Este documento describe métodos numéricos para la diferenciación e integración como series de Taylor, regla del trapecio, método de Simpson 1/3 y 3/8. Explica cómo usar estas técnicas para aproximar valores de funciones y derivadas en puntos discretos, así como para calcular integrales definidas de funciones. Incluye ejemplos numéricos para ilustrar los procedimientos.
APUNTES Y EJERCICIOS RESUELTOS DE ANALISIS NUMERICOJulio Ruano
EL PRESENTE TEXTO ES DE MI COMPLETA AUTORIA, POR LO QUE AGRADECERIA COMENTARIOS Y SUGERENCIAS SOBRE EL MISMO PARA EN UN FUTURO DESARROLLAR UNA SEGUNDA EDICION.
Funciones explícitas y funciones implícitas
En los cursos de cálculo la mayor parte de las funciones con que trabajamos están expresadas en forma explícita, como en la ecuación
Dónde la variable y está escrita explícitamente como función de x. Sin embargo, muchas funciones, por el contrario, están implícitas en una ecuación. La función y = 1 / x, viene definida implícitamente por la ecuación: x y = 1.
Brook Taylor, gran matemático Británico, dio grandes contribuciones para el desarrollo del calculo por diferencias finitas, también es el gran autor del teorema que lleva su nombre.
Ningún trabajo de el, ha sobrevivido al tiempo, sin embargo se considera que el encontró un numero de casos especiales en la serie de Taylor, entre ellos están las funciones trigonométricas como: Seno,Coseno,Tangente, Cotangente.
Cálculo del tipo de interés de la ecuación de la cuota periódica del préstamo...José Manuel Gómez Vega
Se calacula el tipo de interés en la eucación de la cuota periódica de la amortización de un préstamo según el sistema francés tomando 2 métodos numéricos y comparando las soluciones y los procesos de cálculo
ACERTIJO DE CARRERA OLÍMPICA DE SUMA DE LABERINTOS. Por JAVIER SOLIS NOYOLAJAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA, crea y desarrolla ACERTIJO: «CARRERA OLÍMPICA DE SUMA DE LABERINTOS». Esta actividad de aprendizaje lúdico que implica de cálculo aritmético y motricidad fina, promueve los pensamientos lógico y creativo; ya que contempla procesos mentales de: PERCEPCIÓN, ATENCIÓN, MEMORIA, IMAGINACIÓN, PERSPICACIA, LÓGICA LINGUISTICA, VISO-ESPACIAL, INFERENCIA, ETCÉTERA. Didácticamente, es una actividad de aprendizaje transversal que integra áreas de: Matemáticas, Neurociencias, Arte, Lenguaje y comunicación, etcétera.
Today is Pentecost. Who is it that is here in front of you? (Wang Omma.) Jesus Christ and the substantial Holy Spirit, the only Begotten Daughter, Wang Omma, are both here. I am here because of Jesus's hope. Having no recourse but to go to the cross, he promised to return. Christianity began with the apostles, with their resurrection through the Holy Spirit at Pentecost.
Hoy es Pentecostés. ¿Quién es el que está aquí frente a vosotros? (Wang Omma.) Jesucristo y el Espíritu Santo sustancial, la única Hija Unigénita, Wang Omma, están ambos aquí. Estoy aquí por la esperanza de Jesús. No teniendo más remedio que ir a la cruz, prometió regresar. El cristianismo comenzó con los apóstoles, con su resurrección por medio del Espíritu Santo en Pentecostés.
3. SERIES DE TAYLOR Las series de Taylor proveen un medio para predecir el valor de una función en un punto, en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto. Estas se basan en ir haciendo operaciones según una ecuación general y mientras más operaciones tenga la serie másexacto será el resultado que se esta buscando. Dicha ecuación es la siguiente: Donde es el error de truncamiento.
4. SERIES DE TAYLOR PROGRESIVA Lo que se trata de hacer mediante esta Serie es encontrar un polinomio que se aproxime a la función real y que permita predecir el valor de la función en un punto cualquiera x, en términos de la propia función y de sus derivadas en el punto xi.
