas.
En el desarrollo del presente artículo se identifican tres escuelas que abordan aspectos
relacionados con los fundamentos de las matemáticas: la logicista, la formalista y la
constructivista. Sin embargo, la discusión acerca de cómo se hacen o desarrollan las
matemáticas, o qué evidencias hacen posible la validez de un teorema o desarrollo matemático,
han apuntado hacia el estudio de la práctica del desarrollo de esta disciplina como Van
Bendegem (1993, 22) sugiere:
"Si uno desea estudiar problemas relacionados con aspectos educacionales de las
matemáticas o las relaciones diversas y complejas entre las matemáticas y la
cultura, o los procesos psicológicos y sociales de la invención y construcción
matemática, uno necesitará una teoría o al menos un modelo de la práctica de
cómo se desarrollan las matemáticas"
Es decir, la caracterización del quehacer matemático se torna importante para el aprendizaje de
esta disciplina.
2

3. La importancia del estudio de la naturaleza de las matemáticas
En la práctica de la enseñanza de las matemáticas, el profesor continuamente toma decisiones
respecto al contenido y la forma de presentación en el salón de clases. Estas decisiones pueden
tomar distintas formas dependiendo de qué tipo de conceptualización de las matemáticas se
comparta. Por ejemplo, aceptar a las matemáticas como un cuerpo estático de conocimientos
que se desarrolla vía el lenguaje formal es un punto de vista opuesto al de ver a las matemáticas
como una disciplina dinámica que cambia y se ajusta constantemente a los diversos resultados de
su desarrollo y aplicación. Estos puntos de vista producen o incluyen actividades diferentes en
cuanto al ambiente en el salón de clases y también en cuanto al tipo de problemas o ejemplos
seleccionados para la presentación de los contenidos. Dossey (1992) argumenta que la falta de
una filosofía común de las matemáticas da lugar a serias ramificaciones tanto en la práctica como
en la enseñanza de esta disciplina. Además sugiere que la falta de un consenso es la razón por la
cual las diferentes filosofías no son ni siquiera discutidas (Dossey 1992,39). Sin embargo, estos
diferentes puntos de vista son transmitidos a los estudiantes y contribuyen a la formación de sus
propios conceptos acerca de la naturaleza de las matemáticas. Algunos estudiantes creen que las
matemáticas se reducen a un conjunto de resultados que se deben memorizar, que las
matemáticas son sólo accesibles a los buenos estudiantes, o que los problemas matemáticos se
resuelven en pocos minutos o no se resuelven Schoenfeld (1985). Esto le da racionalidad a una
revisión de las diversas concepciones de las matemáticas y sus relaciones con el aprendizaje de
las mismas.
Las primeras controversias
Aun cuando en cada civilización se han encontrado huellas de la existencia de las matemáticas,
existe poca información acerca de los aspectos relacionados con la naturaleza de esta disciplina.
Platón parece ubicarse entre los primeros que intentan clarificar una posición al indicar que los
objetos matemáticos tienen una existencia propia, más allá de la mente. Es decir, existen
independientemente del individuo. Esta posición le permitió distinguir a la aritmética (teoría de
números) de la logística (técnicas de cálculo). Platón argumentó que el estudio de la aritmética
produce un efecto positivo en los individuos, que les ayuda a razonar en una forma abstracta.
Por otro lado, Aristóteles veía a las matemáticas como una de las divisiones del conocimiento
que se diferenciaba del conocimiento físico y del teológico.
Respecto al conocimiento matemático, Aristóteles negaba que las matemáticas fueran una teoría
de un conocimiento externo, independiente e inobservable. Asociaba a 1as matemáticas con una
realidad donde el conocimiento se obtiene por experimentación, observación y abstracción. Esta
posición comparte que la construcción de las ideas matemáticas se da a través de idealizaciones
realizadas por los matemáticos como un resultado de su experiencia con objetos en un contexto
específico. Dossey (1992) apunta que Aristóteles intentó entender a las relaciones matemáticas
a través de la colección y clasificación de resultados empíricos derivados de experimentos y
observación y después por medio de la deducción de un sistema que explicara las relaciones
inherentes de los datos (Dossey 1992, 40).
