Este documento introduce el concepto de derivada direccional para campos escalares dependientes de dos o tres coordenadas. Explica que la derivada en un punto según una dirección dada es el límite del cociente entre el incremento de la función y la distancia recorrida en esa dirección cuando la distancia tiende a cero. También muestra que las derivadas parciales son un caso particular de derivadas direccionales, correspondientes a las direcciones de los ejes coordenados. Finalmente, presenta un ejemplo sencillo de cálculo de derivada direccional.

1. INSTITUTO UNIVERSITARIO SANTIAGO MARIÑO
EXTENSIÓN SAN CRISTÓBAL
INTEGRANTES:
Melgarejo Breiner
C.I. 27.422.542
Ing. Civil
San Cristóbal, julio 2017.

2. INTRODUCCIÓN
Cuando se define la derivada en una dimensión su interpretación
geométrica es sencilla: la derivada de una función en un punto es igual a la
pendiente de la tangente a la gráfica de la función en dicho punto.
Sin embargo, no es posible intentar extender esa interpretación a
campos dependientes de dos o tres coordenadas. Consideremos por ejemplo
una función que representa la altura de los puntos de una montaña.
Si nos situamos en un punto de la ladera, ¿qué significa la "pendiente" de la
montaña? Hay no una, sino infinitas pendientes, dependiendo de si miramos
hacia la cima, o hacia los puntos situados a la misma altura que en el que
estamos, o en cualquier dirección intermedia.
La cosa es aun más complicada para campos escalares, dependientes
de las tres coordenadas, ya que en ese caso ni siquiera podemos imaginar
qué significa una pendiente.
Por ello, la extensión del concepto de derivada a campos escalares
debe hacerse de una forma específica. Podemos definir una derivada a lo
largo de una dirección determinada, pero nada más.

3. DESARROLLO
Definimos la derivada direccional de un campo escalar en un
punto según una dirección marcada por el vector unitario , de la
siguiente manera:
 Consideramos el desplazamiento pequeño desde en la dirección
marcada por
 Calculamos el incremento en la función φ entre el punto inicial y el final
 La derivada direccional se define como el límite del cociente entre el
incremento de φ y la distancia recorrida, cuando la distancia recorrida
tiende a cero.
La idea es que el cociente entre los incrementos nos da la “pendiente
media” en una dirección, y su límite nos da la “pendiente de la tangente” a la
función en dicha dirección. En un campo bidimensional, que se puede
representar mediante una elevación, como la altura de una montaña, esta
interpretación posee significado geométrico. En tres dimensiones la
interpretación geométrica no es aplicable, pero la idea algebraica es la
misma.

4. DERIVADAS PARCIALES
Un caso particular importante de derivada direccional lo dan
las derivadas parciales. Supongamos que queremos calcular la derivada
direccional en la dirección marcada por . La aplicación del límite nos da
Pero, si consideramos como función de las tres coordenadas
, y , moverse en la dirección de equivale a variar la coordenada ,
manteniendo las otras dos constantes, esto es
Esto es, resulta la derivada ordinaria de la función con respecto a
, tratando a y como constantes. Esta es la interpretación habitual de
derivada parcial.
Vemos, no obstante, que las derivadas parciales pueden entenderse
como las derivadas direccionales según las direcciones paralelas a los ejes
coordenados.

5. EJEMPLO
Como ejemplo sencillo consideremos el campo escalar
La derivada direccional de este campo en un punto según la dirección
marcada por es
Desarrollando el producto queda
ya que es un vector dividido por su módulo, lo que da el unitario en
su dirección