Funciones polinomicas

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Funciones
Polinómicas y
Racionales
Funciones Polinómicas
1

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Objetivos

• Identificar una función polinómica y su grado.
2
Objetivos

• Identificar los ceros o raíces reales de una función polinómica
y su multiplicidad.
2
Objetivos

y su multiplicidad.
• Analizar la gráfica de una función polinómica.
2
Objetivos

y su multiplicidad.
• Aplicar los teoremas de la función polinómica para escribir la
función en forma factorizada.
2
Objetivos

y su multiplicidad.
• Aplicar el Teorema de los ceros racionales para enumerar los
posibles ceros racionales de una función polinómica.
2
Objetivos

y su multiplicidad.
• Utilizar división sintética para hallar los ceros de una función
polinómica.
2
Objetivos

y su multiplicidad.
polinómica.
• Aplicar el Teorema de la raíz conjugada.
2
Objetivos

y su multiplicidad.
polinómica.
• Aplicar el Teorema de la raíz conjugada.
• Dibujar la gráfica de una función polinómica.
2
Objetivos

¿Qué es una función Polinómica?

Es una función de la forma:
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥𝑛
+ 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1
+ ⋯ + 𝑎0𝑥0
, donde los
coeficiente numéricos 𝑎𝑛, 𝑎𝑛−1, 𝑎𝑛−2 … 𝑎0 son números reales y
los exponentes de las variables 𝑛, 𝑛 − 1, 𝑛 − 2 … , 0 son números
enteros no negativos. El término principal es 𝑎𝑛𝑥𝑛
e indica el
grado 𝑛 de la función mientras que el término constante es
𝑎0𝑥0
.
3

Ejemplo:
a) 𝑓 𝑥 = −3𝑥5
− 7.4𝑥4
+ 𝜋𝑥2
− 2 𝑥 − 5
4
es una función polinómica de grado 5.
Es una función de la forma:
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥𝑛
+ ⋯ + 𝑎0𝑥0
, donde los
coeficiente numéricos 𝑎𝑛, 𝑎𝑛−1, 𝑎𝑛−2 … 𝑎0 son números reales y
los exponentes de las variables 𝑛, 𝑛 − 1, 𝑛 − 2 … , 0 son números
enteros no negativos. El término principal es 𝑎𝑛𝑥𝑛
e indica el
grado 𝑛 de la función mientras que el término constante es
𝑎0𝑥0
.
3

1) P / NP
2) P / NP
3) P / NP
Si la función es polinómica, indique su grado. Si no lo es,
explique porqué.
6
polinómica (P) o no polinómica (NP)
Clasifique como función
𝑓 𝑥 = 11𝑥6
− 𝑥−3
+ 5𝑥 − 2𝑥3
− 6
𝑓 𝑥 =
−2
𝑥−4
+ 9𝑥3
+ 5
𝑓 𝑥 = 4
1
2 𝑥3 + 𝑥4 − 7𝑥 + 2𝑥8 − 6

1) P / NP
2) P / NP
3) P / NP
Si la función es polinómica, indique su grado. Si no lo es,
explique porqué.
6
polinómica (P) o no polinómica (NP)
Clasifique como función
𝑓 𝑥 = 11𝑥6
− 𝑥−3
+ 5𝑥 − 2𝑥3
− 6
𝑓 𝑥 =
−2
𝑥−4
+ 9𝑥3
+ 5
𝑓 𝑥 = 4
1
2 𝑥3 + 𝑥4 − 7𝑥 + 2𝑥8 − 6
𝑓 𝑥 = −2𝑥4
+ 9𝑥3
+ 5, Grado 4

Gráficas de Funciones Polinómicas

La gráfica de una función polinómicas es una curva suave y
continua. Una curva continua es aquella que no presenta huecos,
saltos o brincos. La curva suave es aquella que no presenta esquinas
o picos. En otras palabras se puede trazar sin levantar el lápiz del
papel.
7

papel.
Características de las gráficas de las funciones polinómicas.
7

papel.
 Tiene como máximo n, su grado, intersecciones en el eje de 𝑥.
7

papel.
 Tiene como máximo n-1, su grado menos uno, puntos de cambio.
7

papel.
 Tiene como máximo n-1, su grado menos uno, puntos de cambio.
 Los extremos de su gráfica tienden a infinito. La orientación de
estos lo determina el término principal 𝑎𝑛𝑥𝑛
.
7