Los puntos de vista de Platón y Aristóteles han representado los grandes polos donde ha
oscilado la discusión acerca de la naturaleza de las matemáticas.
Estos dos puntos de vista se reflejaron no solamente en las matemáticas sino también en otras
ciencias. En los siglos XVII y XVIII el aceptar o no la existencia de un objeto de estudio
3

4. independientemente del individuo se convirtió en un argumento importante acerca de la forma
del quehacer científico entre los racionalistas y los experimentalistas. Sin embargo, el desarrollo
de las geometrías no euclidianas influyó en la ubicación de las matemáticas.
El establecimiento de la consistencia de las geometrías, no euclidianas en la
mitad del siglo XVlll finalmente liberó a las matemáticas de un restringido
conjunto de axiomas pensados como el único modelo para el mundo externo
(Dossey 1992, 40).
Como consecuencia, esto produjo una nueva visión del conjunto de axiomas que sustentan un
desarrollo matemático.
La naturaleza de las matemáticas en los siglos XIX y XX
La pérdida de la certidumbre en la geometría fue filosóficamente intolerable, porque esto
implicaba desconfianza en todo el conocimiento humano. Los matemáticos de esta época
empezaron a buscar en la aritmética los fundamentos de las matemáticas. Es aquí donde la teoría
de conjuntos infinitos empieza a relacionarse con la naturaleza de las matemáticas. Sin embargo,
la aparición de las paradojas mostró otra vez la debilidad de esta propuesta. Esta discusión
pareció ser importante en el desarrollo de las tres escuelas mencionadas antes acerca de la
naturaleza de las matemáticas: logicista, constructivista y formalista.
La escuela logicista fue una continuación de la escuela platónica. Sus seguidores compartían
que las proposiciones matemáticas se podían expresar como proposiciones generales cuya
verdad depende de su forma y no de su interpretación en un contexto específico. Su principal
objetivo fue encontrar una reformulación de la teoría de conjuntos la cual evitara la paradoja de
Russell (el conjunto de todos los conjuntos que se incluye a sí mismo). Entre los seguidores de
esta corriente se encuentra Frege, Russell y Whitehead. El trabajo de esta escuela propició un
gran avance en el desarrollo de la lógica pero fue un fracaso en cuanto a su principal objetivo.
Goodman (1986) afirma que la intuición matemática es prácticamente real. Esta es sólo
comprensible como un principio no deductivo dentro de la estructura de las propias matemáticas.
Sin embargo, para los logistas no existe la realidad objetiva de cualquier estructura. Así, por el
principio de objetividad, el logicismo no puede ser una adecuada filosofía de las matemáticas.
La escuela constructivista estuvo representada por Brouwer alrededor de 1908. La principal
premisa en esta corriente era que las ideas matemáticas existen sólo si éstas son construibles por
la mente humana. Es decir, los objetos matemáticos no pueden ser considerados significativos o
que existen al menos que éstos se obtengan por una construcción con pasos finitos. Goodman
(1986) indica que la verdad matemática es prácticamente real. Es decir, sin la realidad práctica
de la verdad matemática no existiría el rigor matemático. Como la esencia del constructivismo
rechaza la realidad objetiva de la verdad matemática, entonces, por el principio de objetividad, el
constructivismo no puede ser una filosofía adecuada para las matemáticas.