5. Como se obtiene la primera derivada? Ecuación general: Truncando la ecuación en estos puntos y despejando la primera derivada tenemos: De una manera similar se obtienen la segunda y tercera derivada.
6. HALLANDO LA SEGUNDA DERIVADA Para hallar la segunda derivada se sigue el mismo procedimiento realizado en el caso anterior, para este caso se debe tener presente que la primera derivada se trunca en la tercera derivada al igual que la segunda como se puede observar.
7. Para la primera y segunda derivada se tiene: Se debe tener claro que la segunda derivada no debe quedar en función de la primera derivada, por lo que se recurre a emplear el valor que hallamos anteriormente para que este quede en función de sus imágenes en determinados puntos. Se tiene que 2f’(xi)*h es igual a:
8. Con este valor se procede a hallar la segunda derivada empleando sustitución en la ecuación general. Simplificando términos semejantes se tiene para la segunda derivada:
9. HALLANDO LA TERCERA DERIVADA Al igual que en el caso anterior se procede a hallar la tercera derivada, constatándose que esta este en función de determinadas imágenes, para ello se halla la primera y la segunda derivada , pero se trunca en la cuarta derivada obteniendo:
10. Ecuación general para la tercera derivada: Reemplazando la primera y segunda derivada se tiene que: De la misma manera se pueden obtener las demás derivadas como son la regresiva, progresiva y centrada par cada derivada.
11. EMPLEANDO EL TRIANGULO DE PASCAL De una manera mas sencilla se pueden obtener estas mismas derivadas, para ello se recurre al triangulo de pascal. Para emplearlo de la manera correcta se alternan signos empezando con el signo mas y siguiendo con el menos como se ilustra a continuación
12. PROGRESIVA REGRESIVA Cuales valores obtendríamos para la y derivada?
13. EJEMPLO Hallar la primera, segunda y tercera derivada de la siguiente función por los métodos regresivos progresivos y centrada. Con un paso de 0,001 halle las 3 primeras iteraciones. SOLUCION Primera derivada Progresiva, Regresiva y Centrada
14. Segunda derivada Progresiva, Regresiva y Centrada Finalmente se halla la tercera derivada Progresiva, Regresiva y Centrada
16. INTEGRACION NUMERICA La derivada sirve como el principal vehículo para la diferenciación, representa la razón de cambio de una variable dependiente con respecto a una variable independiente. El proceso inverso a la diferenciación es la integración. Integrar significa juntar partes de un todo. Matemáticamente se representa por:
17. Formas que debe tener Está debe ser una función continua simple, como un polinomio, una función exponencial o una función trigonométrica. Una función continua complicada que es difícil o imposible de integrar directamente. Una función tabulada donde los valores de x y f(x) están dados como un conjunto discreto de puntos. "caso en el que se tienen datos experimentales o de campo "
19. REGLA DEL TRAPECIO La regla del trapecio es la primera de las formulas cerradas de integración de Newton Cotes. Corresponde al caso donde el polinomio de la ecuación es de primer grado. Donde : Obteniendo:
20. Ejemplo Realice la integración numérica para la siguiente ecuación por el método de trapecio, evaluándola en el intervalo [0 ; 0,8] SOLUCION El valor de h se halla con el intervalo inicial El Error con la siguiente ecuación
21. Ejemplo Se obtiene el valor de la integral en la 10 iteración con un valor de 1,62432256
23. EJEMPLO Realice la integración numérica para la siguiente ecuación por el método de Simpson 1/3, evalué el intervalo [0 ; 0,8] SOLUCION El valor de h se halla con el intervalo inicial El Error con la siguiente ecuación
24. ejemplo Se obtiene el valor de la integral en la 10 iteración con un valor de 1,64628309
26. EJEMPLO Realice la integración numérica para la siguiente ecuación por el método de trapecio, evaluándola en el intervalo [0 ; 0,8] SOLUCION El valor de h se halla con el intervalo inicial El Error con la siguiente ecuación
27. ejemplo Se obtiene el valor de la integral en la 10 iteración con un valor de 1,62863877