Identificar las características
de las funciones polinómicas

Ejemplo:
Determine si la gráfica representa una función polinómica, de
serlo, comente sobre el término principal y determine el grado
mínimo que puede tener.
9

Ejemplo:
y
x
9

Ejemplo:
y
x
• Grado Impar
9

Ejemplo:
y
x
• Grado Impar
• 𝑎𝑛 > 0
9

Ejemplo:
y
x
• Grado Impar
• 𝑎𝑛 > 0
• 4 puntos de cambio
9

Ejemplo:
y
x
• Grado Impar
• 𝑎𝑛 > 0
• 3 Interceptos en el eje de 𝑥
9

Ejemplo:
y
x
• Grado Impar
• 𝑎𝑛 > 0
• 3 Interceptos en el eje de 𝑥
• Grado mínimo 5
9

Forma Factorizada

Si 𝑓(𝑥) es una función polinómica de grado 𝑛 > 0, entonces existen 𝑛
números complejos 𝑐1, 𝑐2, … , 𝑐𝑛 tales que
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑛 𝑥 − 𝑐1 𝑥 − 𝑐2 ⋯ 𝑥 − 𝑐𝑛 ,
donde 𝑎𝑛 es el coeficiente principal de 𝑓(𝑥). Cada número 𝑐𝑘 es un cero o raíz
de 𝑓(𝑥).
13
Forma Factorizada

𝑓 𝑥 = 𝑎𝑛 𝑥 − 𝑐1 𝑥 − 𝑐2 ⋯ 𝑥 − 𝑐𝑛 ,
de 𝑓(𝑥).
Ejemplo:
Escribe la función 𝑔(𝑥) de grado tres con coeficiente principal −2 y ceros en
𝑥 = −3 repetido dos veces y 𝑥 = 4 en forma factorizada.
13
Forma Factorizada

𝑓 𝑥 = 𝑎𝑛 𝑥 − 𝑐1 𝑥 − 𝑐2 ⋯ 𝑥 − 𝑐𝑛 ,
de 𝑓(𝑥).
Ejemplo:
Solución:
𝑔 𝑥 = 𝑎𝑛 𝑥 − 𝑐1 𝑥 − 𝑐2 𝑥 − 𝑐3
Inicialmente se escribe la función con el
coeficiente principal y tres factores porque el
grado es tres.
13
Forma Factorizada

𝑓 𝑥 = 𝑎𝑛 𝑥 − 𝑐1 𝑥 − 𝑐2 ⋯ 𝑥 − 𝑐𝑛 ,
de 𝑓(𝑥).
Ejemplo:
Solución:
𝑔 𝑥 = 𝑎𝑛 𝑥 − 𝑐1 𝑥 − 𝑐2 𝑥 − 𝑐3
𝑔 𝑥 = −2 𝑥 − −3 𝑥 − −3 𝑥 − 4
grado es tres. Luego se sustituye el
coeficiente principal y los ceros.
13
Forma Factorizada

𝑓 𝑥 = 𝑎𝑛 𝑥 − 𝑐1 𝑥 − 𝑐2 ⋯ 𝑥 − 𝑐𝑛 ,
de 𝑓(𝑥).
Ejemplo:
Solución:
𝑔 𝑥 = 𝑎𝑛 𝑥 − 𝑐1 𝑥 − 𝑐2 𝑥 − 𝑐3
coeficiente principal y los ceros.
𝑔 𝑥 = −2 𝑥 − −3 𝑥 − −3 𝑥 − 4
𝑔 𝑥 = −2 𝑥 + 3 𝑥 + 3 𝑥 − 4
13
Forma Factorizada