La escuela formalista aparece en el escenario a principios del siglo XX. Hilbert es el principal
promotor de esta corriente. Las ideas de esta escuela contemplan introducir un lenguaje y reglas
formales de inferencia para demostrar teoremas (método axiomático), desarrollar una teoría de
propiedades combinatorias de este lenguaje formal considerado como un conjunto de reglas para
transformar fórmulas (matemáticas), probar con argumentos finitos que una contradicción no
puede ser derivada dentro de este sistema. Con este plan hubo un gran progreso en el desarrollo
4

5. de estas ideas, sin embargo, Godel, en 1931, estableció que era imposible pensar en un sistema
axiomático del tipo de Hilbert. Goodman (1986) describe la experiencia de desarrollar
matemáticas; la instrospección muestra que cuando uno está haciendo matemáticas, al intentar
resolver un Problema que no sabe resolver, uno raramente trata con símbolos. En esta etapa,
uno se enfrenta a ideas y construcciones. Uno de los trabajos más duros para un matemático
ocurre cuando este tiene una idea pero, por un momento es incapaz de expresarla en un camino
formal. Las matemáticas hablan acerca de ideas construcciones y pruebas, de tal manera que es
claro que los matemáticos tiene en mente algo mas que símbolos. Goodman (1986, 84).
Dossey (1992) argumenta que estas tres corrientes de pensamiento consideraban el contenido
matemático como un producto. Con los logistas, los contenidos eran los elementos de una
matemática clásica: sus definiciones, sus postulados y sus teoremas. Para los constructivistas,
los contenidos eran los teoremas que habían sido construidos a partir de principios vía patrones
válidos de razonamiento. En los formalistas de las matemáticas contenían estructuras
axiomáticas formales para liberar a las matemáticas clásicas de sus problemas.
Hersh (1979, 33) resume la influencia de la corriente formalista en la enseñanza de las
matemáticas cuando escribe:
En la última mitad del siglo pasado, más o menos, se ha visto una tendencia
formalista como el punto de vista más elegido en la filosofía de las matemáticas.
En este mismo período, el estilo dominante en las revistas de matemáticas, y aun
en los textos y tratados, ha sido insistir en los detalles precisos de las definiciones
y pruebas, pero excluyendo o minimizando la discusión de por qué un método es
interesante o por qué un método particular de prueba es usado. La concepción de
uno de lo que son las matemáticas afecta cómo deben ser presentadas. Otro
ejemplo es la importación, en los sesenta, de la notación teórica de los conjuntos
y la axiomática, al currículum del bachillerato. Esto no fue una aberración
inexplicable, como los críticos algunas veces parecen imaginar. Esto fue una
consecuencia predecible de una doctrina filosófica que reduce a las matemáticas
a un sistema axiomático expresado en un lenguaje teórico de conjuntos.
Kuhn (1977) identifica dos conceptualizaciones de las matemáticas (la pura y la aplicada) que
han generado diversas discusiones respecto a su naturaleza. Kuhn menciona que durante el
siglo XIX se desarrolla un cambio gradual en la percepción de la identidad de las matemáticas.
Quizás hasta mediados de siglo tópicos como mecánica celeste, hidrodinámica y elasticidad eran
el centro de la investigación profesional en matemáticas. Sin embargo, setenta y cinco años más
tarde éstos se convirtieron en matemáticas aplicadas. En su estudio, éstas se separaban de las
preguntas más abstractas de las matemáticas puras que habían sido centrales para la disciplina.
Kuhn argumenta que esta separación ocurrió en caminos y tiempos diferentes en diversos países.
Esta caracterización influyó en la forma de presentar el currículum a estudiar en esos lugares.
Los aspectos discutidos de las matemáticas en relación a su naturaleza se seleccionaron por
motivos de conveniencia con la idea de dar un panorama general respecto a diversas posiciones.
Es importante mencionar que existen otros enfoques a esta discusión que de alguna forma
también resaltan la importancia de discutir estos aspectos alrededor de alguna propuesta
curricular de las matemáticas (Browder 1976 y Confrey 1980).
