El documento define y explica el concepto de derivada direccional para campos escalares dependientes de más de una coordenada. Introduce la derivada direccional como la tasa de cambio de una función en una dirección específica, en contraste con las derivadas parciales que miden la tasa de cambio a lo largo de los ejes de coordenadas. Además, provee un ejemplo sencillo para ilustrar el cálculo de una derivada direccional.

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”
Extensión San Cristóbal Edo-Táchira.
Alumna:
Karina Gamba
C.I: 27.148.938
Docente:
Pedro Mendez
San Cristóbal,05 de julio

2. Cuando se define la derivada en una dimensión su interpretación
geométrica es sencilla: la derivada de una función en un punto es
igual a la pendiente de la tangente a la gráfica de la función en
dicho punto.
Sin embargo, no es posible intentar extender esa interpretación a
campos dependientes de dos o tres coordenadas. Consideremos por
ejemplo una función que representa la altura de los puntos
de una montaña. Si nos situamos en un punto de la ladera, ¿qué
significa la "pendiente" de la montaña? Hay no una, sino infinitas
pendientes, dependiendo de si miramos hacia la cima, o hacia los
puntos situados a la misma altura que en el que estamos, o en
cualquier dirección intermedia.
La cosa es aun más complicada para campos escalares,
dependientes de las tres coordenadas, ya que en ese caso ni
siquiera podemos imaginar qué significa una pendiente.
Por ello, la extensión del concepto de derivada a campos escalares
debe hacerse de una forma específica. Podemos definir una
derivada a lo largo de una dirección determinada, pero nada más.
2 Definición
Definimos la derivada direccional de un campo escalar en un
punto según una dirección marcada por el vector unitario , de
la siguiente manera:
 Consideramos el desplazamiento pequeño desde en la
dirección marcada por
 Calculamos el incremento en la función φ entre el punto inicial
y el final
 La derivada direccional se define como el límite del cociente
entre el incremento de φ y la distancia recorrida, cuando la
distancia recorrida tiende a cero.

3. La idea es que el cociente entre los incrementos nos da la
“pendiente media” en una dirección, y su límite nos da la
“pendiente de la tangente” a la función en dicha dirección. En un
campo bidimensional, que se puede representar mediante una
elevación, como la altura de una montaña, esta interpretación
posee significado geométrico. En tres dimensiones la
interpretación geométrica no es aplicable, pero la idea algebraica
es la misma.
3 Derivadas parciales
Un caso particular importante de derivada direccional lo dan
las derivadas parciales. Supongamos que queremos calcular la
derivada direccional en la dirección marcada por . La aplicación
del límite nos da
pero, si consideramos como función de las tres coordenadas
, y , moverse en la dirección de equivale a variar la
coordenada , manteniendo las otras dos constantes, esto es
esto es, resulta la derivada ordinaria de la función con respecto
a , tratando a y como constantes. Esta es la interpretación
habitual de derivada parcial.
Vemos, no obstante, que las derivadas parciales pueden
entenderse como las derivadas direccionales según las direcciones
paralelas a los ejes coordenados.
4 Ejemplo
Como ejemplo sencillo consideremos el campo escala

4. La derivada direccional de este campo en un punto según la
dirección marcada por es
Desarrollando el producto queda
ya que es un vector dividido por su módulo, lo que da el
unitario en su dirección
Las derivadas parciales ∂z∂x y ∂z∂yson las tasas de cambio de la
funciónz=f(x,y) en lasdirecciones que sonparalelasa losejes x o al eje
y, respectivamente pero aquí generalizaremos el concepto de
derivadas parciales mostrando comoencontrar la tasa de cambio de f
en una dirección cualquiera.
y se quiere determinar la inclinación de la colina respecto al eje z. Si la
colina está representadapor z= f(x,y), se sabe cómo determinar la
pendiente en dos direcciones diferentes; la pendiente en la dirección
de y está dadapor la derivada parcial fy(x,y), y la pendiente en la
dirección de x está dada por la derivada parcial fx(x,y). Estas dos
derivadas parciales pueden usarse para calcular la pendiente en
cualquier dirección.
Para determinar la pendiente en un punto de una superficie, se
definirá un nuevo tipo de derivada llamada derivada direccional. Sea

5. z=f(x,y) una superficie y P(x0,y0) un punto en el dominio de f, la
derivada direccional estará dada por un vector unitario.
u=cos θi + sen θj
donde θ es el ángulo que forma el vector con el eje x positivo. Para
hallar la pendiente deseada, se reduce el problema a dos
dimensiones cortando la superficie con un plano vertical que pasa por
el punto P y es paralelo a u, como se muestra en la figura:
Este planovertical cortala superficie formando una curva C. La
pendiente de la superficie en (x0,y0,f(x0,y0)) en la direcciónde u se
define como la pendiente de la curva C en ese punto.
De manera informal, se puede expresar la pendiente de la curva C
como un límite análogo a los usados en el cálculo de una variable. El
plano vertical utilizado para formar C corta el plano xy en una rectaL,
representada por las ecuaciones paramétricas.
x=x0 + t cosθ
y=y0 + t sen θ

6. Por ultimo, haciendo que t se aproxime a 0, se llega a la siguiente definición;