𝑓 𝑥 = 𝑎𝑛 𝑥 − 𝑐1 𝑥 − 𝑐2 ⋯ 𝑥 − 𝑐𝑛 ,
de 𝑓(𝑥).
Ejemplo:
Solución:
𝑔 𝑥 = 𝑎𝑛 𝑥 − 𝑐1 𝑥 − 𝑐2 𝑥 − 𝑐3
𝑔 𝑥 = −2 𝑥 + 3 2(𝑥 − 4)
coeficiente principal y los ceros. El factor
repetido se escribe una sola vez con el
exponente correspondiente a las veces que se
repitió.
𝑔 𝑥 = −2 𝑥 − −3 𝑥 − −3 𝑥 − 4
𝑔 𝑥 = −2 𝑥 + 3 𝑥 + 3 𝑥 − 4
13
Forma Factorizada

Procedimiento para el trazado de la gráfica
14

 Determinar hacia donde se dirigen los extremos de la gráfica.
14

 Hallar las intersecciones en los ejes.
14

 Escribir la función en forma factorizada comprimiendo en forma
exponencial (veces que se repite un factor) esto es la
multiplicidad del factor.
14

 Dibujar las intersecciones en los ejes y los extremos de la
gráfica.
14

gráfica.
 Indicar los intervalos donde la función es positiva y negativa.
14

gráfica.
 Indicar los intervalos donde la función es positiva y negativa.
 Completar el trazado de la gráfica.
14

Ejemplo:
Trace la gráfica de 𝑓 𝑥 = −𝑥4 + 4𝑥2.
15

Ejemplo:
Dirección de los extremos:
Ambos extremos se dirigen hacia
negativo infinito, hacia abajo.
15

Ejemplo:
Intersecciones en los ejes:
Forma factorizada 𝑓 𝑥 = −𝑥2
(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)
15

Ejemplo:
(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)
Sus ceros son:
𝑥 = 0 𝑐𝑜𝑛 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 2,
𝑥 = −2 𝑦 𝑥 = 2, 𝑎𝑚𝑏𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 1
15

Ejemplo:
(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)
Sus ceros son:
Pintar las intersecciones y los extremos.
𝐼𝑥: −2, 0 ; (2, 0)
𝐼𝑦: 0, 0
15

Ejemplo:
(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)
Sus ceros son:
𝐼𝑥: −2, 0 ; (2, 0)
𝐼𝑦: 0, 0
Función positiva y negativa:
Intervalos positivos
Intervalos negativos
15

Ejemplo:
(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)
Sus ceros son:
𝐼𝑥: −2, 0 ; (2, 0)
𝐼𝑦: 0, 0
Función positiva y negativa:
Intervalos positivos
Intervalos negativos
Trazar la gráfica:
15

Teorema Fundamental del Algebra

Toda función polinómica de grado n ≥ 1 y coeficientes numéricos
complejos tiene al menos un cero complejo.
19

Ejemplo:
Indicar cuántos ceros complejos posee cada función polinómica.
1) 𝑓 𝑥 = −2𝑥 + 3
2) ℎ 𝑥 = 𝑥3
− 2𝑥2
3) 𝑔 𝑥 = 𝑥5
+ 3𝑥
19

Ejemplo:
1) 𝑓 𝑥 = −2𝑥 + 3 La función de grado uno
tienen un cero complejo.
3) 𝑔 𝑥 = 𝑥5
+ 3𝑥
2) ℎ 𝑥 = 𝑥3
− 2𝑥2
Tiene un cero complejo
19

Ejemplo:
Una función de grado tres
tiene tres ceros complejos.
3) 𝑔 𝑥 = 𝑥5
+ 3𝑥
2) ℎ 𝑥 = 𝑥3
− 2𝑥2
Tiene tres ceros complejos
19

Ejemplo:
Una función de grado tres
tiene tres ceros complejos.
En general una función
polinómica tienen tantos
ceros complejos como su
grado.
3) 𝑔 𝑥 = 𝑥5
+ 3𝑥
2) ℎ 𝑥 = 𝑥3
− 2𝑥2
Tiene cinco ceros complejos
Tiene tres ceros complejos
19

Teorema de los Ceros Racionales

Si 𝒑
𝒒 es un cero racional de la función polinómica con
coeficientes numéricos reales 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥𝑛
+ ⋯ 𝑎0,
entonces p es un factor del término constante 𝑎0 y q es un
factor del término principal 𝑎𝑛.
22