5

6. La naturaleza de las matemáticas y la práctica de desarrollar matemáticas
Davis y Hersh (1981) señalan que los matemáticos en la práctica real de desarrollar matemáticas
pocas veces reflexionan sobre la naturaleza de las matemáticas. En el desarrollo de las ideas
matemáticas es común que el matemático trabaje como si la disciplina describiera un objetivo
existente en la realidad donde la práctica de trabajar en esta disciplina puede ser falible. Sin
embargo, cuando es cuestionado sobre la naturaleza de las matemáticas frecuentemente niega
esta noción y la describe como un juego de símbolos sin sentido. En la opinión de Hersh (1986)
el trabajo diario del matemático no es controlado por la idea de validar cada paso con
argumentos formales, sino que éste procede guiado por la intuición en la exploración de
conceptos y sus interacciones.
Dossey (1992) sugiere que estas ideas apuntan a un reconocimiento de que el desarrollar
matemáticas debe aceptarse como una actividad humana, una actividad no gobernada
estrictamente por alguna escuela de pensamiento, que incorpore los elementos que describen la
práctica de hacer matemáticas.
Una caracterización de las matemáticas en términos de la resolución de problemas refleja una
dirección que cuestiona la aceptación de las matemáticas como un conjunto de hechos,
algoritmos, procedimientos o reglas que el estudiante tiene que memorizar o ejercitar. En su
lugar, los estudiantes participan activamente en el desarrollo de las ideas matemáticas, los
problemas son definidos con menos precisión, donde el aprendizaje se relaciona con la práctica
de desarrollar matemáticas. Es decir, el estudiante aprende matemáticas al ser inmerso en un
medio similar al de la gente que hace matemáticas.
La propuesta curricular del National Council of Teachers of Mathematics incorpora este punto
de vista al indicar que el estudio de las matemáticas debe enfocarse al proceso de desarrollar
matemáticas. Aquí se contempla un ambiente de clase donde el estudiante tenga un papel activo
al discutir problemas, proponer ejemplos y contraejemplos, usar conjeturas y, en general,
construir el conocimiento matemático. En la propuesta se consideran aspectos tales como la
resolución de problemas, la necesidad de comunicarse matemáticamente y la búsqueda de las
conexiones de las matemáticas con otras disciplinas (NCTM 1989, 1991).
Barbeau (1989) sugiere que la mayoría de la gente percibe a las matemáticas como un conjunto
fijo de conocimientos pulidos y acabados. Su materia es la manipulación de números y la prueba
de deducciones geométricas. Es una disciplina fría y austera que le da poco espacio al juicio y a
la creatividad. Este punto de vista es indudablemente una reflexión de las matemáticas que se
estudian en la escuela. Un punto de vista opuesto a esa idea concibe a las matemáticas como
una disciplina falible, cambiante y similar a otras disciplinas como un producto de la inventiva
humana. Romberg (1992) apunta a que este punto de vista dinámico de las matemáticas tiene
consecuencias importantes para el currículum. Por ejemplo, la enseñanza de las matemáticas,
contempla aceptar que los estudiantes puedan crear o desarrollar sus propios conocimientos
matemáticos. Steen (1990) resalta que los resultados producidos por las computadoras y sus
aplicaciones están cambiando profundamente la forma de desarrollar las matemáticas, la de
enseñarlas, así como la forma de aprenderlas. De aquí que sea imperativo repensar un
currículum que incluya una discusión amplia de estas formas de concebir a las matemáticas y su
manera de aprenderlas.
6

7. Los profesores y la naturaleza de las matemáticas
Las ideas que los profesores tienen acerca de las matemáticas moldean las actividades del salón
de clases. Hersh (1986) menciona que el punto de vista de los profesores acerca de cómo se
debe desarrollar la enseñanza de las matemáticas en el salón de clases depende de lo que piensen
de la naturaleza de las matemáticas y no de lo que crean que debe ser el mejor método para
enseñar. Por ejemplo, si el profesor asume la existencia de un cuerpo fijo de conocimientos que
deben ser trasmitidos a los estudiantes, entonces su papel se asocia con la autoridad única para
presentar ese conocimiento. Thompson (1989) identifica varias formas de caracterización de las
matemáticas en los profesores; además, estas ideas frecuentemente cambian al ser implantadas en
el salón de clases. Es decir, un profesor puede caracterizar a las matemáticas como una
disciplina formal y rigorista pero presentarlas a sus estudiantes de una manera no consistente con
estos principios. Además resalta que la falta de una discusión abierta acerca de la naturaleza de
las matemáticas entre los profesores puede explicar algunas de las inconsistencias entre la forma
de conceptualizarlas y enseñarlas.
