Este documento presenta las funciones exponenciales y su análisis gráfico. Explica que las funciones exponenciales de la forma y=k.a^x tienen conjunto imagen en R+ o R-, crecen o decrecen dependiendo del valor de k, y tienen asíntota horizontal en el eje y u x. Aplica estas funciones para modelar el crecimiento de poblaciones y capital financiero con intereses compuestos.

1. Funciones Exponenciales Integrantes: Brenda Cruz, Felipe Dalla Costa, Ileana Escobar, Guadalupe Rodríguez, Luciano Wojcik y Pablo Zanek Curso: 2º 1º de Economía

2. Función Exponencial

3. Esta es la función y = 2 x No tiene ceros porque no intersecta con el eje x . Su ordenada al origen es 1, y los valores de y son todos positivos, por lo tanto su conjunto imagen es R + Su tabla de valores es: x -3 -2 -1 0 1 2 3 Y = 2 X 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8

4. A continuación analizaremos los cambios que presentan los gráficos a partir de las variaciones de sus términos.

5. Asíntota horizontal: cuando x tiende a -∞, la curva se aproxima cada vez mas al eje de las abscisas, pero nunca llega a tocarlo. Por eso, la recta de ecuación y=0 (es decir, el eje X) es la asíntota horizontal de la curva. b b

6. De acuerdo a los valores de los términos podemos establecer que:

7. Funciones de la forma: y=a x En el gráfico están representadas las funciones: f(x) = 2 x g(x) = 3 x h(x) = (1/2) x t(x) = (1/3) x

8. Análisis de los gráficos

9. Funciones de la forma: y=k.a x Conjunto imagen R+ R- Ordenada al origen 3 -3 ¿Crece o decrece? Crece Decrece Asíntota horizontal Eje Y Eje X Aquí se graficaron las funciones: f(x)=3.2 x g(x)=-3.2 x f(x)=3.2 x g(x)=-3.2 x

10. Conclusiones: Las curvas correspondientes a las funciones exponenciales que tienen igual base y coeficientes opuestos, son simétricas con respecto al eje x. Conociendo dos puntos que pertenecen a una función exponencial, podemos hallar su fórmula.

11. Para aplicar las funciones exponenciales de la forma y=k.a x , hay que tener en cuenta que: k es la cantidad inicial a es el factor de crecimiento o decrecimiento

12. Cálculos financieros Si en una institución financiera depositamos un capital inicial (C 0 ) a una tasa de interés compuesto (i) expresada en tanto por uno, durante n períodos de capitalización, el monto acumulado (M) se irá incrementando según esta formula (supondremos que el período de capitalización es el indicado para la tasa de interés): M= C 0 .(1+i) n Ejemplo: Supongamos que depositamos $3000 una tasa del 2%de interés compuesto mensual durante un año, entonces: i= C 0 =3000 n=12 Reemplazamos en la fórmula: M=3000.(1+ 2/100) 12 Es decir que hemos ganado: 3185,03

13. Crecimiento de poblaciones Cuando se analizan los censos de población humana y se buscan modelos que permitan hacer proyecciones, frecuentemente aparecen funciones de crecimiento exponencial. Ejemplo: Según estimaciones recientes de las Naciones Unidas, la población de la ciudad de Bombay (India) evolucionó en las ultimas décadas del siguiente modo: Los porcentajes de aumento correspondientes a cada período fueron aproximadamente: 1950-1960: 29,27% 1960-1970: 29,31% 1970-1980: 28,4% 1980-1990: 27,68% La similitud entre estos porcentajes nos indica que podemos encontrar una función exponencial P(t)=k.a t que describa aproximadamente el crecimiento. Si tomamos como valor inicial la población de 1950, entonces k= 2,9 Si consideramos como porcentaje de incremento por década el 40%, entonces a=1+0,40= 1,40 Si llamamos P(t) a la población t décadas a partir de 1950, la función es: P(t)= 2,9. 1,40 4 = 11, 14 (tomando como ejemplo que hay 4 décadas entre 1950 y 1990) Según este modelo, la proyección para el año 2020 es de 30, 57 millones de habitantes. Año 1950 1960 1970 1980 1990 Población (en millones de habitantes) 2,9 4,1 5,8 8,1 11,2

15. BIBLIOGRAFÍA Matemática 2 - Santillana – Serie Perspectivas Matemática 1 – Santillana – Tapa Negra Apuntes de clase