Si 𝒑
+ ⋯ 𝑎0,
Nota:
Recuerde que la función polinómica se escribe en forma organizada, con respecto al
exponente de su variable. Se prefiere el orden descendente (mayor a menor). Se comienza con el
término de grado mayor en su variable hasta el término de grado menor. El último término, si no
tiene variable, es el término constante de 𝑓(𝑥).
22

Si 𝒑
+ ⋯ 𝑎0,
El conjunto de todos los ceros generados de la aplicación
de este teorema se conoce como el conjunto de posible ceros
racionales de 𝒇 𝒙 .
Nota:
Recuerde que la función polinómica se escribe en forma organizada, con respecto al
exponente de su variable. Se prefiere el orden descendente (mayor a menor). Se comienza con el
término de grado mayor en su variable hasta el término de grado menor. El último término, si no
tiene variable, es el término constante de 𝑓(𝑥).
22

Ejemplo:
Halle el conjunto de posibles ceros racionales de 𝑓 𝑥 = 2𝑥3
+ 3𝑥2
− 8𝑥 + 3
23

Ejemplo:
+ 3𝑥2
− 8𝑥 + 3
Nota:
Al formar
𝑝
𝑞
no podemos simplificar la
fracción para no perder posibles ceros.
Solución:
23

Ejemplo:
+ 3𝑥2
− 8𝑥 + 3
Nota:
Al formar
𝑝
𝑞
Solución:
Se forma la fracción 𝑝 (constante) dividido
por 𝑞 (coeficiente principal)
23

Ejemplo:
+ 3𝑥2
− 8𝑥 + 3
Nota:
Al formar
𝑝
𝑞
Solución:
𝑝
𝑞
=
3
2
23

Ejemplo:
+ 3𝑥2
− 8𝑥 + 3
Nota:
Al formar
𝑝
𝑞
Solución:
𝑝
𝑞
=
3
2
Se buscan todos los factores o divisores del
numerador y denominador.
23

Ejemplo:
+ 3𝑥2
− 8𝑥 + 3
Nota:
Al formar
𝑝
𝑞
Solución:
𝑝
𝑞
⟼
1, 3
1, 2
𝑝
𝑞
=
3
2
23

Ejemplo:
+ 3𝑥2
− 8𝑥 + 3
Nota:
Al formar
𝑝
𝑞
Solución:
𝑝
𝑞
⟼
1, 3
1, 2
𝑝
𝑞
=
3
2
Se general los números racionales.
23

Ejemplo:
+ 3𝑥2
− 8𝑥 + 3
Nota:
Al formar
𝑝
𝑞
Solución:
𝑝
𝑞
⟼
1, 3
1, 2
𝑝
𝑞
=
3
2
𝑝
𝑞
⟼ 1, 3,
1
2
,
3
2
23

Ejemplo:
+ 3𝑥2
− 8𝑥 + 3
Nota:
Al formar
𝑝
𝑞
Solución:
𝑝
𝑞
⟼
1, 3
1, 2
𝑝
𝑞
=
3
2
𝑝
𝑞
⟼ 1, 3,
1
2
,
3
2
Todos se consideran positivos y negativos. Los
números racionales resultantes se le conoce
como el conjunto de posibles ceros racionales
de la función 𝑓(𝑥). Se utiliza división sintética
para identificar cuáles de estos son ceros de
la función 𝑓(𝑥).
23

Ejemplo:
+ 3𝑥2
− 8𝑥 + 3
Nota:
Al formar
𝑝
𝑞
Solución:
𝑝
𝑞
⟼
1, 3
1, 2
𝑝
𝑞
=
3
2
𝑝
𝑞
⟼ 1, 3,
1
2
,
3
2
𝑝
𝑞
⟼ ±1, ±3, ±
1
2
, ±
3
2
Todos se consideran positivos y negativos. Los
números racionales resultantes se le conoce
como el conjunto de posibles ceros racionales
de la función 𝑓(𝑥). Se utiliza división sintética
para identificar cuáles de estos son ceros de
la función 𝑓(𝑥).
23

Ejemplo:
Halle cociente y residuo al dividir 𝑓 𝑥 = 𝑥4
− 2𝑥2
+ 𝑥 − 3 entre 𝑥 + 2.
25
División Sintética