Concebir a las matemáticas como una disciplina dinámica implica reformular tanto los contenidos
como la forma de su enseñanza. Es importante reducir el énfasis de los cálculos aritméticos,
especialmente la memorización de algoritmos o fórmulas, y dar más énfasis al significado de las
operaciones, a la evaluación razonable de los resultados y a la selección de procedimientos y
estrategias adecuadas. Algunos contenidos que se consideran importantes, pero que necesitan
ser reformulados con base en una visión diferente de las matemáticas, incluyen álgebra,
geometría y medición, probabilidad y estadística, funciones, patrones y matemáticas discretas.
En relación al uso de los libros de texto, que son otra fuente de información de cómo las
matemáticas se relacionan en el salón de clases, es común encontrar profesores que usan el libro
de texto como un instrumento siguiéndolo al pie de la letra y usando las sugerencias para
presentar el contenido. Aquí la clase de matemáticas se reduce a la explicación del libro de
texto; las matemáticas son un producto acabado, escrito en forma coherentemente y pulida. Es
decir, en general el libro no exhibe los tropiezos o problemas que acompañan el desarrollo de las
ideas matemáticas. Se le recomienda al estudiante seguir la secuencia de contenido y de los
ejercicios que aparecen. El profesor y el libro de texto se convierten en autoridad para el
estudiante que le permiten determinar cuándo un resultado o un problema es correcto (Santos
Trigo 1992).
Un ejemplo que ilustra las diversas conceptualizaciones del currículum en cuanto a la naturaleza
de las matemáticas es el tipo de currículum oficial propuesto en algunos países. Algunos
modelos que han tenido mucha influencia, en el ámbito internacional, incluyen:
a. el currículum francés, el cual enfatiza el aspecto formal de las matemáticas. Diudonné, por
ejemplo, comparte que en el estudio de las matemáticas se debe adoptar una terminología y
lenguaje más precisos. Además, sugiere reemplazar la tradicional geometría euclidiana por el
estudio del álgebra lineal y, particularmente, el estudio de espacios vectoriales. Esta
tendencia curricular también se refleja en Bélgica con el trabajo de Georges Papy y en
Quebec, Canadá, con Zoltan Dienes.
b. el currículum británico, el cual le da mucha importancia a las aplicaciones de las matemáticas.
Thwartes (1972) afirma que en Inglaterra se piensa que los conceptos matemáticos deben
estudiarse gradualmente. Deben ser introducidos en un nivel intuitivo y desarrollados
7

8. paralelamente con otras ideas intuitivas, de tal forma que los patrones y los marcos lógicos
emerjan gradualmente. Además, para que los estudiantes aprendan es necesario considerar
múltiples aplicaciones de los conceptos matemáticos.
c. el currículum norteamericano intenta asociar la resolución de problemas al aprendizaje de las
matemáticas. Un aspecto que actualmente ha permeado el desarrollo del currículum en E.U.A. y
Canadá es el impacto que ha tenido el desarrollo de las nuevas tecnologías en la educación.
Por razones de análisis es importante identificar algunos aspectos o niveles del currículum. Por
ejemplo, el currículum intentado, que se relaciona con los planes y programas oficiales
propuestos; el currículum implantado, que se caracteriza por la forma en que el maestro lo
interpreta o lo lleva a cabo en el salón de clases; y el currículum logrado que es el que
finalmente aprenden los estudiantes. La discusión de la naturaleza de las matemáticas y sus
relaciones con la enseñanza y el aprendizaje puede contribuir a la disminución de marcadas
diferencias entre estos tres niveles.
