Este documento define y explica el concepto de derivada direccional para campos escalares dependientes de dos o tres coordenadas. Explica que la derivada direccional en una dirección dada representa la pendiente de la tangente a lo largo de esa dirección, generalizando el concepto de derivada de una variable a campos multidimensionales. También muestra que las derivadas parciales son casos particulares de derivadas direccionales a lo largo de los ejes coordenados. Finalmente, provee un ejemplo sencillo de cálculo de una derivada direccional.

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior
Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”
Extensión San Cristóbal
Derivada Direccional
Autor:
Oscar Antonio Molina Zambrano
C.I.:21.416.697
Sección “S”
Lic. Pedro Méndez
San Cristóbal, Julio de 2017

2. Introducción
Cuando se define la derivada en una dimensión su interpretación geométrica es
sencilla: la derivada de una función en un punto es igual a la pendiente de la
tangente a la gráfica de la función en dicho punto.
Sin embargo, no es posible intentar extender esa interpretación a campos
dependientes de dos o tres coordenadas. Consideremos por ejemplo una función
que representa la altura de los puntos de una montaña. Si nos situamos en
un punto de la ladera, ¿qué significa la "pendiente" de la montaña? Hay no una,
sino infinitas pendientes, dependiendo de si miramos hacia la cima, o hacia los
puntos situados a la misma altura que en el que estamos, o en cualquier dirección
intermedia.
La cosa es aún más complicada para campos escalares, dependientes de las tres
coordenadas, ya que en ese caso ni siquiera podemos imaginar qué significa una
pendiente.
Por ello, la extensión del concepto de derivada a campos escalares debe hacerse
de una forma específica. Podemos definir una derivada a lo largo de una dirección
determinada, pero nada más.

3. Definición de una Derivada en una Dirección
En una dimensión el concepto de derivada es relativamente sencillo: es el límite
del cociente entre el incremento de una función y el incremento de su variable
Gráficamente, antes de tomar el límite, el cociente representa la
pendiente de una recta secante a la gráfica de la función, siendo uno de los puntos
de corte aquél en que queremos calcular la derivada y el otro que vamos
acercando progresivamente hacia el primer punto. Cuando tomamos el límite,
ambos puntos coinciden y la secante se convierte en la tangente.
Podemos interpretar la expresión de dos formas.
La Derivada como Cociente

4. La definición como límite de un cociente permite leer la expresión como un
cociente en sí mismo, entre:
 La cantidad , conocida como el diferencial de la función . Este
diferencial se interpreta como un incremento infinitamente pequeño de la
función entre dos puntos vecinos.
 La cantidad dx,, conocida como el diferencial de , que representa la
diferencia entre dos posiciones infinitamente próximas.
De esta interpretación como cociente se obtiene de forma inmediata que, por
ejemplo, las dimensiones de la derivada son las de divididas por las de
(verbigracia, que si el espacio se mide en metros y el tiempo en segundos, la
velocidad -que es la derivada del espacio respecto al tiempo- se mide en
metros/segundo).
La interpretación de la derivada como cociente no se extiende a las derivadas de
orden superior. La segunda derivada
no se puede entender como el cociente de entre , a menos que
definamos de una forma muy precisa qué significa . En cualquier caso, no es
un cociente ordinario y, sobre todo,
La Derivada como Operador

5. Existe otra forma de leer la expresión de la derivada de una función. Si la
escribimos como
podemos leerlos como algo que se "multiplica" por . Ese algo no es un número ni
una función sino un operador.
Podemos imaginar un operador como una máquina con una entrada y una salida.
Por la entrada se introduce la función y por la salida se obtiene su derivada.
Los operadores se pueden componer, de forma que al resultado de la aplicación
de un operador se le puede aplicar otro o él mismo. Así, la segunda derivada
equivale a la aplicación reiterada del operador derivada
Por la forma de actuar, la aplicación de un operador tiene elementos en común
con la multiplicación ordinaria, pero no es una multiplicación. El operador en si
mismo no es nada, solo su resultado es una magnitud física.
Definición de Derivada Direccional
Definimos la derivada direccional de un campo escalar en un punto según una
dirección marcada por el vector unitario , de la siguiente manera:
 Consideramos el desplazamiento pequeño desde en la dirección
marcada por

6.  Calculamos el incremento en la función φ entre el punto inicial y el final
 La derivada direccional se define como el límite del cociente entre el
incremento de φ y la distancia recorrida, cuando la distancia recorrida
tiende a cero.
La idea es que el cociente entre los incrementos nos da la “pendiente media” en
una dirección, y su límite nos da la “pendiente de la tangente” a la función en dicha
dirección. En un campo bidimensional, que se puede representar mediante una
elevación, como la altura de una montaña, esta interpretación posee significado
geométrico. En tres dimensiones la interpretación geométrica no es aplicable, pero
la idea algebraica es la misma.
Derivadas Parciales
Un caso particular importante de derivada direccional lo dan las derivadas
parciales. Supongamos que queremos calcular la derivada direccional en la
dirección marcada por . La aplicación del límite nos da
pero, si consideramos como función de las tres coordenadas , y , moverse
en la dirección de equivale a variar la coordenada , manteniendo las otras
dos constantes, esto es
esto es, resulta la derivada ordinaria de la función con respecto a , tratando a
y como constantes. Esta es la interpretación habitual de derivada parcial.

7. Vemos, no obstante, que las derivadas parciales pueden entenderse como las
derivadas direccionales según las direcciones paralelas a los ejes coordenados.
Ejemplo
Como ejemplo sencillo consideremos el campo escalar
La derivada direccional de este campo en un punto según la dirección marcada
por es
Desarrollando el producto queda
ya que es un vector dividido por su módulo, lo que da el unitario en su
dirección.

8. Referencias Electrónicas
http://laplace.us.es/wiki/index.php/Derivada_direccional
http://laplace.us.es/wiki/index.php/Derivada_direccional