Si utilizamos división sintética
Coeficientes numéricos de 𝑓(𝑥)
Ejemplo:
− 2𝑥2
+ 𝑥 − 3 entre 𝑥 + 2.
Cero del
divisor
25

−2 1 0 − 2 1 − 3 Coeficientes numéricos de 𝑓(𝑥)
Ejemplo:
− 2𝑥2
+ 𝑥 − 3 entre 𝑥 + 2.
Cero del
divisor
25

−2 1 0 − 2 1 − 3
1
Ejemplo:
− 2𝑥2
+ 𝑥 − 3 entre 𝑥 + 2.
Cero del
divisor
25

−2 1 0 − 2 1 − 3
1
−2
Ejemplo:
− 2𝑥2
+ 𝑥 − 3 entre 𝑥 + 2.
Cero del
divisor
25

−2 1 0 − 2 1 − 3
1
−2
−2
Ejemplo:
− 2𝑥2
+ 𝑥 − 3 entre 𝑥 + 2.
Cero del
divisor
25

−2 1 0 − 2 1 − 3
1
−2
−2
4
2
−4
3
−3
6
Ejemplo:
− 2𝑥2
+ 𝑥 − 3 entre 𝑥 + 2.
Cero del
divisor
25

−2 1 0 − 2 1 − 3
1
−2
−2
4
2
−4
3
−3
6
residuo
Cociente: 𝑥3
− 2𝑥2
+ 2𝑥 − 3
Ejemplo:
− 2𝑥2
+ 𝑥 − 3 entre 𝑥 + 2.
Cero del
divisor
25

−2 1 0 − 2 1 − 3
1
−2
−2
4
2
−4
3
−3
6
residuo
Cociente: 𝑥3
− 2𝑥2
+ 2𝑥 − 3
Nota:
El grado del polinomio del cociente es siempre una unidad menor que el
grado del polinomio del dividendo.
Ejemplo:
− 2𝑥2
+ 𝑥 − 3 entre 𝑥 + 2.
Cero del
divisor
25

Práctica:
Bosquejar la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = 𝑥3 + 𝑥2 − 5𝑥 + 3

Los extremos:
Lado izquierdo hacia negativo
infinito (abajo) y lado derecho
hacia positivo infinito (arriba).
36
Práctica:

Los extremos:
Forma factorizada:
𝑓 𝑥 = 𝑥 − 1 2
𝑥 + 3
36
Práctica:

Los extremos:
Forma factorizada:
𝑓 𝑥 = 𝑥 − 1 2
𝑥 + 3
Ceros:
𝑥 = −3 𝑐𝑜𝑛 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 1
36
Práctica:

Los extremos:
Forma factorizada:
𝑓 𝑥 = 𝑥 − 1 2
𝑥 + 3
Ceros:
𝐼𝑥: −3, 0 , (1, 0)
𝐼𝑦: 0, 3
36
Práctica:

Los extremos:
Forma factorizada:
𝑓 𝑥 = 𝑥 − 1 2
𝑥 + 3
Ceros:
𝐼𝑥: −3, 0 , (1, 0)
𝐼𝑦: 0, 3
3
−3 1
Dibuje las intersecciones y extremos:
36
Práctica:

Los extremos:
Forma factorizada:
𝑓 𝑥 = 𝑥 − 1 2
𝑥 + 3
Ceros:
𝐼𝑥: −3, 0 , (1, 0)
𝐼𝑦: 0, 3
3
−3 1
(+) arriba
Arriba o debajo del eje de 𝑥:
36
Práctica:

Práctica:
Los extremos:
Forma factorizada:
𝑓 𝑥 = 𝑥 − 1 2
𝑥 + 3
Ceros:
𝐼𝑥: −3, 0 , (1, 0)
𝐼𝑦: 0, 3
3
−3 1
(+) arriba
Arriba o debajo del eje de 𝑥:
Gráfica: 𝑦
𝑥
36

Funciones Polinómicas
38
Fin
Esta es una muestra de algunas páginas de la presentación
final. Si deseas la presentación completa la puedes obtener en
matematicaspr.com. Espero que esta muestra ayude a aclarar
algunas de sus dudas respecto a las funciones polinómicas y sus
gráficas.

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