En el aspecto concreto de la enseñanza, Ernest (1989) identifica tres puntos de vista diferentes
acerca de las matemáticas:
i) las matemáticas no son un producto terminado sino una disciplina dinámica que está
avanzando constantemente y reajustándose a nuevas situaciones (el punto de vista de la
resolución de problemas);
ii) las matemáticas, son vistas como una disciplina monolítica, como un producto estático
inmutable, el cual es descubierto y no creado (el punto de vista platonista);
iii) las matemáticas son vistas como una disciplina útil que contiene un conjunto de hechos,
reglas y fórmulas que se aplican en la solución de problemas (el punto de vista instrumental).
Estas formas de conceptualizar las matemáticas conllevan diversas posiciones en relación al
aprendizaje. Es decir, un punto de vista activo de la resolución de problemas asociado con el
conocimiento matemático puede llegar a aceptar la existencia o tratar de entender los diversos
métodos y procedimientos usados por los estudiantes al resolver los problemas, mientras que un
punto de vista estático platonista o instrumentalista puede ocasionar la insistencia por parte de
los profesores por identificar sólo un método correcto para resolver cada problema. Estas
diferentes formas de presentar a las matemáticas en el salón de clases conllevan también diversas
formas de evaluación del progreso de los estudiantes. Mientras que para un punto de vista
platónico o instrumentalista un examen puede ser un indicador del progreso matemático, para
una concepción dinámica relacionada con la resolución de problemas se considera importante no
sólo las diversas soluciones que un problema pudiera tener sino también la calidad de éstas.
Además, es importante considerar las discusiones grupales que se dan en el desarrollo de la
clase.
En relación con el tipo de lecturas que se recomienda consideren los profesores de matemáticas
en su formación, se encuentran reflexiones de matemáticos como Polya (1945; 1954), Halmos
(1980), Lakatos (1976), Davis y Hersh (1981), Schoenfeld (1985), y Steen (1978; 1978; 1990).
Estas lecturas analizan el proceso de desarrollar matemáticas y pueden ser de utilidad para
entender aspectos relacionados con el aprendizaje de los estudiantes.
En resumen, conocer el desarrollo y las diversas perspectivas relacionadas con la naturaleza de
las matemáticas proporciona a los profesores elementos que les ayudan a evaluar su propia
8

9. conceptualización de las matemáticas y relacionarla con aspectos ligados más directamente con
la práctica de desarrollar matemáticas. Esto influirá en que el tipo de decisiones que tomen en la
práctica de la enseñanza de esta disciplina sean acordes con el significado de lo que es aprender
en este campo de conocimiento.
Finalmente, la pregunta ¿qué significa el aprender matemáticas? está relacionada con el
significado o caracterizaci6n de las matemáticas. En el pasado, se aceptaba que el aprender era
básicamente una acumulación de pedazos de información en algún orden. En la actualidad esta
concepción es ampliamente cuestionada. Existe o se reconoce una tendencia de que aprender
matemáticas es hacer o desarrollar esta disciplina. Así, una persona al hacer matemáticas recoge
información, descubre o crea relaciones en el curso de una actividad con algún propósito. Es
decir, en matemáticas uno puede aprender conceptos acerca de números, cómo resolver
ecuaciones y aprender algunas definiciones; pero esto no es desarrollar matemáticas. Hacer o
desarrollar matemáticas incluye el resolver problemas, abstraer, inventar y probar relaciones.
Steen (1990) indica que la computadora, la calculadora y otros aparatos tecnológicos están
cambiando lo que significa hacer o desarrollar matemáticas. Sostiene que las matemáticas son la
ciencia de los patrones y que la tecnología provee a los matemáticos y alumnos poderosas
herramientas para examinar y elaborar patrones complejos que antes eran difíciles de tratar.
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